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最小二乘法的概念最小二乘法要关心的是对应的cost function是线性还是非线性函数，不同的方法计算效率如何，要不要求逆，矩阵的维数一般都是过约束，方程式的数目多于未知的参数数目。...最小二乘法的目标：求误差的最小平方和，根据cost function的对应有两种：线性和非线性(取决于对应的残差(residual)是线性的还是非线性的)。...可惜H不一定是正定的，这就引导出了下面的方法高斯-牛顿法是另一种经常用于求解非线性最小二乘的迭代法(一定程度上可视为标准非线性最小二乘求解方法)。...的迭代法用于求解非线性最小二乘问题，就结合了梯度下降和高斯-牛顿法。...其利用了目标函数的泰勒展开式把非线性函数的最小二乘化问题化为每次迭代的线性函数的最小二乘化问题。

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机器学习与深度学习习题集答案-2

进行特征值分解，得到特征值和特征向量。 5.对特征值从大到小排序，截取部分特征值和特征向量构成投影矩阵。接下来进行降维，流程为： 1.将样本减掉均值向量。 2.左乘投影矩阵，得到降维后的向量。...激活函数需要满足： 1.非线性。保证神经网络实现的映射是非线性的。 2.几乎处处可导。保证可以用梯度下降法等基于导数的算法进行训练。 3.单调递增或者递减。...把α看成常数，对w和b求偏导数并令它们为0，得到如下方程组 ? 从而解得 ? 将上面两个解代入拉格朗日函数消掉w和b ? 接下来调整乘子变量α，使得目标函数取极大值 ? 这等价于最小化下面的函数 ?...5.推导线性不可分时SVM的对偶问题： ? 构造拉格朗日函数： ? 首先固定住乘子变量α和β，对w,b, ? 求偏导数并令它们为0，得到如下方程组 ? 解得 ?...8.SVM预测函数中的值如何计算？根据KKT条件，在最优解处有 ? 根据第二种情况可以计算出b的值。任意满足第二种情况的训练样本均可以计算出此值。 9.解释核函数的原理，列举常用的核函数。

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【技术分享】非负最小二乘

math.1.2.png 当$f_{i}(x)$为x的线性函数时，称（1.2）为线性最小二乘问题，当$f_{i}(x)$为x的非线性函数时，称（1.2）为非线性最小二乘问题。...1.2 线性最小二乘问题在公式（1.1）中，假设 math.1.3.png 其中，p是n维列向量，bi是实数，这样我们可以用矩阵的形式表示（1.1）式。...假设A为满秩，$A^{T}A$为n阶对称正定矩阵，我们可以求得x的值为以下的形式： math.1.6.png 1.3 非线性最小二乘问题假设在（1.1）中，$f_{i}(x)$为非线性函数，且F...由于$f_{i}(x)$为非线性函数，所以（1.2）中的非线性最小二乘无法套用（1.6）中的公式求得。解这类问题的基本思想是，通过解一系列线性最小二乘问题求非线性最小二乘问题的解。...在$x^{(k)}$时，将函数$f_{i}(x)$线性化，从而将非线性最小二乘转换为线性最小二乘问题，用（1.6）中的公式求解极小点$x^{(k+1)}$ ，把它作为非线性最小二乘问题解的第k+1次近似

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理解SVM的三层境界（三）

勒让德在论文中对最小二乘法的优良性做了几点说明：最小二乘使得误差平方和最小，并在各个方程的误差之间建立了一种平衡，从而防止某一个极端误差取得支配地位计算中只要求偏导后求解线性方程组，计算过程明确便捷...高斯在1809年也发表了最小二乘法，并且声称自己已经使用这个方法多年。高斯发明了小行星定位的数学方法，并在数据分析中使用最小二乘方法进行计算，准确的预测了谷神星的位置。...求Q对两个待估参数的偏导数： ? 根据数学知识我们知道，函数的极值点为偏导为0的点。解得： ? 这就是最小二乘法的解法，就是求得平方损失函数的极值点。...那么在每次迭代中，如何更新乘子呢？ ? ? 知道了如何更新乘子，那么选取哪些乘子进行更新呢？...具体选择方法有以下两个步骤：步骤1：先“扫描”所有乘子，把第一个违反KKT条件的作为更新对象，令为a1；步骤2：在所有不违反KKT条件的乘子中，选择使|E1 −E2|最大的a2进行更新，使得能最大限度增大目标函数的值

