特征值的性质我们已经知道了,由于是对称矩阵的性质,我们再看下它的特征向量,因为特征向量正交,基于十七讲的内容,我们总可以将正交向量矩阵转化为正交矩阵,因此我们就可以将对角化公式进行如下分解
说明 如无特别说明都是实对称矩阵 定理 对称矩阵的特征值为实数 证明 设复数 为对称矩阵A的特征值,复向量x为对应的特征向量,即 因为x不同于0,所以 定理的意义 由于对称矩阵A的特征
实对称矩阵有着很好的性质,如果用一句话概括,就是: n阶实对称矩阵必有n个两两正交的实特征向量。
下文是参考文献 [1] 中所刊登的《关于线性代数的学习改进方法》内容摘录(为了便于阅读,排版和部分内容做了少量修订)。
在数据分析的过程中,我们会通过观察一系列的特征属性来对我们感兴趣的对象进行分析研究,一方面特征属性越多,越有利于我们细致刻画事物,但另一方面也会增加后续数据处理的运算量,带来较大的处理负担,我们应该如何平衡好这个问题?利用矩阵的特征值分解进行主成分分析就是一个很好的解决途径。
本文所述为量子化学电子结构理论中的基础知识,为本公众号同期另一文《从密度矩阵产生自然轨道_理论篇》一文的补充,对此基础内容熟悉的读者可以直接略过。
很多刚刚接触SLAM的小伙伴在看到李群和李代数这部分的时候,都有点蒙蒙哒,感觉突然到了另外一个世界,很多都不自觉的跳过了,但是这里必须强调一点,这部分在后续SLAM的学习中其实是非常重要的基础,不信你看看大神们的论文就知道啦。
今天我们继续MIT的线性代数专题,这一节课的内容关于向量空间,它非常非常重要,也是线性代数的核心,是后面几乎所有内容的基础。
这道题拿到是懵逼的 本题最为关键的是对称矩阵相乘的算法 幸好有老哥之前探索出了 对称矩阵M的第i行和第j列的元素的数据存储在一维数组a中的位置k的计算公式: 1、当i大于或等于j时,k = (i * (i + 1)) / 2 + j (下三角) 2、当i小于j时,k = (j * (j + 1)) / 2 + i (上三角) (注意这里是整除,真的是非常Amazing,有时间可以去研究一下是怎么推出来的) 链接: https://blog.csdn.net/xiezhi123456/article/details/86607261 在他的基础上顺利解决
奇异值分解(The Singular Value Decomposition,SVD)
在线性代数里,正定矩阵 (positive definite matrix) 有时会简称为正定阵。 定义: A A是n阶方阵,如果对任何非零向量xx,都有 xTAx>0 x^TAx> 0,其中 xT x^T 表示 x x的转置,就称AA正定矩阵。
本文介绍正定矩阵和半正定矩阵。 定义 正定和半正定这两个词的英文分别是positive definite和positive semi-definite,其中,definite是一个形容词,表示“明确的、确定的”等意思。 正定 给定一个大小为n \times n 的实方阵A ,若对于任意长度为n的非零向量x ,有x^TAx>0A是一个正定矩阵。 此时,若A为对称方阵,则称A为对称正定矩阵。 半正定 给定一个大小为n \times n 的实方阵A ,若对于任意长度为n的非零向量x ,有x^TAx
Jacobi方法用于求实对称阵的全部特征值、特征向量。对于实对称阵 A,必有正交阵 Q ,使 QT A Q = Λ 其中Λ是对角阵,其主对角线元素λii是A的特征值,正交阵Q的第j列是A的第i个特征值
对应于课本(Introduction to Linear Algebra)第六章内容的习题课
1.假设矩阵A是一个 m ∗ n m*n m∗n 矩阵,那么 A ∗ A T A*A^T A∗AT 得到一个 m ∗ m m*m m∗m 矩阵, A T ∗ A A^T*A AT∗A 得到一个 n ∗ n n*n n∗n 的矩阵,这样我们就能得到一个方矩阵。 看一个例子:
在之前的一篇文章:划重点!通俗解释协方差与相关系数,红色石头为大家通俗化地讲解了协方差是如何定义的,以及如何直观理解协方差,并且比较了协方差与相关系数的关系。
有一个等式,数据结构+算法=程序,说明了数据结构对于计算机程序设计的重要性。数据结构是指数据元素的集合(或数据对象)及元素间的相互关系和构造方法。数据对象中元素之间的相互关系称为数据的逻辑结构,数据元素及元素之间关系的存储形式称为存储结构(或物理结构)。
最近在看Yang大牛稀疏表示论文的代码,发现里面很多的操作的用到了矩阵的列归一化,这里谈一谈列归一化的实现,以及其带来的好处。
这是两个方程和两个变量,正如你从高中代数中所知,你可以找到 和 的唯一解(除非方程以某种方式退化,例如,如果第二个方程只是第一个的倍数,但在上面的情况下,实际上只有一个唯一解)。在矩阵表示法中,我们可以更紧凑地表达:
