如果我们能证明有限容量背包问题在一个多项式时间内求解，则所有背包都属于P。

有限容量背包问题是一个经典的组合优化问题，它的目标是在给定的一组物品中选择一些物品放入背包中，使得物品的总价值最大化，同时不超过背包的容量限制。

如果我们能证明有限容量背包问题在一个多项式时间内求解，则所有背包都属于P。这意味着我们可以在多项式时间内解决任何背包问题，包括具有不同容量限制和不同物品集合的背包问题。

背包问题属于NP完全问题，这意味着目前没有已知的多项式时间算法可以解决所有背包问题。然而，如果我们能够找到一个多项式时间算法来解决有限容量背包问题，那么我们可以将这个算法应用于其他背包问题，从而证明它们也可以在多项式时间内求解。

在实际应用中，背包问题经常出现在资源分配、货物装载、投资组合优化等领域。例如，在电子商务中，背包问题可以用于优化物流配送，使得货物的总体积或重量最大化，同时不超过运输工具的容量限制。

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《算法设计与分析》学习笔记

换句话说，对于一个给定的NP问题，如果我们有一个解，我们可以在多项式时间内验证这个解的正确性。然而，我们并不能在多项式时间内找到一个解。...这是因为NP问题通常是非确定性多项式时间可解的，意味着我们可以猜测一个解并在多项式时间内验证它，但没有一种确定性的算法能够在多项式时间内找到一个解。...如果能够在多项式时间内找到NP问题的解，那么P问题和NP问题将等价，这是一个著名的数学难题，被称为P与NP问题的克里伯尔猜想。...需要注意的是，虽然NP问题的解不能在多项式时间内找到，但如果我们得到了一个解，我们可以在多项式时间内验证其正确性。因此，一些NP问题可以通过近似算法或优化策略来获得接近最优解的解决方案。...程序H首先尝试运行程序P并观察它的行为。如果程序P在有限步骤内停机，则程序H返回"停机"。否则，程序H进入一个无限循环。接下来，构造一个新的程序D。

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【动态规划背包问题】详解「完全背包」问题 & 三种背包问题之间的内在关系

你也先可以尝试做做，也欢迎你向我留言补充，你觉得与背包相关的 DP 类型题目 ~ 题目描述有种物品和一个容量为的背包，每种物品「数量有限」。...问选择哪些物品，每件物品选择多少件，可使得总价值最大。其实就是在 0-1 背包问题的基础上，增加了每件物品可以选择「有限次数」的特点（在容量允许的情况下）。...因此，当我们确定一个问题是背包问题之后，可以根据其物品的「数量限制」来判别是何种背包问题，然后套用「01 背包」的思路来求解。...这个问题在「完全背包」里面无须关心，因为每件物品可以被选择无限次，而在「多重背包」则是不能忽略，否则可能会违背物品件数有限的条件。...同时，我们能总结出：在传统的三种背包问题的「一维空间优化」里，只有「完全背包」的「容量维度」是「从小到大」的，其他两种背包的「容量维度」都是「从大到小」的。

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【动态规划】一次搞定三种背包问题

完全背包：有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用，第i件物品消耗的容量为Ci，价值为Wi，求解放入哪些物品可以使得背包中总价值最大。...多重背包：有N种物品和一个容量为V的背包，第i种物品最多有Mi件可用，每件物品消耗的容量为Ci，价值为Wi，求解入哪些物品可以使得背包中总价值最大。...三种背包问题都有一个共同的限制，那就是背包容量，背包的容量是有限的，这便限制了物品的选择，而三种背包问题的共同目的，便是让背包中的物品价值最大。...在完全背包问题中，虽然每种物品都可以选择无限个，但由于背包容量有限，实际上每种物品可以选择的数量也是有限的，那么将每种物品都看做是 V/Ci 种只有一件的不同物品，不就成了01背包问题吗？...所以对于混合背包问题，同样也可以一个一个物品考虑，如果这个物品是最多选一个，那么就采用01背包的解决策略，如果是可以选择任意多个，那么就使用完全背包的解决策略，如果只能选择有限多个，那么就使用多重背包的解决策略

