将依赖类型应用于论据以断言Coq中的目标？
在Coq中，依赖类型（dependent types）是一种强大的类型系统，它允许我们在类型中引用值，并且可以根据值来改变类型的形状和结构。依赖类型在断言Coq中的目标时非常有用。
在Coq中，我们使用依赖类型来描述和验证定理和证明。在一个定理中，我们可以使用依赖类型来定义一个论据，该论据的类型依赖于其他值的值。这样，我们可以通过提供这些值的具体值来断言论据的类型。这种类型依赖的断言方式可以帮助我们在证明过程中进行更精确的建模和验证。
例如，假设我们要证明一个关于自然数加法的定理：对于任意自然数n，n加0等于n。我们可以使用依赖类型来定义一个论据，它接受一个自然数n作为参数，并返回类型为n加0等于n的命题。然后，我们可以提供具体的自然数值作为论据的参数，来断言这个类型的真值。
Coq提供了丰富的依赖类型的功能和语法，使得在证明过程中能够灵活地使用它们。通过使用依赖类型，我们可以精确地建模和验证各种属性和特性，并构建形式化的证明。
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相关·内容
我想在coq中声明一个结构，它表示一个着色良好的有向图。如果我没有条件的话，我声明了一个coq接受的寄存器。但是，我尝试了许多方法，用coq编写条件wellColored，而没有退出。每次我收到一条新的错误消息：
The condition wellColored is the following:
for every pair of vertices $v1$, $v2$ and every edge $e$, if the source of $e$ is $v1$,
the target of $e$ is $v2$ and the color of $v1$ is $a$ then
浏览 1提问于2014-11-12得票数 0
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当我在下面运行Coq脚本时(对原始脚本的简化)：
Inductive w (g: nat): nat -> Prop:=
| z: w g 0.
Lemma x:
forall (i j: nat), w i j -> (forall k: nat, k <= k).
Proof.
Admitted.
Lemma y:
forall (m n: nat),
w m n -> w m n.
Proof.
intros m n H.
apply x in H.
在最后一行中，我得到以下错误消息：
错误:找不到变量k的实例。
有人能向我解释
浏览 2提问于2014-06-25得票数 0
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我想证明莱玛·RnP_eq。 From mathcomp Require Import ssreflect.
Require Import Coq.Program.Equality.
Definition func {n m l o:nat}
(I:t R 0 -> t R m -> t R l)(J:t R n -> t R l -> t R o):=
(fun (x:t R n)(a:t R m) => J (snd (splitat 0 x)) (I (fst (splitat 0 x)) a)).
Lemma deriveP_eq (n
浏览 19提问于2020-10-26得票数 1
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我在研究一种算法的Coq形式化。但是这个算法的组件(一些函数和引理)可以在不同类型上“重载”(在Haskell意义上)。
我的目的是避免代码重复。我知道Coq有模块(如ML)和类型类(如Haskell)。实现引理和函数定义的可重用性的最佳方法是什么?它可以在不同类型上进行参数化？
浏览 2提问于2015-09-30得票数 2
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1回答
我有点搞不懂Coq 中关于自然数定义的后继函数的内射性是否是公理？，根据，它是公理(7)。当我查看手册页面时，我会看到以下内容：
定义eq_add_S n m (H: S=S)：n=m := f_equal pred H.
提示立即eq_add_S: core。
它看起来像一个公理(?)但令我困惑的是，在这一页的顶部写着：
它描述了关于自然数的各种引理和定理，包括Peano的算术公理(在Coq中，这些定理是可证明的)。
这句话有点模棱两可不是吗？
浏览 3提问于2019-01-16得票数 5
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我们可以将Coq中的分配给Prop、Set和每个Type_i吗？我只在Coq的库中看到了的定义，所以也许我们首先需要大基数的定义。
根据证明无关的语义，例如暴露的，Set和Type_i形成一个递增的序列。这可以在Coq中得到证明吗？
由于不可预测性，Prop看起来更复杂。证明无关意味着我们识别同一P : Prop的所有证明，并将Prop本身解释为{false, true}对。因此，Prop的基数应该是2。但是，对于任何两个证明p1 p2 : P，Coq不接受eq_refl p1作为p1 = p2的证明。因此，Coq并不能完全识别p1和p2。另一方面，不可预测性意味着对于任何A : Type和P
浏览 13提问于2018-08-28得票数 4
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我刚开始用Coq。
我如何定义命题myProp，使得给定集H，myProp H是真当且仅当
？
特别是，如何表达H是命题中nat的子集这一事实？或者，我如何简单地声明，让H是nat的一个子集
浏览 2提问于2017-08-05得票数 2
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如果我有一个形式的定理：
Theorem my_thm (n: nat -> nat): exists t: nat, n t = 0.
