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如何证明三次有限多重集的元素加法是内射的?

三次有限多重集的元素加法是内射的可以通过以下证明:

首先,我们需要明确三次有限多重集的定义。三次有限多重集是指一个集合中的元素可以重复出现,每个元素最多出现三次。

假设我们有两个三次有限多重集A和B,它们的元素分别为a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bm。

现在我们来证明三次有限多重集的元素加法是内射的,即如果A + B = A' + B',则A = A'且B = B'。

假设A + B = A' + B',即A和B的元素相加等于A'和B'的元素相加。

首先,我们来证明A = A'。

假设A ≠ A',那么至少存在一个元素x,它在A中出现的次数与在A'中出现的次数不同。由于A + B = A' + B',那么x在A + B和A' + B'中出现的次数也必须相同。

考虑x在A + B中出现的次数,根据三次有限多重集的定义,x在A中最多出现三次,在B中最多出现三次。因此,在A + B中,x最多出现六次。

同样地,考虑x在A' + B'中出现的次数,根据三次有限多重集的定义,x在A'中最多出现三次,在B'中最多出现三次。因此,在A' + B'中,x最多出现六次。

由于A + B = A' + B',那么x在A + B中出现的次数与在A' + B'中出现的次数相同。但是根据前面的分析,x在A + B中最多出现六次,在A' + B'中最多出现六次,这与x在A和A'中出现的次数不同,产生了矛盾。

因此,假设A ≠ A'是错误的,即A = A'。

同理,可以证明B = B'。

综上所述,如果A + B = A' + B',则A = A'且B = B',即三次有限多重集的元素加法是内射的。

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