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今天就来揭开多重背包的面纱！！！

多重背包题目描述朴素二维 c++完整测试代码滚动数组一维空间优化与其他背包的内在关系总结 ---- 题目描述有 N 种物品和一个容量为 C 的背包，每种物品「数量有限」。...问选择哪些物品，每件物品选择多少件，可使得总价值最大。其实就是在 0-1 背包问题的基础上，增加了每件物品可以选择「有限次数」的特点（在容量允许的情况下）。...因此，当我们确定一个问题是背包问题之后，可以根据其物品的「数量限制」来判别是何种背包问题，然后套用「01 背包」的思路来求解。...这个问题在「完全背包」里面无须关心，因为每件物品可以被选择无限次，而在「多重背包」则是不能忽略，否则可能会违背物品件数有限的条件。...同时，我们能总结出：在传统的三种背包问题的「一维空间优化」里，只有「完全背包」的「容量维度」是「从小到大」的，其他两种背包的「容量维度」都是「从大到小」的。

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【算法】DP背包问题（CC++）

这一类的问题我们可以利用动态规划DP的思想进行解决，其效率也非常高动态规划（Dynamic Programming，简称DP）是一种通过把复杂的原问题分解为相对简单的子问题的方式，进而求解原问题的方法...0-1背包问题问题描述：给定一组物品，每个物品都有一个重量和一个价值，现有一个背包可以承载的最大重量为W。问可以选择哪些物品，使得在不超过背包容量的前提下，所携带物品的总价值最大。...状态转移方程：如果不取第i个物品，则 dp[i][j] = dp[i-1][j]，如果取第i个物品（前提是j >= w[i]），则 dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1]...问可以选择哪些物品，使得在不超过背包容量的前提下，所携带物品的总价值最大。但每种物品可以无限取用。...遍历顺序：先遍历背包容量，再遍历物品。多重背包问题还有一种叫做多重背包问题，在多重背包问题中，每种物品都有限定的数量，不再是仅有一个，而是有多个。

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初识背包问题之「 0-1 背包」

作者 | P.yh 来源 | 五分钟学算法前言背包问题可以说是一个老生常谈的问题，通常被用作面试题来考查面试者对动归的理解，我们经常说学算法，初学者最难理解的就是 “二归”，一个叫递归，另一个叫动归...通常题目会要你求出背包能装的最大价值（每个物品都会有容量和价值），当然也会有不一样的问法，类似背包能否被装满，还有背包能装的最大容量是多少，多少种方式填满背包。...0-1 背包题目描述有 N 件物品和一个容量为 V 的背包。放入第 i 件物品耗费的费用是 C[i] ,得到的价值是 W[i] 。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。求出最大总价值。...之前我们提到过，背包是属于按值动归，我们把背包划分为 1-V个区间，也就是背包所有可能的大小，然后针对所有的物品，看看每个背包容量下能存放的最大价值，代码如下： public static int zeroOnePack...基本概况就是这些，当然可能问题的问法会不一样，例如：背包能不能被装满解题思路就是将 int 数组换成 boolean 数组，也不用去考虑物品的价值来，直接看容量够不够，能不能装进背包即可背包能装的最大容量

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对NP问题的一点感想

假如一个无限循环检查程序能够写出，那么它肯定可以用于自检。假设此时我们可以编写这样的一个程序，叫做LOOP。LOOP把一个程序P作为输入并使P自身运行。如果P自身运行时出现循环，则显示短语YES。...根据我们的定义，如果P(P)终止，则LOOP(P)进入一个无限循环。设当P=LOOP时，P(P)终止。此时，按照LOOP程序，LOOP(P)应该进入一个无限循环。...检验一个问题是否属于NP的简单方法就是将该问题用“是/否（yes/no）问题”的语言描述。如果我们在多项式时间内能够证明一个问题的任意“是”的实例是正确的，那么该问题就是NP类。...也并不是所有可判定性问题都属于NP。考虑确定一个图是否没有哈密尔顿圈的问题。证明一个图有哈密尔顿圈是相对简单的事情——我们只需要找到一个就可以了。...因此，如果任意NP-完全问题有一个多项式时间解，那么NP中的每一个问题必然都有一个多项式时间解。假设我们有一个NP-完全问题 P1，并设P2 已知属于NP。