Admitted.
如果我想证明一个函数是这样my_func 0 = 0，我如何告诉coq确实存在这样的测试，因为my_func 0=0？
这没有深入的目标，但理解存在证明在coq中是如何工作的。
浏览 20提问于2021-12-01得票数 1
2回答
在coq中使用哪个向量库？
、、、、
我想知道，在coq中是否有一个常用的向量库，即按其类型的长度索引的列表。
有些教程引用了Bvector，但是当我试图导入它时却找不到它。
有Coq.Vectors.Vectordef，但是定义的类型是t，这让我觉得它是为内部使用的。
对于那些不想使用自己的库的人来说，什么是最好的或最常见的做法？标准库中的向量我错了吗？还是我又错过了另一个自由战士？还是人们只是使用列表，并与其长度的证据一起使用？
浏览 10提问于2017-02-17得票数 6
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我对Coq定理证明器很陌生。因此，我很可能已经错过了一些基本的东西，在阅读教程时。
在我提出我的问题之前，让我假设一些假设，并回顾一下我的想法。
Coq < Parameter Antecedent : Prop .
Coq < Parameter Consequent : Prop .
Coq < Conjecture Minor : Antecedent .
Coq < Conjecture Major : Antecedent -> Consequent .
有了这些假设，就可以应用Consequent模型:可以根据Minor前提和Major前提构造推断Ma
浏览 4提问于2014-05-06得票数 0
在coq中，有没有可能将引理或假设应用于当前目标的子表达式？例如，为了在本例中交换3和4，我想应用加号是可交换的这一事实。
Require Import Coq.Arith.Plus.
Inductive foobar : nat -> Prop :=
| foob : forall n:nat, foobar n.
Goal foob (3 + 4) = foob (4 + 3).
Proof.
apply plus_comm. (* or maybe rewrite plus_comm *)
提供：
Error: Impossible to unify "?199 +
浏览 0提问于2012-11-30得票数 7
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我试图在Coq中定义不同类型的等式。在一门大学课程中，我的教授给我们提供了四种不同类型的规则，如下(我只是提供规则的链接)：
金岑：
莱布尼茨：
马丁·洛夫：
路径归纳：
这四种类型之间的差异取决于C型。
我试图证明它们之间的同构。不幸的是，我在将第一和第二种类型声明为归纳类型时遇到了一些困难，因为我找不到一种方法来指定类型C。我对第三和第四种类型有一个定义，并且我已经证明了它们之间的同构。
提前谢谢。
浏览 0提问于2017-08-03得票数 4
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我正在用Coq证明一些关于超滤光片的基本事实，我的许多证明最终都达到了我必须证明目标的阶段，例如
(False -> False) = True
或
False /\ P = False
或
True
或者其他一些琐碎的重言之词。simpl和auto似乎都没有做任何事情，所以我如何解决这些Prop目标？
浏览 0提问于2021-03-16得票数 0
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我想看看几个例子的Coq证明的形式：
\exists A(x1,...,xn)
在本质上，目标有一个存在主义量词。我有一些问题，以有意义的方式操纵目标，以取得进展，我的证明，并希望看到一些常见的策略来操纵的例子。
在Coq中有哪些好的存在量词的例子可以证明？
我的具体例子是：
Theorem Big_Small_ForwardImpl :
forall (P : Program) (S' : State),
(BigStepR (B_PgmConf P) (B_StateConf S')) -> (ConfigEquivR (S_PgmConf P) (
浏览 4提问于2018-12-22得票数 0
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有人能给我更多关于Coq中一级模块的信息吗？我知道Coq中的模块不是一流的。我想知道原因是什么？将来Coq中的模块有没有可能是一流的？
非常感谢
浏览 2提问于2013-04-11得票数 2
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我有个公理
Parameter set : Type.
Parameter IN : set->set->Prop.
Axiom AXIOM_OF_SUBSETS :
forall prop x, exists y, forall u,
IN u y <-> IN u x /\ (prop u)
.
