在上一篇推送中总结了用数学方法直接求解最小二乘项的权重参数，然而有时参数是无法直接求解的，此时我们就得借助梯度下降法，不断迭代直到收敛得到最终的权重参数。...如何用上节介绍的梯度下降来求权重参数的向量呢？ 还是从概念入手，首先得求出梯度来吧，说白了就是求出代价函数的偏导数。为什么是偏导数呢？...好了，到这里，已经把最小二乘项的两种求解方法：直接法和梯度下降法都阐述了一遍。...直接法只是一种求解权重参数的巧合，现实中往往更复杂的模型是不大可能直接求出权重参数的，更可能是通过梯度下降做法求权重参数吧。...当然，OLS算法在sklearn库中已经有了对应的实现，但是这并不妨碍我们手动编写代码，因为我们是为了从思想层面认识机器学习最基本也非常重要的最小二乘法吧，这也是入门机器学习的相对较好的方法吧。
对排序的数据去重最快的方案使用unique函数，此函数本质是将重复的元素移动到数组的末尾，最终尾迭代器指针指向最后一个重复数据，且返回尾迭代器。...// 二分求出 val 对应离散化的值 int search(int val) { // 在、右指针 int lt = 0,rt = sizeof(datas)/4 - 1; while(lt和 r ，你需要求出在区间 [ l , r ]之间的所有数的和。 输入格式： 第一行包含两个整数 n 和 m 。...算法实现流程： 创建二维数组arr[10][2]存储坐标及其对应的值。下图描述了数组和坐标轴的对应关系。坐标轴上的黑色数字表示坐标位置，红色数字表示此坐标位置对应的值。...如下图显示了把二维数组展开后和一维数组的对应关系。 计算法则：如果列号为0，10减行号加1为其对应的一维坐标，如果列号为1，则10加行号+1，为对应一维坐标。
C++中argmin和argmax的实现 在Python中argmin和argmax这两个函数一般是用来就一列数中的最小值和最大值的索引。C++中我们如何实现呢？...实现思路 使用STL中的std::min_element函数求出最小值； 使用STL中的std::distance计算最小值跟迭代器的头部的距离； 实现代码 #include
概括要点 损失函数和负梯度 损失函数：机器学习的训练目标是让损失函数最小，损失函数极小化，意味着拟合程度最好，对应的模型参数即为最优参数。...可以把 GBDT 的求解过程想象成线性模型优化的过程。在线性模型优化的过程中。利用梯度下降我们总是让参数向负梯度的方向移动，一步步的迭代求解，得到最小化的损失函数。即通过梯度下降可以最小化损失函数。...梯度下降 在机器学习算法中，在最小化损失函数时，可以通过梯度下降法来一步步的迭代求解，得到最小化的损失函数，和模型参数值。反过来，如果我们需要求解损失函数的最大值，这时就需要用梯度上升法来迭代了。...梯度下降法和梯度上升法是可以互相转化的。比如我们需要求解损失函数f(θ)的最小值，这时我们需要用梯度下降法来迭代求解。...即如何求出f_m和β_m？ 12. 前向分步算法 前向分布算法说：“我可以提供一套框架，不管基函数和损失函数是什么形式，只要你的模型是加法模型，就可以按照我的框架的指导，去求解。”
enumerate函数 Python中的enumerate()函数用于检索迭代中所有项的索引。迭代是Python中的项的集合，如列表、字典和集。...图2 enumerate()函数的作用是：返回两个项目的元组，其中第一个项目对应于索引，而第二个项目对应于相应迭代中的实际项目。...图3 现在，可以看到nums列表中的所有索引及其对应项。注意，还可以看到多次出现的项的索引，例如整数20和14。...图5 作为另一个示例，下面的脚本演示了如何使用enumerate()函数获取“nums”列表中整数20的所有索引。...图9 在某些情况下，使用zip()函数聚合或组合的迭代包含数量不等的项。在这种情况下，只有来自多个迭代的项与最小迭代中的项相对应，才会进行聚合。 例如，在下面的脚本中，genders列表只包含2项。