上三角或下三角矩阵也有大部份的元素不储存值(为0),我们可以将它们使用一维阵列来储存以节省储存空间,而对称矩阵因为对称于对角线,所以可以视为上三角或下三角矩阵来储存。
定理 设 非奇异,则存在正交矩阵P和Q,使得 其中 证明 因为A非奇异,所以 为实对称正定矩阵,于是存在正交矩阵Q使得, 为 的特征值 设x为非0特征向量,因为
首先,线性代数和微积分都是必要的,但是初学者容易割裂地看待它们以及机器学习,不清楚哪些线性代数&微积分的知识才是掌握机器学习数学推导的关键。一样,我也走过并继续在走很多弯路,就说说我的感受吧,大家一起探讨探讨。 1 理解矩阵变换 矩阵变换简单的说就是x->Ax,A矩阵把原空间上的向量x映射到了Ax的位置,看似简单实在是奥妙无穷。 1.1 A可以是由一组单位正交基组成,那么该矩阵变换就是基变换,简单理解就是旋转坐标轴的变换,PCA就是找了一组特殊位置的单位正交基,本质上就是基变换。 1.2 A可以是某些矩阵,
数组它是线性表的推广,其每个元素由一个值和一 组下标组成,其中下标个数称为数组的维数。
PHP数据结构(五)——数组的压缩与转置 (原创内容,转载请注明来源,谢谢) 1、数组可以看作是多个线性表组成的数据结构,二维数组可以有两种存储方式:一种是以行为主序,另一种是以列为主序。 2、当数组存在特殊情况时,为了节省存储空间,可以进行压缩存储,把相同值并有规律分布的元素只分配一个存储空间,对于零元素不进行存储。 有两种情况可以进行压缩存储——特殊矩阵与稀疏矩阵。 3、当数组为特殊的矩阵,例如数组为n阶对称矩阵(满足aij=aji)。对于该类型矩阵,可以只存储一半的数值加上对角线的内容,一共需要分配
设\(λ=λ_i\)是矩阵\(A\)的一个特征值,则有方程\((A-λ_iv)x=0\),可求得非零解\(x=p_i\)即为\(λ_i\)对应的特征向量。(若\(λ_i\)为实数,则\(p_i\)可取实向量;\(λ_i\)为复数,则\(p_i\)可取复向量)
广义上来说,任何在算法中用到SVD/特征值分解的,都叫Spectral Algorithm。顺便说一下,对于任意矩阵只存在奇异值分解,不存在特征值分解。对于正定的对称矩阵,奇异值就是特征值,奇异向量就是特征向量。
二次型矩阵实对称矩阵的转化以及化为正交矩阵的一道线代题 已知三元二次型 f(x_{1},x_{2},x_{3})=\mathbf{x}^{T} \mathbf{A x} ,其中 \mathbf{A}=\left[ \begin{matrix} 1& 2b& 0 \\ 0& a& 0 \\ 2& 1& 1 \\ \end{matrix} \right] , \mathbf{x}=(x_{1},x_{2},x_{3})^{T} ,若该二次型可以由正交变换 \mathbf{x}=\mathbf{Q
2-1 设有一个10阶的对称矩阵A,采用压缩存储方式,以行序为主存储,a11为第一元素,其存储地址为1,每个元素占一个地址空间,则a85的地址为 (2分) 13 33 18 40 / a8
Jacobi方法用于求实对称阵的全部特征值、特征向量。对于实对称阵 A,必有正交阵 Q ,使 QT A Q = Λ 其中Λ是对角阵,其主对角线元素λii是A的特征值,正交阵Q的第i列是A的第i个特征值
数组是存储同一类型数据的数据结构,使用数组时需要定义数组的大小和存储数据的数据类型。
Cholesky分解是一种分解矩阵的方法, 在线性代数中有重要的应用。Cholesky分解把矩阵分解为一个下三角矩阵以及它的共轭转置矩阵的乘积(那实数界来类比的话,此分解就好像求平方根)。与一般的矩阵分解求解方程的方法比较,Cholesky分解效率很高。Cholesky是生于19世纪末的法国数学家,曾就读于巴黎综合理工学院。Cholesky分解是他在学术界最重要的贡献。后来,Cholesky参加了法国军队,不久在一战初始阵亡。
看到一篇从数学意义上讲解Harris角点检测很透彻的文章,转载自:http://blog.csdn.net/newthinker_wei/article/details/45603583
拉普拉斯特征映射(Laplacian Eigenmaps,LE)是一种降维方法,之前有讲过一种比较常见的降维算法:主成分分析。
海森矩阵(Hessian Matrix),又译作黑塞矩阵、海瑟矩阵、海塞矩阵等,是一个多元函数的二阶偏导数构成的方阵,描述了函数的局部曲率。海森矩阵最早于19世纪由德国数学家Ludwig Otto Hesse提出,并以其名字命名。海森矩阵常用于牛顿法解决优化问题。