现在我想用它来构建一个空的集合，就像
Definition EMPTYSET : set.
Check (AXIOM_OF_SUBSETS (fun _ : set => False) x).
检查结果如下：
AXIOM_OF_SUBSETS (f
浏览 1提问于2020-01-07得票数 2
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1回答
偶然间，我发现可以在Coq中进行如下定义：
Definition x := Type : Type.
Type : Type是什么意思？这样的定义有哪些用例？
浏览 2提问于2019-01-07得票数 5
在Coq中，我可以编写 Variable A : False.
Axiom B : False. 假设False的名字分别是A和B。这两个陈述在证明中都有效，所以我可以 Theorem nothing_makes_sense : forall (a : Type), a.
destruct true; exfalso.
* apply A.
* apply B.
Qed. 实际的区别是什么？什么时候我应该使用一个而不是另一个？
浏览 15提问于2020-04-21得票数 4
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我在读。根据引用描述的类型规则，术语fun x: nat => x的类型是forall x: nat, nat。
Assume that E is [nat: Set].
... ...
------------------------------ Prod-Set ------------------- Var
E[] ⊢ forall x: nat, nat : Set E[x: nat] ⊢ x : nat
------------------------------
浏览 5提问于2016-08-01得票数 3
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我是coq证明助手的新手，还在摸索中。我遇到了一个我不知道如何处理的情况:我试图使用Program Fixpoint策略来削弱对代码的要求，以便稍后证明所需的属性，即所谓的Obligations。虽然它们中的大多数都很容易，但也有两个义务生成了目标，其中的目标形式是[a-quite-simplee-xpr] = [my-function-name]_obligation_3，一般来说，这些目标指的是之前已经证明的其他义务。我尝试了展开和替换，但这并没有真正的帮助。如果对于这些问题没有通用的解决方案，我可以发送证明脚本+添加一些上下文的义务的屏幕截图。 提前谢谢你。
浏览 12提问于2019-03-11得票数 1
1回答
如何让Coq识别出两种类型，每种类型都是从使用相同参数从模块函子创建的模块中导入的，但出现在不同的模块中，它们实际上是相同的类型？
极小例子
Module Type S.
End S.
Module F (s : S).
Inductive foo : Type := a.
End F.
Module G (s : S).
Include F s.
End G.
Module H (s : S).
Include F.
End H.
Module I (s : S).
Module G := G s.
Module H := H s.
(* This is a type error
浏览 1提问于2020-05-25得票数 2
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构造器策略允许您通过自动应用构造函数来完成一个目标，即归纳数据类型。然而，在Coq中，定义等式并不是一个归纳积。那为什么Coq会接受这个证据呢？
Example zeqz : 0 = 0. constructor.
浏览 1提问于2021-01-29得票数 1
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我有以下组件，它接受一个泛型 和 道具。 import { css } from '@emotion/react';
import { FontAwesomeIcon } from '@fortawesome/react-fontawesome';
import React, {
PropsWithChildren,
useState,
} from 'react';
import BaseNodeData from '../../types/BaseNodeData';
import { PatchCurrentNod
浏览 61提问于2021-02-27得票数 0
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2回答
考虑以下几行( Coq)：
Variable A : Type.
Variable f g : A -> A.
Axiom Hfg : forall x, f x = g x.
Variable a b : A.
Axiom t : g a = g b.
Goal f a = g b.
