如何用递归树求解方程T(n) = 5T(n/5) + sqrt(n)，T(1) = 1，T(0) =0？ - 腾讯云开发者社区

（如下如(b)→(c)(b)→(c)）第三步：反复按照“第一步”的方式迭代，每迭代一次递归树就增加一层，直到树中不再含有权值为函数的结点（即叶结点都为T(1)T(1)）。...（如下如(c)→(d)(c)→(d)）在得到递归树后，将树中每层中的代价求和，得到每层代价，然后将所有层的代价求和，得到所有层次的递归调用的总代价。...总结：递归树模型求解递归方程，本质上就是迭代思想的应用，利用递归方程迭代展开过程构造对应的递归树，然后把每层的时间代价进行求和。...这里我们只考虑最长常见的递归形式，形如：T(n)=c1T(n-1)+c2T(n-2)+c3T(n-3)+…+ckT(n-k)+f(n)，其中c1,c2,…ck为常数且不等于0；我们对该方程的求解如下：...2n，对应上面表格的最后一种情况，得到特解形式为：T(n)=n2(p0+p1n)2n代入原递归方程可得：p0=1/2,p1=1/6 （3）原方程解的形式为：T(n)=a0*2n+a1*n*2n+n2(1

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动态规划(dynamic programming)

，并且小问题具有最优子结构最优子结构：问题的最优解由相关子问题的最优解组合而成，这些子问题可以独立求解关于最优子结构我们来看2个示例 1、求无权有向图中q-t的最短路径如果q-t间的最短路径经过了点...-1) && (Si == Sj) } 总结起来我们可以用以下步骤去考虑一个问题如何用动态规划来解决 1、思考问题的最后一个步骤是如何通过选择构造得到最终答案的 2、根据构造情况来发现子问题 3、看看能否确定状态转移方程...动态规划与贪心等其他算法的比较动态规划与分治，减治分治：将大问题分成若干个小问题去解决递归的求解每个小问题，每个小问题之间没有关系例如快排减治：将大问题缩减成小问题...而贪心算法任务无需求解所有子问题，所以选择在当前情况下最优的情况自顶向下的求解问题，贪心可以认为是动态规划的一个特例如果用一个树来表示子问题的话可以认为动态规划考虑了树中的所有节点而贪心算法减去了树了许多枝干...maxSubArray(int A[], int n) { int ans=A[0],i,j,sum=0; for(i=0;in;i++){ sum+

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青蛙跳台阶问题暨斐波那契数列

3.递归实现有了初始状态和状态转移方程，那么编程实现求解就不难了，参考下面的递归实现。...差分概念： “二阶线性常系数齐次”是对差分方程的修饰，“差分”也是对方程的修饰，先看一下差分的概念：给定函数：ft=f(t),t=0,1,2...f_t=f(t),t=0,1,2......差分方程可以化简为形如: image.png 如果f(t)=0f(t)=0，那么上面就是n阶线性齐次差分方程；如果f(t)=0f(t)=0，那么上面就是n阶线性非齐次差分方程。...设f(n)=λnf(n)=\lambda^n，那么f(n)-f(n-1)+f(n-2)=0的特征方程就是：λ2−λ+1=0\lambda^2-\lambda+1=0，求解得：λ=(1±√5)/2\lambda...---- 参考文献 [1]斐波那契数列.百度百科 [2]青蛙跳台阶问题 [3]关于斐波那契数列三种解法及时间复杂度分析 [4]差分方程的基本概念 [5]二阶线性常系数齐次差分方程的求解

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算法设计关于递归方程T(n)=aT(nb)+f(n)之通用解法

算法设计关于递归方程T(n)=aT(n/b)+f(n)之通用解法在算法设计中经常需要通过递归方程估计算法的时间复杂度T(n)，本文针对形如T(n)=aT(n/b)+f(n)的递归方程进行讨论，以期望找出通用的递归方程的求解方式...设a≥1，b＞1为常数，f(n)为函数，T(n)=aT(n/b)+f(n)为非负数,令x=logba： 1. f(n)=o(nx-e)，e＞0，那么T(n)=O(nx)。...因此，我们需要找到在Master定理不能使用的情况下如何解递归方程的比较通用的办法——递归树。经过分析，递归树解法包含了Master定理，但是Master定理可以方便的判断出递归方程的解。...下面就题目所列出的递归方程形式进行分析。一、f(n)是n的多项式p(n)=f(n) 因为f(n)是多项式，设p(n)=O(nk)，k≥0。...综上所述，可以得出以下结论：在针对形如T(n)=aT(n/b)+f(n)的递归方程求解方法里，使用递归树是一种比较可行的通用办法。