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USING INDUCTION TO DESIGN 使用归纳法设计算法【全文翻译】

为了完成这个算法我们不仅需要求解容量为K的背包问题也需要求解对最大容量为K的所有背包的问题。...（这里存在把背包容量限制在一些减去ki后的大小之中，但是也可能不存在这样的限制条件）更强的归纳假设：我们已经知道对所有的0≤k≤K如何去求解P(n-1,k)。...在每次简化后对问题数目翻倍会带来指数运行时间，但是如果这里只有nK个不同的问题我们肯定对同一个问题求解了多次。如果我们记下了所有的解答我们就不需要对同一个问题求解两次。...背包算法{k1,k2…kn,K:整型}; {如果对于前i个元素和容量为j的背包有解那么P[i,j].exist=true，如果第i个元素包含在解中那么P[i,j].belong=true} begin...如果我们对找到实际的集合感兴趣，我们可以从第(n,K)个条目倒推，例如使用背包程序中的belong标志位，在O(n)时间内复原这个集合。

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算法细节系列（9）：动态规划之01背包

问题描述 Problem: 给定n种物品和一背包。物品i的重量是wi，其价值为vi，背包的容量为C。问应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大?...这里简单解释下，因为递归的本质在于数学归纳，我们假设的始终是前一个状态的准确性，如果能找到状态间唯一的性质来构建当前状态，那么它就能随着状态的累加逐步得到正确解。...所以理解代码准确性的关键点在于，假设我们拿到了下一状态的两个value（背包容量分别为c和c-w[now]），如果当前容量不够容下此物品，那么就直接返回value，而当前容量足够容下此物件，那么一定选择下一状态中较大的那个...但从上述问题的优化过程，它能给我们其它的思路，原本O(2n)O(2^n)的复杂度，降低到了O(nw)O(nw)，说明该问题在暴力搜索时，已经证明了状态的重复性。...一个技巧就是，假设第n-1阶段的所有状态你已经知道了，而此时你去考虑需要加些什么条件能够构建第n阶段的解，基本上如果你有思路了，问题也就被你解决了。

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深度讲解背包问题：面试中每五道动态规划就有一道是背包模型 ...

---- 彻底转换为 0-1 背包问题对于完全背包，我们知道每件物品可以选择无限次，但是我们的容量仍然是有限的。...先将一个多重背包问题根据「二进制优化」的思路，转化为 0-1 背包问题，然后根据物品是属于 0-1 背包还是完全背包决定容量 j 是从大到小还是从小到大进行推算。...---- 多维背包问题多维背包问题：有 N 件物品和一个容量是 V 的背包，背包能承受的最大重量是 M。...如果选择一个物品，则必须选择它的父节点。 ? 如果选择物品 5，则必须选择物品 1 和 2。这是因为 2 是 5 的父节点，1 是 2 的父节点。...背包问题的本质其实是这么一个模型：我有一些额度（背包容量）用来做决策（选择物品），做决策会伴随着成本和收益，求解在额度以内的最大收益。所有的背包问题的变种都离不开这个模型。

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【动态规划背包问题】背包问题第一阶段最终章：混合背包问题

但如果实在要分侧重点的话，我更愿意你将大多数时间花在「01 背包」和「完全背包」上。混合背包给定物品数量和背包容量。...求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。...我们知道在一维空间优化方式中「01 背包」将当前容量按照“从大到小”进行遍历，而「完全背包」则是将当前容量按照“从小到大”进行遍历。...先将一个「多重背包」问题通过「二进制优化」的思路，转化为「01 背包」问题。然后根据物品是属于「01 背包」还是「完全背包」决定容量是"从大到小"还是"从小到大"进行推算。...对于「完全背包」和「多重背包」而言，一个可以选择「任意个数的物品」，另外一个则存在「选择物品的上界」。