动态规划也是自顶向下把原问题分解为若干子问题，不同的是，然后，自底向上，先求解最小的子问题，把结果存储在表格中，在求解大的子问题时，直接从表格中查询小的子问题的解 ，避免重复计算，从而提高了算法效率。...如果要求一个问题的最优解(通常是最大值或者最小值)，而且该问题能能够分解为若干子问题，并且小问题之间也存在 重叠的子问题，则考虑使用动态规划。 怎么使用动态规划？...解决问题(通常使用数组进行迭代求出最优解) 练习 给定一根线段，长为n,分成m段，最大的乘积是多少？...0开始 //绳子多长(n多大),对应分割的最大乘积就存在数组对应下标所指向的值temp[n] temp[0] = 0; temp[1] = 0; temp[2] = 2; temp[3] =...3; /* 我们不需要去考虑到底要分割成多少段求出来的乘积才是最大的， 每次分割成都两段，这两段的乘积最大值已经在之前求出来并且存到了temp中对应的位置上了， 我们只需要对比这几种分割(分成两段的不同情况
假定X是已知的，也就是我们已经求出了稀疏系数，接着对字典矩阵进行更新，当误差达到最小时，字典达到最优。对公式（10）中的D进行求导，得到(Y-DX)XT=0，进而我们有公式（11）： ?...当C给定时，通过计算欧式距离，每个信号都将划分为离它最近的代码字所在的类。将yi记为yi=Cxi。其中xi=ei，选择第j个索引时，只有第j项非零，其他项都为0，第j个索引的选择表示如下： ?...在字典更新阶段，我们令第一阶段中使（16）最小的X固定，更新C使式（16）最小。据此，在每次迭代中，MSE要么减少要么不变。算法保证了MSE单调递减，最终收敛到局部最小。...注意我们在这里并没有讨论迭代的终止条件，这是因为迭代条件可根据需求进行选择，并且易于实现和操作。...其中T0是稀疏表示的稀疏中非零元素的数量的上限值，也就是系数向量中的最大差异度。 式（17）（18）是类似的，本文主要讨论第一种情况。 在本文算法中，通过迭代的方式使得式（17）最小。
梯度表示误差变化，这种变化是由权值，从原始值变化很小的值后引起的。 4.我们用梯度变化曲线来定向更新权值，以使误差最小化。通过迭代，逐步接近函数的最小值。...这些数据可以是模型从没用过的，大多数优化问题都能通过梯度下降法及其衍生方法来解决。它们都属于一阶优化方法，之所以称之为一阶，是因为我们只需要计算一阶导数。...这一次，我们用得到的映射点作为初始值。 我们不断迭代上面的步骤，直到得出一个不超过某个阈值的x值，这便是牛顿法中的寻根法。 我们利用此方法求出函数在何处为零。...然后我们求出这个二次函数的最小值，而非原始函数的最小值；再然后我们用这个二次函数的最小值，作为下一步的初始位置。 然后重复之前的步骤。 牛顿法使用经典范例 那让我们来看两个牛顿法最优化的例子。...然后我们计算初始x点的二阶泰勒级数，并计算出它的最小值。这是通过求出一阶导数和二阶导数，并使它们为零实现的，为了找到最小的x值，我们对这个过程进行迭代。
首先定义损失函数 l 关于 y‘(t-1) 的一阶偏导数和二阶偏导数： ? 那么，我们的损失函数就可以转化为下式（标出了与泰勒公式中x和Δx的对应关系）。 ?...我们可以套用一元二次函数的最值公式轻易地求出最值点： ? 那回到我们的目标函数 Obj，该如何求出它的最值呢？ ?...在【6】中我们提到，Gj 和 Hj 相对于第 t 棵树来说是可以计算出来的。那么，这个式子就是一个只包含一个变量 叶子结点权重wj 的一元二次函数，上面也提到了，我们可以通过最值公式求出它的最值点。...那么，假设目前树的结构已经固定，套用一元二次函数的最值公式，我们可以轻易求出，每个叶子结点的权重 wj* 及其此时达到最优的 Obj 的目标值： ? 实例演示： ? 02 一棵树的生长细节 1....如果任一个叶子结点的样本权重低于某一个阈值，也会放弃此次分裂。这涉及到一个超参数:最小样本权重和，是指如果一个叶子节点包含的样本数量太少也会放弃分裂，防止树分的太细，这也是过拟合的一种措施。
对于这个目标函数，我们依然可以用第四篇讲到的SMO算法来求出对应的，进而求出我们的回归模型系数。...而怎么极小化这个函数，求出对应的向量，进而求出分离超平面我们没有讲。本篇就对优化这个关于向量的函数的SMO算法做一个总结。 1....由于我们采用的是启发式的迭代法，假设我们上一轮迭代得到的解是，假设沿着约束方向未经剪辑的解是.本轮迭代完成后的解为 由于必须满足上图中的线段约束。假设L和H分别是上图中所在的线段的边界。...那么很显然我们有： 而对于L和H，我们也有限制条件如果是上面左图中的情况，则 如果是上面右图中的情况，我们有： 也就是说，假如我们通过求导得到的，则最终的应该为： 那么如何求出呢？...由于定了的时候,也确定了，所以要想最大，只需要在为正时，选择最小的作为， 在为负时，选择最大的作为，可以将所有的保存下来加快迭代。