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青蛙跳台阶

5.递归实现有了初始状态和状态转移方程，那么编程实现求解就不难了，参考下面的递归实现。...差分概念： “二阶线性常系数齐次”是对差分方程的修饰，“差分”也是对方程的修饰，先看一下差分的概念。给定函数： f_t=f(t), t=0,1,2... ，注意 t 的取值是离散的。...差分方程可以化简为形如：如果 f(t)=0 ，那么上面就是 n 阶线性齐次差分方程；如果 f(t) \neq 0 ，那么上面就是 n 阶线性非齐次差分方程。...1=0，求解得：\lambda=(1±√5)/2 。...很明显是 O(2^n) 。也就是说斐波那契数列递归求解的算法时间复杂度是 O(2^n ) 。关于斐波那契数列递归求解的期间复杂度我们简化其求解过程，按照如下方式求解。

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【浅记】分而治之

解决子问题合并问题解递归式求解递归树法用树的形式表示抽象递归 T(n)=\begin{cases} 2T(\frac{n}{2})+O(n), &if&n>1\\ O(1),&if&n=...1 \end{cases} 树的深度通常从0开始计，故层数等于n+1，后续统一用深度可以得到，这个算法的时间复杂度是： T(n)=O(n\log n) 主定理法对形如 T(n)=aT(\frac...例： T(n)=5T(\frac{n}{2})+n^3 k=3 a=5,b=2,\log_ba=\log_25 k>\log_ba T(n)=\Theta(n^3) 最大子数组基于枚举策略...n/2] 和 X[n/2+1..n] 递归求解子问题： S_1 ：数组 X[1..n/2] 的最大子数组 S_2 ：数组 X[n/2+1..n] 的最大子数组合并子问题，得到 S_{max...\frac n2] 和 A[\frac n2+1..n] 递归求解子问题 S_1 ：仅在 A[1..

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《算法设计与分析》期末不挂科的原因_算法设计与分析重点

例题：解递归方程T(n)=3T(n/4)+cn2。假设n为4的幂。递归树的构造过程如下：分析：图(a)表示T(n)。图(b)表示对T(n)进行扩展，形成与递归方程等价的一棵树。...根据递归方程，继续展开树中的每个结点，直到问题规模变成1，每个开销为T(1)。图(d)表示最终结果树。树的高度是log4n，深度为log4n+1。...主定理简述递归方程 T(n)=4T(n/2)+n 是否可以使用主方法来进行求解。如果可以，写出满足主定理的哪一种情形，并求解该递归方程；如果不满足，写出理由。...使用主方法求解递归方程 T(n)=4T(n/2)+n，需写出满足主定理的哪一种情形。解：由递归方程可得，a=4，b=2 且 f(n)=n。...因此，使用递归树方法求解递归方程 T(n)=2T(n/2)+n-1，需画出完整的递归树。写出矩阵链乘问题的递归方程。

1.1K2 0

python数据可视化分析速成笔记_2-2_布朗运动几何布朗运动(伊藤过程)实现的demo

=e*sqrt（dt），e~（0，1），∑dz=（sqrt（dt））*∑ e 伊藤引理也是这样，只是它的积分式是微分方程，由公式：dS/S=u* dt+e* o* sqrt(dt)，求 S ，需要用微分方程来推导...''' 15 16 17 几何布朗运动: 18 St=S0*exp(ut) 19 St=S0*exp(u t+o e sqrt(dt)) 20 21 St=S0*exp(a t+b z) 22 23...33 S[0]=S0 #定义S[0]=S0 34 35 for t in range(1,M+1): 36 37 S[t]=S[t-1]*np.exp(mean*dt+sigma*np.sqrt(dt...a=0.15 45 b=0.3 46 n=round(T/dt)#dimension 47 plt.subplot(212) 48 for g in range(1, i): 49 t=np.linspace...(0,T,n) 50 e=np.random.standard_normal(size=n) 51 z=np.cumsum(e)*np.sqrt(dt) 52 x=a*t+b*z; 53 st[g]=st