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一文理解NP完全理论，NP问题，NPC问题

比如，在哈密顿回路中，我们给出一个所有节点的序列，即证书，可以很容易在多项式时间内验证这个证书是否是一个哈密顿回路。 ...都属于NPC，那么比Q1还难的Q2自然也是NPC问题；P问题代表是简单的问题，如果Q2属于P问题，那比Q2还简单的Q1自然也是P问题。...NP问题—P问题的证明根据概念，已知能够设计一个算法，在多项式时间内解决一个问题，那这个问题就是属于P问题。而如果目前的问题找不到这样一个算法去直接解答，就需要采用证明的方式去验证其是P问题。...顶点覆盖问题一般要求我们找能覆盖所有边最少的顶点集，这是一个最优化问题，那便可以转化为一个判断型问题，也就是问图中是否存在一个数目为m的顶点覆盖集。...对应在原图G中，e1和e2之间不存在边，那边可知至少有一个节点不∈S（如果都属于S则原图便存在边了）便可以推回去证明了。

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文心一言 VS 讯飞星火 VS chatgpt （214）-- 算法导论16.2 1题

文心一言：要证明分数背包问题具有贪心选择性质，我们可以按照以下步骤进行逻辑推导：理解问题：分数背包问题允许我们选择物品的部分重量，目标是最大化背包内物品的总价值，同时不超过背包的总容量。...贪心策略：我们总是选择单位重量价值（价值除以重量）最高的物品放入背包，直到背包满或所有可选物品都已考虑。证明贪心策略的最优性：假设我们有一个最优解，它不是通过贪心策略得到的。...讯飞星火：贪心选择性质是指，在分数背包问题中，每次选择物品时，都选择单位价值最高的物品。这样可以保证在有限的时间内获得最大的总价值。...然后实现了一个fractionalKnapsack函数，该函数接受一个物品列表和一个背包容量作为参数，返回背包能装载的最大价值。...在分数背包问题中，贪心选择性质意味着如果我们选择了物品i，那么我们可以忽略掉所有重量大于或等于a[i]/c[i]的物品j。

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leetcode 416. 分割等和子集---直接解法

：如何将「间接求解」的方式转为「直接求解」，并学习为什么能这么做，此类做法是否有共性 ... ---- 直接求解我们先来回顾一下上一讲使用的「状态定义」和「转移方程」。...转移方程：但题目并不是问我们「最大价值是多少」，而是问「是否能凑出最大价值」。...试考虑，我们创建的 dp 数组存储的是布尔类型，初始值都是 false，这意味着无论我们怎么转移下去，都不可能产生一个 true，最终所有的状态都仍然是 false。...我们快速过一下 ~ ---- 图解大白话时间: 求解当前物品当前容量的状态下的结果其实就是把当前容量减去物品大小，剩余的空间为p，然后问题就转变为了在考虑前一个物品，对应容量为p的情况下能否满足条件...，这里就是能否物品最大价值刚好等于背包最大容量，如果能返回true，不能返回false; ---- 常规解法 class Solution { public: bool canPartition(vector

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你必须知道的基础算法

这一过程一直进行到已发现从源结点可达的所有结点为止。如果还存在未被发现的结点，则选择其中一个作为源结点并重复以上过程，整个进程反复进行直到所有结点都被发现为止。...Dijkstra单源最短路径算法和Prim最小生成树算法（后续有介绍）都采用了和宽度优先搜索类似的思想。他属于一种盲目搜寻法，目的是系统地展开并检查图中的所有节点，以找寻结果。...每一个解都对应于一个值，我们希望找到具有最优值的解。动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。...如果我们能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求得的答案，这样就可以避免大量的重复计算，节省时间。我们可以用一个表来记录所有已解的子问题的答案。.../*如果本物品的价值加上背包剩下的空间能放的物品的价值大于上一次选择的最佳方案则更新c[i][j]*/ c[i][j]=p[i]+c[i-1]