此时我们需要找到合适的所有隐藏层和输出层对应的线性系数矩阵$W$,偏倚向量$b$,让所有的训练样本输入计算出的输出尽可能的等于或很接近样本输出。怎么找到合适的参数呢？ ...如果大家对传统的机器学习的算法优化过程熟悉的话，这里就很容易联想到我们可以用一个合适的损失函数来度量训练样本的输出损失，接着对这个损失函数进行优化求最小化的极值，对应的一系列线性系数矩阵$W$,偏倚向量...在DNN中，损失函数优化极值求解的过程最常见的一般是通过梯度下降法来一步步迭代完成的，当然也可以是其他的迭代方法比如牛顿法与拟牛顿法。...这里我们用数学归纳法，第$L$层的$\delta^{L}$上面我们已经求出， 假设第$l+1$层的$\delta^{l+1}$已经求出来了，那么我们如何求出第$l$层的$\delta^{l}$呢？...，只要求出了某一层的$\delta^{l}$，求解$W^l,b^l$的对应梯度就很简单的。
损失函数对应于误分类点到分离超平面的总距离。 基于随机梯度下降法对损失函数的最优化算法，有原始形式和对偶形式。...首先学习输入输出的联合概率分布，然后基于此模型，对给定的输入x，利用贝叶斯定理求出后验概率最大的输出y。 后验概率最大等价于0-1损失函数的期望风险最小化。...EM算法及其推广 概率模型参数估计 EM算法用于含有隐变量的概率模型参数的极大似然估计的迭代算法。...表示状态序列和观测序列的联合分布，状态序列是隐藏的。 标注问题是给定观测序列预测对应的标记序列。 概率计算：计算在模型下观测序列出现的概率。...概率计算采用前后向算法 学习方法：（正则化的）极大似然估计法：即在给定训练数据下，通过极大化训练数据的对数似然函数来估计模型参数。具体的算法有：迭代尺度算法，梯度下降法，拟牛顿法。 应用：标注。
在SVM的前三篇里，我们优化的目标函数最终都是一个关于向量的函数。而怎么极小化这个函数，求出对应的向量，进而求出分离超平面我们没有讲。本篇就对优化这个关于向量的函数的SMO算法做一个总结。 1....由于我们采用的是启发式的迭代法，假设我们上一轮迭代得到的解是，假设沿着约束方向未经剪辑的解是.本轮迭代完成后的解为 由于必须满足上图中的线段约束。假设L和H分别是上图中所在的线段的边界。...那么很显然我们有： 而对于L和H，我们也有限制条件如果是上面左图中的情况，则 如果是上面右图中的情况，我们有： 也就是说，假如我们通过求导得到的，则最终的应该为： 那么如何求出呢？...由于定了的时候,也确定了，所以要想最大，只需要在为正时，选择最小的作为， 在为负时，选择最大的作为，可以将所有的保存下来加快迭代。...3)按照下式求出 4)利用和的关系求出 5)按照4.3节的方法计算和 6）在精度e范围内检查是否满足如下的终止条件： 7)如果满足则结束，返回,否则转到步骤2）。
本篇接上一篇二分查找，主要通过部分题目熟悉二分查找的进阶使用，重点强调二段性，找到两个区间不同的地方在哪，多画图划分界限 1.山脉数组的峰顶索引 ✏️题目描述： ✏️示例： 传送门：山脉数组的峰顶索引...题解: 第一步： 首先确定二段性，把顶峰放到左区间还是右区间取决于你自己，会根据取法不同而导致代码不同，但是都能求出顶峰索引，这里我们放到左区间 第二步： 按照我们的划分方式，要确保左边区间不会越过分界...如果在左区间，那么mid会有等于峰顶索引，即left = mid；如果在右区间，mid及其后面的值都不可能是峰顶索引，即right = mid - 1 细节问题: 对于二分查找进阶模版，如果在if语句的函数体里有减法操作时...）都小于D，那么由此就能确定二段性，不断向中寻找最小的数 第二步： 如果在右区间，那么mid会有等于最小值，即right = mid；如果在左区间，mid及其前面的值都不可能是最小值，即left = mid...，缺失数字的位置开始下标与实际值不同，很明显二段性立马就出来了 第二步： 如果在右区间，那么mid会有等于缺失值的实际位置索引，即right = mid；如果在左区间，mid及其前面的值都不可能是缺失值的实际位置索引