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【组合数学】递推方程 ( 有重根下递推方程通解结构 | 线性无关解 | 有重根下的通解 | 有重根下的递推方程求解示例 | 递推方程公式解法总结 ) ★

limits_{i=1}^tH_i(n) 三、有重根下的递推方程求解示例 ---- 求解方法 : 1 ...., 与递推方程项数相同 ; 5 项 ; ( 3 ) 特征方程次幂数 : 最高次幂是特征方程项数 -1 , 最低次幂 0 ; x 的次幂从 0 到 4 ; ( 4 ) 写出没有系数...的特征方程 ; x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = 0 ( 5 ) 逐位将递推方程的系数抄写到特征方程中 ; x^4 + x^3 - 3x^2 -5 x -2 = 0 2 ....: H(n) = \cfrac{7}{9} (-1)^n - \cfrac{1}{3} (-1)^n + \cfrac{2}{9}2^n 四、递推方程公式解法总结 ---- 递推方程求解完整过程 :...3 ) 特征方程次幂数 : 最高次幂是特征方程项数 -1 , 最低次幂 0 ; ( 4 ) 写出没有系数的特征方程 ; ( 5 ) 逐位将递推方程的系数抄写到特征方程中 ; 2 .

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【算法解题思想】动态规划+深度优先搜索（CC++）

无后效性：一个状态的值被状态转移方程计算出来，那么它就是不可以变化的，后面的状态可以把他拿过来用。动态规划的基本步骤包括：定义状态：求解动态规划，先要定义dp数组，其意义是什么。...动态规划的应用非常广泛，包括但不限于：最短路径问题：如Dijkstra 算法和 Floyd-Warshall 算法。背包问题：包括 0/1 背包问题和树形背包等等。...int dp(int t,int mx){ f[0]=0;//初始化特例 for(int i=1;it]*n;i++)f[i]=inf;//初始化正无穷 for(int i=1;i1); //类似于背包更新 } } for(int i=1;it]*n;i++){ if(f[i]>n){//若此时填的面值张数大于邮票可以贴的最大张数，就说明此时i不满足...(){ cin>>n>>k; dfs(1,0);//从1开始去找，第一个分必是1，初始最大长度为0 for(int i=1;i<=k;i++) cout<<ans[i]<<" ";

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【组合数学】递推方程 ( 递推方程求解过程总结 | 齐次 | 重根 | 非齐次 | 特征根为 1 | 指数形式 | 底为特征根的指数形式 ) ★★

文章目录一、常系数线性齐次递推方程求解过程二、常系数线性齐次递推方程求解过程 ( 有重根下的通解形式 ) 三、常系数线性非齐次递推方程特解形式 ( n 的 t 次多项式 | 特征根不为...特解形式 ( 非齐次部分是指数 | 底是特征根 ) 递推方程求解 : 一、常系数线性齐次递推方程求解过程 ---- 常系数线性齐次递推方程求解过程 : 1 ....3 ) 特征方程次幂数 : 最高次幂是特征方程项数 -1 , 最低次幂 0 ; ( 4 ) 写出没有系数的特征方程 ; ( 5 ) 逐位将递推方程的系数抄写到特征方程中 ; 2 ....n 的次幂 ; 如 : n^{e_i-1} , 这里有 e_i 个常数 ; ③ 常数 : 常数下标是从 c_{i1} 到 c_{ie_i} , 下标的右侧部分是 1 到 e_i...2n^1 + P_3n^0 , 化简后为 : H^*(n) = P_1n^2 + P_2n + P_3 四、常系数线性非齐次递推方程特解形式 ( n 的 t 次多项式 | 特征根为 1

