如何用已知的正交(相机)投影矩阵将2d中的点转换回3d？

将2D点转换回3D点在计算机视觉和图形学中是一个常见的问题。对于正交投影矩阵，这个问题可以通过一些数学推导来解决。正交投影矩阵通常会丢失深度信息，因此从2D点恢复3D点需要一些假设或额外的信息。

正交投影矩阵

正交投影矩阵通常是一个4x4矩阵，用于将3D点投影到2D平面。假设正交投影矩阵为 PP，它的形式通常如下：

P=[1000010000000001]P=​1000​0100​0000​0001​​

这个矩阵将3D点 (x,y,z,1)(x,y,z,1) 投影到2D点 (x,y,0,1)(x,y,0,1)。

从2D点恢复3D点

由于正交投影丢失了深度信息 zz，我们需要一些假设来恢复3D点。常见的假设是我们知道3D点所在的平面，或者我们有额外的深度信息。

假设已知深度 zz

如果我们知道2D点对应的深度 zz，我们可以直接恢复3D点。假设2D点为 (u,v)(u,v)，已知深度为 zz，则3D点 (x,y,z)(x,y,z) 可以通过以下方式计算：

x=ux=u

y=vy=v

因此，3D点为 (u,v,z)(u,v,z)。

假设已知3D点所在的平面

如果我们知道3D点所在的平面，例如 z=z0z=z0​，我们也可以恢复3D点。假设2D点为 (u,v)(u,v)，已知平面为 z=z0z=z0​，则3D点 (x,y,z)(x,y,z) 可以通过以下方式计算：

x=ux=u

y=vy=v

z=z0z=z0​

因此，3D点为 (u,v,z0)(u,v,z0​)。

示例代码

以下是一个Python示例代码，演示如何从2D点恢复3D点，假设已知深度 zz：

def convert_2d_to_3d(u, v, z):
    """
    将2D点 (u, v) 转换为3D点 (x, y, z)，假设已知深度 z。
    
    参数:
    u (float): 2D点的x坐标
    v (float): 2D点的y坐标
    z (float): 已知的深度值
    
    返回:
    (float, float, float): 3D点 (x, y, z)
    """
    x = u
    y = v
    return (x, y, z)

# 示例
u, v = 10, 20
z = 5  # 假设已知深度
x, y, z = convert_2d_to_3d(u, v, z)
print(f"3D点: ({x}, {y}, {z})")