）或者错误函数(error function) 要求出theta，使代价最小，即代表我们拟合出来的方程距离真实值最近。...3.梯度下降 梯度下降法则是一种最优化算法，它是用迭代的方法求解目标函数得到最优解，是在cost function（成本函数）的基础上，利用梯度迭代求出局部最优解。...简洁表示 4.最小二乘法 线性回归过程主要解决的就是如何通过样本来获取最佳的拟合线。最常用的方法便是最小二乘法，它是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。...SSR（Sum of Squares for Regression）：回归平方和是每个y对应的预测值f(x)和y的总体平均值之差的平方和，反映了y的总偏差中，由于x和y的线性关系引起的y的变化部分，可以由回归直线来解释...例如上面实例中，我们只是假设重量对燃油效率有影响，但实际上马力、加速度等特征和燃油效率之间也呈现明显的相关性，对燃油效率也有影响，而这些特征对燃油效率的影响，是不能通过我们拟合的“重量和燃油效率的线性回归直线
它具有一般免疫系统的特征，采用群体搜索策略，通过迭代计算，最终以较大的概率得到问题的最优解。...2.4 蚁群算法和免疫算法比较 蚁群算法和免疫算法分别在5个基准函数上进行实验，同时在每个基准函数实验20次，并求出20次实验蚁群算法和免疫算法求得全局最优解的平均迭代次数及其标准差。...2.5 蚁群算法和粒子群算法比较 蚁群算法和粒子群算法分别在5个基准函数上进行实验，同时在每个基准函数实验20次，并求出20次实验蚁群算法和免疫算法求得全局最优解的平均迭代次数及其标准差。...2.6 粒子群算法和免疫算法比较 粒子群算法和免疫算法分别在5个基准函数上进行实验，同时在每个基准函数实验20次，并求出20次实验蚁群算法和免疫算法求得全局最优解的平均迭代次数及其标准差。...2.7蚁群算法、免疫算法、粒子群算法比较 蚁群算法、粒子群算法和免疫算法分别在5个基准函数上进行实验，同时在每个基准函数实验20次，并求出20次实验蚁群算法和免疫算法求得全局最优解的平均迭代次数及其标准差
而最小二乘法的一个最简单的例子便是算术平均。 最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。...的解： ? 这个解没有考虑其约束条件 ? ，即是未经剪辑时的解。 然后考虑约束 ? 可得到经过剪辑后的 ? 的解析解为： ? 求出了后 ? ，便可以求出 ? ，得 ? 。 那么如何选择乘子 ?...且每次更新完两个乘子的优化后，都需要再重新计算b，及对应的Ei值。 最后更新所有 ? ，y和b，这样模型就出来了，从而即可求出咱们开头提出的分类函数： ?...那么在每次迭代中，如何更新乘子呢？ ? ? 知道了如何更新乘子，那么选取哪些乘子进行更新呢？...，求出来的E代表函数ui对输入xi的预测值与真实输出类标记yi之差）。 最后，每次更新完两个乘子的优化后，都需要再重新计算b，及对应的Ei值。
这里假设一个AdaBoost是由MM个弱分类器家全球和得到。每一个弱分类器f_m(x)fm(x)都给出一个预测结果，然后根据其对应的权重\theta_mθm加权求和。...因此，我们可以看到，AdaBoost的目标其实就是求出每个弱分类器的模型参数，以及其对应的权重。 二、AdaBoost的求解 前面可以看到AdaBoost的模型本身非常简单。...那么，如何求解这个模型中弱分类器的权重及其参数呢？其步骤如下： 首先，根据前面所述，有nn个数据，我们初始化每个数据的权重都是一样的： ?...同时注意，在后面的迭代中，每个错分的样本的权重是不同的，这里的mm表示第mm次迭代时候，该样本的权重。...也就是说该数据集的样本权重降低。否则该数据样本的权重增高。因此，通过这种计算就可以让那些容易分错的样本的权重升高，容易分对的样本权重降低。继续迭代就会导致对难分的样本能分对的模型的权重上涨。
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