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分治法

将P分解为较小的子问题 P1 ,P2 ,…,Pk 4. for i←1 to k 5. do yi ← Divide-and-Conquer(Pi) △ 递归解决Pi 6....T ← MERGE(y1,y2,…,yk) △ 合并子问题 7. return(T) 其中|P|表示问题P的规模；n0为一阈值，表示当问题P的规模不超过n0时，问题已容易直接解出，不必再继续分解。...因此，当P的规模不超过n0时直接用算法ADHOC(P)求解。...用T(n)表示该分治法解规模为|P|=n的问题所需的计算时间，则有： T（n）= k T(n/m)+f(n) 通过迭代法求得方程的解：递归方程及其解只给出n等于m的方幂时T(n)的值，但是如果认为T(...（10）汉诺塔七、依据分治法设计程序时的思维过程实际上就是类似于数学归纳法，找到解决本问题的求解方程公式，然后根据方程公式设计递归程序。

8898 0

五大常用算法之一：分治算法

将P分解为较小的子问题 P1 ,P2 ,…,Pk 4. for i←1 to k 5. do yi ← Divide-and-Conquer(Pi) △ 递归解决Pi 6....T ← MERGE(y1,y2,…,yk) △ 合并子问题 7. return(T) 其中|P|表示问题P的规模；n0为一阈值，表示当问题P的规模不超过n0时，问题已容易直接解出，不必再继续分解...因此，当P的规模不超过n0时直接用算法ADHOC(P)求解。...用T(n)表示该分治法解规模为|P|=n的问题所需的计算时间，则有： T（n）= k T(n/m)+f(n) 通过迭代法求得方程的解：递归方程及其解只给出n等于m的方幂时T(n)的值...1、一定是先找到最小问题规模时的求解方法 2、然后考虑随着问题规模增大时的求解方法 3、找到求解的递归函数式后（各种规模或因子），设计递归程序即可。

3801 0

详解Winograd变换矩阵生成原理

= 0) { t=m%n; m=n; n=t; } return m; } int GCDRecursive(int m, int n) { if (n == 0) return m...余式是-1 第二步, ，商是，余式是0，停止递归，设置第三步, 第四步, 得解，两边同乘-1得，求得逆元是-1 所以求解过程：相当于求解方程的解第一步，，商是，余式是2 第二步,，商是，...余式是0，停止递归，设置第三步, 第四步,得解，两边同除以2得，求得逆元是所以求解过程：相当于求解方程的解第一步, ，商是，余式是2 第二步, ，商是，余式是0，停止递归，设置第三步...求解过程：相当于求解方程的解第一步, ，商是，余式是4 第二步, ，商是，余式是0，停止递归，设置第三步, 第四步, 得解，两边同乘得，求得逆元是所以求解过程：相当于求解方程的解...，余式是0，停止递归，设置第三步, 第四步, 得解 ,两边同除以24得，求得逆元是所以求解过程：相当于求解方程的解第一步, ，商是，余式是24 第二步, ，商是，余式是0，停止递归，设置

1.2K3 0

欧里几德及扩展欧里几德算法

算法的实现：最简单的方法就是应用递归算法，代码如下： 1 int gcd(int a,int b) 2 { 3 if(b==0) 4 return a; 5 return...上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。...扩展欧几里德的递归代码： 1 int exgcd(int a,int b,int &x,int &y) 2 { 3 if(b==0) 4 { 5 x=1; 6...：（1）求解不定方程；（2）求解模线性方程（线性同余方程）；（3）求解模的逆元；（1）使用扩展欧几里德算法解决不定方程的办法：对于不定整数方程pa+qb=c，若 c mod Gcd(p,...对于同余方程 ax= 1(mod n )， gcd(a,n)= 1 的求解就是求解方程 ax+ ny= 1，x, y 为整数。

87910 0

拼多多算法题，是清华考研真题！

示例 2：输入：nums = [1] 输出：1 示例 3：输入：nums = [5,4,-1,7,8] 输出：23 提示： 1 5 -10^4 0); return {nums[l], t, t, t}; } // 划分成两个子区间，分别求解...= max(nums[l], 0) return [nums[l], t, t, t] # 划分成两个子区间，分别求解 mid...= Math.max(nums[l], 0); return [nums[l], t, t, t]; } // 划分成两个子区间，分别求解...dfs(0, nums.length - 1)[3]; }; 时间复杂度： O(n) 空间复杂度：递归需要函数栈空间，算法每次将当前数组一分为二，进行递归处理，递归层数为 \log{n} ，即函数栈最多有

