如何证明三次有限多重集的元素加法是内射的？

三次有限多重集的元素加法是内射的可以通过以下证明：

首先，我们需要明确三次有限多重集的定义。三次有限多重集是指一个集合中的元素可以重复出现，每个元素最多出现三次。

假设我们有两个三次有限多重集A和B，它们的元素分别为a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bm。

现在我们来证明三次有限多重集的元素加法是内射的，即如果A + B = A' + B'，则A = A'且B = B'。

假设A + B = A' + B'，即A和B的元素相加等于A'和B'的元素相加。

首先，我们来证明A = A'。

假设A ≠ A'，那么至少存在一个元素x，它在A中出现的次数与在A'中出现的次数不同。由于A + B = A' + B'，那么x在A + B和A' + B'中出现的次数也必须相同。

考虑x在A + B中出现的次数，根据三次有限多重集的定义，x在A中最多出现三次，在B中最多出现三次。因此，在A + B中，x最多出现六次。

同样地，考虑x在A' + B'中出现的次数，根据三次有限多重集的定义，x在A'中最多出现三次，在B'中最多出现三次。因此，在A' + B'中，x最多出现六次。

由于A + B = A' + B'，那么x在A + B中出现的次数与在A' + B'中出现的次数相同。但是根据前面的分析，x在A + B中最多出现六次，在A' + B'中最多出现六次，这与x在A和A'中出现的次数不同，产生了矛盾。

因此，假设A ≠ A'是错误的，即A = A'。

同理，可以证明B = B'。

综上所述，如果A + B = A' + B'，则A = A'且B = B'，即三次有限多重集的元素加法是内射的。