如何用数学归纳法证明每个k次多项式都属于θ(n^k)，且a_k >0？

数学归纳法是一种证明数学命题的常用方法，它分为两个步骤：基础步骤和归纳步骤。

基础步骤： 首先，我们需要证明当k=0时，每个0次多项式都属于θ(n^0)，且a_0 > 0。 对于0次多项式，它可以表示为P(n) = a_0，其中a_0为非零常数。 当n趋近于无穷大时，n^0始终等于1，而a_0是一个非零常数，所以0次多项式属于θ(n^0)，且a_0 > 0。

归纳步骤： 假设对于某个正整数k，每个k次多项式都属于θ(n^k)，且a_k > 0。 我们需要证明对于k+1次多项式，也满足每个k+1次多项式都属于θ(n^(k+1))，且a_(k+1) > 0。

假设P(n)是一个k+1次多项式，可以表示为P(n) = a_(k+1) * n^(k+1) + a_k * n^k + ... + a_1 * n + a_0。 我们可以将P(n)拆分为两部分：Q(n) = a_(k+1) * n^(k+1) 和 R(n) = a_k * n^k + ... + a_1 * n + a_0。

对于Q(n)，当n趋近于无穷大时，n^(k+1)的增长速度远大于n^k及其以下的项，所以Q(n)属于θ(n^(k+1))，且a_(k+1) > 0。

对于R(n)，根据归纳假设，R(n)属于θ(n^k)，且a_k > 0。

因此，P(n) = Q(n) + R(n)属于θ(n^(k+1))，且a_(k+1) > 0。

综上所述，根据数学归纳法，可以证明每个k次多项式都属于θ(n^k)，且a_k > 0。