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最优化思想下的最小二乘法

---- 4.3.2 最小二乘法（2）最小二乘法也是一种最优化方法，下面在第3章3.6节对最小二乘法初步了解的基础上，从最优化的角度对其进行理解。...如果是的线性函数，称（4.3.3）式为线性最小二乘问题；如果是的非线性函数，称（4.3.3）式为非线性最小二乘问题。...在第3章3.6节运用正交方法，解决了线性最小二乘问题，除了该方法之外，还可以利用导数方法解决（第3章3.6节中的示例就使用了导数方法），下面使用向量的偏导数对运用最小二乘法求解，这是最优化思想在最小二乘法中的运用...但是，自从伟大的牛顿和莱布尼兹创立了微分学之后，我们已经有了一个重要的武器：化曲为直，通过解一系列的线性最小二乘为题求解非线性最小二乘问题。...但是，由于在机器学习中，我们较少直接使用这类方法解决非线性问题，所以此处略去，而是将非线性最小二乘问题的理论推导放在了本书在线资料，供有兴趣的读者参考。

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用一张图理解SVM的脉络

接下来将上面的问题转化为如下所谓的原问题形式，其最优解为： ? 等式右边的含义是先固定住变量x，将其看成常数，让拉格朗日函数对乘子变量 ? 求最大值。消掉这两组变量之后，再对变量x求最小值。...这是一个对乘子变量求最大值的问题，将x看成常数。这样原问题被转化为先对乘子变量求最大值，再对x求最小值。...转换成对偶问题的具体做法是先固定住这两组乘子变量，对 ? 求偏导数并令它们为0，得到如下方程组： ? ? ? 将上面的这些结果代入拉格朗日函数中，消掉这些变量，得到关于乘子变量 ?...3种情况下的二次函数极小值上图中第一种情况是抛物线的最小值点在[L,H]中；第二种情况是抛物线的最小值点大于H，被截断为H；第三种情况是小于L，被截断为L。下面我们来计算不考虑截断时的函数极值。...，考虑前面提推导过的约束： ? 在求得 ? 之后，根据等式约束条件我们就可以求得另外一个变量的值： ? 目标函数的二阶导数为 ? ，前面假设二阶导数 ?

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神经网络如何学习的？

为了能够理解神经网络是如何进行学习的，让我们先看看下面的图片: ?...在机器学习领域，这个函数通常是用来衡量我们的预测有多糟糕，因此被称为损失函数。我们的问题就变成了找到使这个损失函数最小化的神经网络参数。随机梯度下降算法你可能很擅长从微积分中求函数的最小值。...在实践中，数据集被随机分成多个块，这些块被称为批。对每个批进行更新。这种方法就叫做随机梯度下降。上面的更新规则在每一步只考虑在当前位置计算的梯度。...我们的想法是，当我们进行更新时，也考虑到以前的更新，这会累积成一个变量Δθ。如果在同一个方向上进行更多的更新，那么我们将“更快”地朝这个方向前进，并且不会因为任何小的扰动而改变我们的轨迹。...那如果我们想要计算对第二层的权重参数求的导数呢?我们必须做同样的过程，但是这次我们从第二个线性组合函数对权重参数求导数开始，然后，我们要乘的其他项在计算第一层权重的导数时也出现了。

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一文看完《统计学习方法》所有知识点

极大似然估计:已知某个参数能使这个样本出现的概率最大，我们当然不会再去选择其他小概率的样本，所以干脆就把这个参数作为估计的真实值最小二乘法:二乘的英文是least square,找一个（组）估计值,使得实际值与估计值之差的平方加总之后的值...梯度下降法:负梯度方向是函数值下降最快的方向,每次更新值都等于原值加学习率(步长)乘损失函数的梯度.每次都试一个步长看会不会下降一定的程度,如果没有的话就按比例减小步长.不断应用该公式直到收敛,可以得到局部最小值...逻辑斯谛回归模型:对于给定的输入x,根据 ? 和 ? 计算出两个条件概率值的大小,将x分到概率值较大的那一类.将偏置b加入到权值向量w中,并在x的最后添加常数项1,得到 ? 和 ?...(xj)来代替.当映射函数是非线性函数时,学习到的含有核函数的支持向量机是非线性分类模型.在实际应用中,往往依赖领域知识直接选择核函数....作为回归问题中提升树算法中的残差的近似值,每一步以此来估计回归树叶结点区域以拟合残差的近似值,并利用线性搜索估计叶结点区域的值使损失函数最小化,然后更新回归树即可.