1. 正定矩阵 1.1 定义 在实数域下,一个 的实对称矩阵 是正定的,当且仅当对于所有的非零实系数向量 都有 。 在复数域下,一个 的埃尔米特矩阵 是正定的当且仅当对于每个非零的复向量 都有 。 1.2 性质 对于 的埃尔米特矩阵 ,下列性质与「 是正定矩阵」等价: 矩阵 的所有特征值 都是正的。由于 必然与一个实对角 相似,即 ,则 是正定矩阵当且仅当 的对角线上的元素都是正的。
计算机语言中,一般使用二维数组存储矩阵数据。在实际存储时,会发现矩阵中有许多值相同或许多值为零的数据,且分布有一定的规律,称这类型的矩阵为特殊矩阵。
谱图理论是图论与线性代数相结合的产物,它通过分析图的某些矩阵的特征值与特征向量而研究图的性质。拉普拉斯矩阵是谱图理论中的核心与基本概念,在机器学习与深度学习中有重要的应用。包括但不仅限于:流形学习数据降维算法中的拉普拉斯特征映射、局部保持投影,无监督学习中的谱聚类算法,半监督学习中基于图的算法,以及目前炙手可热的图神经网络等。还有在图像处理、计算机图形学以及其他工程领域应用广泛的图切割问题。理解拉普拉斯矩阵的定义与性质是掌握这些算法的基础。在今天的文章中,我们将系统地介绍拉普拉斯矩阵的来龙去脉。
线性代数中,特征分解(Eigendecomposition),又称谱分解(Spectral decomposition)是将矩阵分解为由其特征值和特征向量表示的矩阵之积的方法。 定义 线性代数中,特征分解(Eigendecomposition),又称谱分解(Spectral decomposition)是将矩阵分解为由其特征值和特征向量表示的矩阵之积的方法。 基础理论 N 维非零向量 v 是 N×N 的矩阵 A 的特征向量,当且仅当下式成立: {\displaystyle \mathbf {A} \mat
1、 投影矩阵与最小二乘:向量子空间投影在机器学习中的应用最为广泛。就拿最小二乘的线性拟合来说,首先根据抽样特征维度假设线性方程形式,即假设函数。
图的邻接矩阵的存储方式是用两个数组来实现的,一个一维数组存储顶点信息,一个二维数组存储线(无向图)或弧(有向图)的信息。
Singular Value Decomposition (SVD)是线性代数中十分重要的矩阵分解方法,被称为“线性代数的基本理论”,因为它不仅可以运用于所有矩阵(不像特征值分解只能用于方阵),而且奇异值总是存在的。
在这篇文章中,我们以几何的视角去观察矩阵奇异值分解的过程,并且列举一些奇异值分解的应用。 介绍 矩阵奇异值分解是本科数学课程中的必学部分,但往往被大家忽略。这个分解除了很直观,更重要的是非常具有实用价值。譬如,Netflix(在线电影租赁公司)对能够提高其电影推荐系统准确率10%的人提供100万美元的丰厚奖金。令人惊奇的是,这个看似简单的问题却非常具有挑战性,相关的团队正在使用非常复杂的技术解决之,而这些技术的本质都是奇异值分解。 奇异值分解简单来讲,就是以一种方便快捷的方式将我们感兴趣的矩阵分解成更简单且
继续上一讲的内容,由上一讲可知我们可以将系数矩阵 A 分解为下三角矩阵和上三角矩阵的乘积,但是我们给定了一个前提假设—— A 在消元过程中不做换行,这一次我们来解决如果在消元过程中存在换行的情况。
数组(Array)是一种用于存储多个相同类型的元素的数据结构。它可以被看作是一个容器,其中的元素按照一定的顺序排列,并且可以通过索引访问。数组的长度是固定的,一旦定义后,就不能再改变。
本文是「小孩都看得懂」系列的第五篇,本系列的特点是极少公式,没有代码,只有图画,只有故事。内容不长,碎片时间完全可以看完,但我背后付出的心血却不少。喜欢就好!
今天我们继续来学习麻省理工的线性代数课,今天是系列第11节课,内容承接上文末尾的矩阵空间。很抱歉,最近由于诸事缠身,更新频率有所降低,我会努力调整,尽量提高更新速度的。
SVD实际上是数学专业内容,但它现在已经渗入到不同的领域中。SVD的过程不是很好理解,因为它不够直观,但它对矩阵分解的效果却非常好。比如,Netflix(一个提供在线电影租赁的公司)曾经就悬赏100万美金,如果谁能提高它的电影推荐系统评分预测准确率提高10%的话。令人惊讶的是,这个目标充满了挑战,来自世界各地的团队运用了各种不同的技术。最终的获胜队伍"BellKor's Pragmatic Chaos"采用的核心算法就是基于SVD。
如果有n阶矩阵A,其矩阵的元素都为实数,且矩阵A的转置等于其本身,则称A为实对称矩阵。
当 a\times d-b\times c=0 时 A 没有定义,A^{-1}不存在,则 A 是奇异矩阵。
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