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背包九讲学习笔记

希望读者能够对这两个状态转移方程都仔细地体会，不仅记住，也要弄明白它们是怎么得出来的，最好能够自己想一种得到这些方程的方法。...再加上多重背包如果再加上最多可以取有限次的多重背包式的物品，那么利用单调队列，也可以给出均摊的解法。...也就是说，背包的容量以及每件物品的费用都是一个复整数。而常见的一维背包问题则是自然数域上的背包问题。所以说，一维背包的种种思想方法，往往可以应用于二位背包问题的求解中，因为只是数域扩大了而已。...看完 8 后，你会发现这个“依赖关系树”每一个子树都等价于一件泛化物品，求某节点为根的子树对应的泛化物品相当于求其所有儿子的对应的泛化物品之和。...首先看 01 背包求最优解的状态转移方程：图片图片小结显然，这里不可能穷尽背包类动态规划问题所有的问法。

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动态规划专题刷题记录③：背包问题

用反证法可以证明：假设最优解由若干个b_i构成，且存在b_k不属于原货币系统a_i,则b_k可以用两个以上的原货币系统中的元素表示(如果可以用一个元素表示就和a_i相等了,假设：b_k = a_1+a_...故这题解法就是，看一个货币面值是否可以用其他的面值表示，如果可以表示则扔掉这个，做法就是将面值从小到大排序，然后第i个面值当做背包容量，用前i-1个货币面值去装，如果恰好装满的方案数大于等于1则可以舍去这个面值...i个物品划分，那么我们只要在求出所有状态的值之后再回溯找一遍每个物品是否被选即可，如果被选，则说明 dp[i-1][j-v[i]] = dp[i][j] – w[i]。...还要求一种合法方案，可以参见背包问题求解具体方案的那一栏，从后往前回溯没件物品，若dp[i][k] dp[i-1][k-j] + w[i][j],则说明找到一种方案，其中k代表当前实际的容量，j用于遍历所有容量...有依赖的背包问题 1. 题面有 N 个物品和一个容量是 V 的背包。物品之间具有依赖关系，且依赖关系组成一棵树的形状。如果选择一个物品，则必须选择它的父节点。

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背包九讲－问法的灵活变化

背包的问法多样，本质上还是对状态转移的求解．...：求次优解、第K优解(还不会) 问法一：基础求解最多可以放多少件物品或者最多可以装满多少背包的空间。...问法三：输出01背包的路径，背包问题是要求一个最优值，如果要求输出这个最优值的方案记录下每个状态的最优值是由状态转移方程的哪一项推出来的，换句话说，记录下它是由哪一个策略推出来的。...：求方案总数对于一个给定了背包容量、物品费用、物品间相互关系（分组、依赖等）的背包问题，除了再给定每个物品的价值后求可得到的最大价值外，还可以得到装满背包或将背包装至某一指定容量的方案总数。...实际上，一个正确的状态转移方程的求解过程遍历了所有可用的策略，也就覆盖了问题的所有方案。只不过由于是求最优解，所以其它在任何一个策略上达不到最优的方案都被忽略了。

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文心一言 VS 讯飞星火 VS chatgpt （218）-- 算法导论16.2 6题

六、设计算法，在O(n)时间内求解分数背包问题。如果要写代码，请用go语言。...对于最后一个物品，如果它不能完全放入背包中，我们只需放入背包剩余容量的那部分。这个算法的时间复杂度是O(n log n)，因为我们需要对物品进行排序。...然后我们定义了一个函数fractionalKnapsack来求解分数背包问题，它接受一个物品列表和一个背包的容量作为参数，返回背包中的最大总价值。...在O(n)时间内求解分数背包问题是不可能的，因为这将破坏该问题的NP-hard性质。然而，我们可以使用贪心算法在O(nlogn)时间内求解分数背包问题。...当背包容量不足以容纳整个物品时，我们只取部分物品。这种方法在O(nlogn)时间内求解分数背包问题，但不能保证得到最优解。

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