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五大常用算法：分治算法

,Pk 4. for i←1 to k 5. do yi ← Divide-and-Conquer(Pi) △ 递归解决Pi 6. T ← MERGE(y1,y2,......因此，当P的规模不超过n0时直接用算法ADHOC(P)求解。算法MERGE(y1,y2,...,yk)是该分治法中的合并子算法，用于将P的子问题P1 ,P2 ,......用T(n)表示该分治法解规模为|P|=n的问题所需的计算时间，则有： T（n）= k T(n/m)+f(n) 通过迭代法求得方程的解：递归方程及其解只给出n等于m的方幂时T(n)的值，但是如果认为...通常假定T(n)是单调上升的，从而当mi≤n1时，T(mi)≤T(n)T(mi+1)。...实际上就是类似于数学归纳法，找到解决本问题的求解方程公式，然后根据方程公式设计递归程序。

7093 0

自动控制理论笔记

\sqrt{1-\xi^2}\) 单位化：\(u(t)=\frac{F}{\omega_n^2}\) \(H(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2+2\xi\omega_ns+\omega_n...线性化 Linearization 非线性：\(1/x,\sqrt{x},x^n等\) 用泰勒级数展开在平衡点(Fixed point)\(x_0\)附近线性化令导数项为0，求得平衡点x的值\(...\, of\, \lambda_i 0\)实部判别方法直接方法：解微分方程(Direct method) 求解λ的值，判断正负第二方法：(2nd method) \((i)V(0)...A^2Bu_0 + AB u_1 + B u_2\\ \) Matlab 求解，Co矩阵 "ctrb(A,B)" \(rank[S] = n, det \, S \neq 0\) 可观性：\(\...A^n = \sum_{i=0}^{n-1}a_iA^i\) 求解\(\left | \lambda I - A\right |\)的特征多项式将\(\lambda = A \)代入，得到递推公式，

2K3 0

matlab计算机仿真与蒙特卡洛法【数学建模】

%D的坐标 for j = 1:n-1 for i=1:3 d = sqrt((x(i+1,j)-x(i,j))^2+(y(i+1,j)-y(i,j))^2);...要求模拟一个工作日内完成服务的个数及顾客平均等待时间t． clc,clear T = 8*60; at = exprnd(5,[200,1]);%顾客间隔到达时间 st = unifrnd(4,15,[...if t+custmer(1,1)>T n = i; break end t = custmer(i,2) + t; %模拟第i+1位顾客到达后，...clc,clear t=0:0.01:2*pi; %把原方程转换为参数方程后再画图 plot(2*sin(t),2*cos(t),2*sin(t),cos(t),sec(t),tan(t)) axis(...[-2,2,-2,3]) hold on %求解 n = 100000;%产生随机点的数目 p = rand(n,2); x = p(:,1)+1;%横坐标范围 y = 2*p(:,2);%纵坐标范围

2.3K3 0

递归算法的时间复杂度分析

转自地址 http://blog.csdn.net/metasearch/article/details/4428865 在算法分析中，当一个算法中包含递归调用时，其时间复杂度的分析会转化为一个递归方程求解...实际上，这个问题是数学上求解渐近阶的问题，而递归方程的形式多种多样，其求解方法也是不一而足，比较常用的有以下四种方法： (1)代入法(Substitution Method) 代入法的基本步骤是先推测递归方程的显式解...这种递归方程是分治法的时间复杂性所满足的递归关系，即一个规模为n的问题被分成规模均为n/b的a个子问题，递归地求解这a个子问题，然后通过对这a个子间题的解的综合，得到原问题的解。...一、代入法大整数乘法计算时间的递归方程为：T(n) = 4T(n/2) + O(n)，其中T(1) = O(1)，我们猜测一个解T(n) = O(n2 )，根据符号O的定义，对n>n0，有...在f(n)的三类情况下，我们有T(n)的渐近估计式： 1.若对于某常数ε>0，有f(n) = O(nlogb a-ε )，则T(n) = O(nlogb a ) 2.若f(n) =

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递归算法时间复杂度分析

动态规划(dynamic programming)

青蛙跳台阶问题暨斐波那契数列

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青蛙跳台阶

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