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支持向量机（SVM）--(4)

回忆：在上一篇文章中我们谈到为了使支持向量机能够处理非线性问题，进而引进核函数，将输入空间的输入数据集通过一个满足Mercer核条件的核函数映射到更高维或者无线维的希尔伯特再生核空间，将线性不可分转化成...其中C 是一个参数，用于控制目标函数中两项（“寻找间隔最大的超平面”和“保证数据点偏差量最小”）之间的权重。注意，其中是需要优化的变量（之一），而C 是一个事先确定好的常量。...和前面类似，采用Lagrange 乘数法进行求解，可以写出： ? 求偏导之后令偏导数为0 可以分别得到： ? 将w 回代L 并化简，即得到和原来一样的目标函数： ? 对偶问题可以写作： ?...乘子，化为对的求解（求解过程中会涉及到一系列最优化或凸二次规划等问题），如此，求求w 和b 与求等价，而的求解可以用一种快速学习算法SMO，至于核函数，是为处理非线性可分的情况，若直接映射到高维计算可能出现维数灾难问题...接下来的几天还会更新一些支持向量机的证明，里面会涵盖较多的公式，需要比较清晰地逻辑，由于svm有严格数理统计的含义，器公式的推导会牵涉较多的数理统计、概率论等数学的概念~~~~~~

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非线性最小二乘问题例题_非线性自适应控制算法

摘录的一篇有关求解非线性最小二乘问题的算法–LM算法的文章，当中也加入了一些我个人在求解高精度最小二乘问题时候的一些感触： LM算法，全称为Levenberg-Marquard算法，它可用于解决非线性最小二乘问题...LM算法的实现并不算难，它的关键是用模型函数 f 对待估参数向量p在其邻域内做线性近似，忽略掉二阶以上的导数项，从而转化为线性最小二乘问题，它具有收敛速度快等优点。...至于这个求导过程是如何实现的，我还不能给出建议，我使用过的方法是拿到函数的方程，然后手工计算出其偏导数方程，进而在函数中直接使用，这样做是最直接，求导误差也最小的方式。...在这种情况下，我猜是需要使用数值求导算法的，但我没有亲自试验过这样做的效率，因为一些优秀的求导算法——例如Ridders算法——在一次求导数值过程中，需要计算的函数值次数也会达到5次以上。...原因在于，在使用数值法估计偏导数值时，尽管我们可以控制每一步偏导数值的精度，但是由于求解过程需要进行多次迭代，特别是收敛过程比较慢的求解过程，需要进行很多次的求解，每一次求解的误差偏差都会在上一步偏差的基础上不断累积

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《统计学习方法》 ( 李航 ) 读书笔记

最小二乘法：二乘的英文是 least square，找一个 ( 组 ) 估计值，使得实际值与估计值之差的平方加总之后的最小。求解方式是对参数求偏导，令偏导为0即可。样本量小时速度快。...将偏置 b 加入到权值向量 w 中，并在 x 的最后添加常数项1，得到和如果某事件发生的概率是 p，则该事件发生的几率 ( 此处几率指该事件发生概率与不发生概率之比 ) 是 p/1-p，对数几率是...等价于约束最优化问题将求最大值问题改为等价的求最小值问题引入拉格朗日乘子将原始问题转换为无约束最优化的对偶问题首先求解内部的极小化问题,即求 L(P，W) 对 P(y|x) 的偏导数...七、支持向量机模型：支持向量机 ( SVM ) 是一种二类分类模型。它的基本模型是定义在特征空间上的间隔最大的线性分类器。支持向量机还包括核技巧，使它成为实质上的非线性分类器。...当映射函数是非线性函数时，学习到的含有核函数的支持向量机是非线性分类模型。在实际应用中，往往依赖领域知识直接选择核函数。正定核：通常所说的核函数是指正定核函数。

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超全总结！一文囊括李航《统计学习方法》几乎所有的知识点！

最小二乘法：二乘的英文是 least square，找一个 ( 组 ) 估计值，使得实际值与估计值之差的平方加总之后的 ? 最小。求解方式是对参数求偏导，令偏导为0即可。样本量小时速度快。...逻辑斯谛回归模型：对于给定的输入 x，根据 ? 和 ? 计算出两个条件概率值的大小，将 x 分到概率值较大的那一类。将偏置 b 加入到权值向量 w 中，并在 x 的最后添加常数项1，得到 ? 和 ?...，点乘代表内积，则称 K(x，z) 为核函数。核技巧：基本思想是通过一个非线性变换将输入空间对应于一个特征空间，使得在输入空间中的超曲面模型对应于特征空间中的超平面模型 ( 支持向量机 ) 。...当映射函数是非线性函数时，学习到的含有核函数的支持向量机是非线性分类模型。在实际应用中，往往依赖领域知识直接选择核函数。正定核：通常所说的核函数是指正定核函数。...作为回归问题中提升树算法中的残差的近似值,每一步以此来估计回归树叶结点区域以拟合残差的近似值，并利用线性搜索估计叶结点区域的值使损失函数最小化，然后更新回归树即可。

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一文详尽系列之逻辑回归

逻辑回归的损失函数是： 1.4.1 随机梯度下降梯度下降是通过对的一阶导数来找下降方向，并且以迭代的方式来更新参数，更新方式为 : 其中为迭代次数。...我们看到目标函数的梯度向量计算中只需要进行向量间的点乘和相加，可以很容易将每个迭代过程拆分成相互独立的计算步骤，由不同的节点进行独立计算，然后归并计算结果。...sample_matrix 样本矩阵按行划分，将样本特征向量分布到不同的计算节点，由各计算节点完成自己所负责样本的点乘与求和计算，然后将计算结果进行归并，则实现了按行并行的 LR。...并行计算总共会被分为两个并行化计算步骤和两个结果归并步骤：步骤一：各节点并行计算点乘，计算，其中，表示第 t 次迭代中节点上的第 k 个特征向量与特征权重分量的点乘，为第 t 次迭代中特征权重向量在第...c 列节点上的分量；步骤二：对行号相同的节点归并点乘结果： ?

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经典好文！一文详尽讲解什么是逻辑回归

逻辑回归的损失函数是： 1.4.1 随机梯度下降梯度下降是通过对的一阶导数来找下降方向，并且以迭代的方式来更新参数，更新方式为 : 其中为迭代次数。...我们看到目标函数的梯度向量计算中只需要进行向量间的点乘和相加，可以很容易将每个迭代过程拆分成相互独立的计算步骤，由不同的节点进行独立计算，然后归并计算结果。...sample_matrix 样本矩阵按行划分，将样本特征向量分布到不同的计算节点，由各计算节点完成自己所负责样本的点乘与求和计算，然后将计算结果进行归并，则实现了按行并行的 LR。...并行计算总共会被分为两个并行化计算步骤和两个结果归并步骤：步骤一：各节点并行计算点乘，计算，其中，表示第 t 次迭代中节点上的第 k 个特征向量与特征权重分量的点乘，为第 t 次迭代中特征权重向量在第...c 列节点上的分量；步骤二：对行号相同的节点归并点乘结果： ?

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机器学习_最优化

函数图像中，某点的切线的斜率 2. 函数的变化率梯度意义梯度就是分别对每个变量进行微分，然后用逗号分割开，梯度是用包括起来，说明梯度其实一个向量。 1....在多变量函数中，梯度是一个向量，向量有方向，梯度的方向就指出了函数在给定点的上升最快的方向梯度的方向实际就是函数在此点上升最快的方向！...拉格朗日乘子背后的数学意义是其为约束方程梯度线性组合中每个向量的系数。...参考文章参考文章梯度不稳定什么是梯度不稳定问题：深度神经网络中的梯度不稳定性，前面层中的梯度或会消失，或会爆炸。原因：前面层上的梯度是来自于后面层上梯度的乘乘积。...后果：训练很难进行，不收敛了 loss过早地不再下降精确度过早地不在提高梯度消失梯度消失：一是在深层网络中；二是采用了不合适的损失函数，比如sigmoid。

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【ML】一文详尽系列之逻辑回归

逻辑回归的损失函数是： 1.4.1 随机梯度下降梯度下降是通过对的一阶导数来找下降方向，并且以迭代的方式来更新参数，更新方式为 : 其中为迭代次数。...我们看到目标函数的梯度向量计算中只需要进行向量间的点乘和相加，可以很容易将每个迭代过程拆分成相互独立的计算步骤，由不同的节点进行独立计算，然后归并计算结果。...sample_matrix 样本矩阵按行划分，将样本特征向量分布到不同的计算节点，由各计算节点完成自己所负责样本的点乘与求和计算，然后将计算结果进行归并，则实现了按行并行的 LR。...并行计算总共会被分为两个并行化计算步骤和两个结果归并步骤：步骤一：各节点并行计算点乘，计算，其中，表示第 t 次迭代中节点上的第 k 个特征向量与特征权重分量的点乘，为第 t 次迭代中特征权重向量在第...c 列节点上的分量；步骤二：对行号相同的节点归并点乘结果： ?

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从感知机到神经网络简略

在本例中，每一个输入数据都可以表示为一个向量 x_t 作为一个新的插入点，我们的感知机将如何判断，并进行权重的改变的。最终将输入、权重和偏移结合可以得到如下传递函数： ?...看到这样的线性表达，应该很容易想到其可以通过最小化误差输出，去进行训练；重点是感知机只是一个线性的分类器，并不能解决XOR简单的函数　　为了解决非线性这个问题，我们就要使用多层感知机，也就是前馈神经网络...在上式中，激活函数是sigmoid函数；W是某一层的权重矩阵；x是某层的输入向量；a是某层的输出向量。...则说明神经网络的每一层的作用实际上就是先将输入向量左乘一个数组进行线性变换，得到一个新的向量，然后再对这个向量逐元素应用一个激活函数。...这里不再具体BP算法是如何操作的，主要是通过链式法则求每个神经元的偏导数，再进行权值分配。

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SLAM算法＆技术之Gauss-Newton非线性最小二乘算法

编辑丨点云PCL 前言很多问题最终归结为一个最小二乘问题，如SLAM算法中的Bundle Adjustment，位姿图优化等等。求解最小二乘的方法有很多，高斯-牛顿法就是其中之一。...推导对于一个非线性最小二乘问题： ? 高斯牛顿的思想是把 f(x)利用泰勒展开，取一阶线性项近似。 ? 带入到(1)式： ? 对上式求导，令导数为0。 ? 令 ? 式（4）即为 ?...我们可以构建一个最小二乘问题： ? 要求解这个问题，根据推导部分可知，需要求解雅克比。 ? 使用推导部分所述的步骤就可以进行解算。...它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。最小平方问题分为两种：线性最小二乘法，和非线性的最小二乘法，取决于在所有未知数中的残差是否为线性。...泰勒公式中的一阶导称为雅克比矩阵（是函数的一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵），二阶导称为海塞矩阵（二阶偏导数组成的方块矩阵，由德国数学家奥托·黑塞引入并以其命名）。

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手把手教你实现SVM算法

过两类样本中离分类面最近的点且平行于最优分类面的超平面上H1,H2的训练样本就叫做支持向量。图例： ? 问题描述：假定训练数据： ? 可以被分为一个超平面： ? 进行归一化： ?...求 ? ，其中 ? 式子是有了，但是如何求结果呢？接下来一步一步的解决这个问题，并且通过动手编程使大家对这个有个问题有个直观的认识。...这样，SMO算法要解决两个问题：一是怎样解决两个变量的优化问题，二是怎样决定先对哪些Lagrange乘子进行优化。...四．每次最小优化后的重置工作每做完一次最小优化，必须更新每个样本的误差（Error Cache），以便用修正过的分类面对其它样本再做KKT检验，以及选择第二个配对优化样本时估计步长之用。...非线性的情况，误差的计算要用到所有已找到的支持向量及它们的Lagrange乘子： ? 线性的情况则是先重置分类超平面的法向量w，再根据uj=w’xj-b计算输出uj和误差Ej=uj－yj 。

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最小二乘法小结

最小二乘法是用来做函数拟合或者求函数极值的方法。在机器学习，尤其是回归模型中，经常可以看到最小二乘法的身影，这里就对我对最小二乘法的认知做一个小结。...2.最小二乘法的代数法解法上面提到要使最小，方法就是对和分别来求偏导数，令偏导数为0，得到一个关于和的二元方程组。求解这个二元方程组，就可以得到和的值。下面我们具体看看过程。...公式1：为向量公式2：对上述求导等式整理后可得：两边同时左乘可得：这样我们就一下子求出了向量表达式的公式，免去了代数法一个个去求导的麻烦。只要给了数据,我们就可以用算出。...首先，最小二乘法需要计算的逆矩阵，有可能它的逆矩阵不存在，这样就没有办法直接用最小二乘法了，此时梯度下降法仍然可以使用。当然，我们可以通过对样本数据进行整理，去掉冗余特征。...让的行列式不为0，然后继续使用最小二乘法。第二，当样本特征n非常的大的时候，计算的逆矩阵是一个非常耗时的工作（nxn的矩阵求逆），甚至不可行。此时以梯度下降为代表的迭代法仍然可以使用。

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