战术refine (eq_trans (Hfg _) t)解决了目标。也就是说，Coq可以在不需要帮助的情况下用a替换这个孔。但是战术refine (eq_trans (Hfg a) _)用g a = g b代替了上面的目标。
但是，Coq无法单独找到t。战术refine (eq_trans (Hfg
浏览 2提问于2015-02-12得票数 3
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在伊莎贝尔，你可以通过两种方式留下一个未完成的目标：
抱歉:会留下你的证据，这个事实可以在以后的证明中使用。oops:将留下证据，但事实不能在以后的证明中使用。
Coq中是否有类似的功能，可以让我留下一个未完成的目标，然后再回来呢？这有助于在没有填写所有细节的情况下勾勒出证据的结构。请注意，中的方法修改了验证结构。这不是我要找的。
浏览 6提问于2020-02-01得票数 1
我试图证明：
forall (T : Type) (U : Type) (P : T -> U -> Prop),
(forall (x : T), exists (y : U), P x y)
-> (exists (f : T -> U), forall (x : T), P x (f x))
用简单的英语来说，我想要做的是用公式表达将y转化为f(x)的能力。例如，将y = x + 1更改为f(x) = x + 1。
一个目标的证明与隐含箭头反向(将f(x)转换为y)需要4行。然而，有了这个目标，我想不出在intros之后要做什么。
我甚至不确定这在Co
浏览 1提问于2018-05-08得票数 3
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在中，“选择”是根据以下原则实施的：
我们的选择公理现在简单地表述如下：
axiom choice {α : Sort u} : nonempty α → α
只有断言h是非空的，选择h才能神奇地产生一个α元素。
现在，如果我阅读关于集合论和选择公理的文献(Jech)：
选择公理(AC)每个非空集族都有一个选择函数。
如果S是一个集合族，且S不是S中的∅，则S的选择函数是S上的函数f，使得f(X)∈X对每个X∈S。
在我看来，这些东西似乎是不一样的。有人能详细说明一下吗？
浏览 0提问于2019-02-19得票数 2
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1回答
从Coq中提取的Ocaml代码包括(在某些情况下)定义如下的类型__和函数__：
type __ = Obj.t
let __ = let rec f _ = Obj.repr f in Obj.repr f
文档说，在过去，这种类型被定义为unit (因此__可以被视为())，但是存在(很少)将__类型的值应用于__类型的值的情况。
__使用了OCaml中未记录的Obj模块函数，但似乎定义的函数本质上是一个完全多态的函数，它会吃掉所有参数(不管它们的数量是多少)。
有没有一些关于__不能被消除的情况以及这种类型的值被应用到相同类型的值的情况的文档，无论是从理论上(构造不可能消除的Coq项)还
浏览 1提问于2013-04-05得票数 6
我对coq很陌生，我试图使用ZArith.Int中的"int“类型，但是coq找不到它。
Require Export ZArith Int.
Open Scope Int_scope.
当我在定义(. -> int -> .)中使用"int“时，coq找不到它。如何将它与库的操作一起正确加载？
浏览 0提问于2014-05-04得票数 1
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Coq是一个证明助手，而Agda/Idris是编程语言(尽管它们可以被称为证明助手)。
我正在探索这些语言，我想知道Agda/Idris是否足以做Coq所能做的一切。
那么，有没有一些证据/管理代码/IDE (Emacs)函数的方法/其他Coq可以做而Agda/Idris不能做的事情呢？
浏览 21提问于2017-12-16得票数 9
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2回答
什么是归纳谓词？
、、
你如何解释归纳谓词？它们是用来干什么的？他们背后的理论是什么？它们只存在于依赖型系统中，还是在其他系统中？它们在某种程度上与GADT有关吗？在Coq中，为什么默认情况下它们是真的？
这是Coq的一个例子：
Inductive even : nat -> Prop :=
| even0 : even 0
| evens : forall p:nat, even p -> even (S (S P))
你将如何使用这个定义？这是一种数据类型还是一个命题？
浏览 7提问于2014-04-11得票数 5
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我正在学习Coq语言，并试图证明以下说法：
Lemma ex4: forall (X : Set) (P : X -> Prop), ~(forall x, ~ (P x)) -> (exists x, (P x)).
在我的证据开始时：
Proof.
intros X P A.
我到达了我有假设的那一刻
X : Set
P : X -> Prop
A : ~ (forall x : X, ~ P x)
现在我想在A上应用德摩根定律来得到一个假设
B : exists x : X, ~ (~ P x) (*** Or something similar ***)
但我找不
浏览 3提问于2020-06-09得票数 1
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1回答
我有几个兄弟类，其中包括子类，现在我想做的是将一个子类连接到两个不同的兄弟类，这可能吗？我也希望它能在猫头鹰身上展现出来。
示例
兄弟类:规则目标
子类:收集
因此，我希望子类收集功能或连接在两个兄弟类中。由于软件允许我在每个兄弟类中键入相同的名称。
谢谢
浏览 2提问于2011-01-05得票数 0
给定任何编程语言，只要存在标准库函数，我们很可能就应该使用它，而不是编写自己的代码。人们会认为，这一建议同样适用于Coq。然而，我最近强迫自己使用same_relation谓词的Relation模块，我留下的感觉是更糟的。所以我肯定遗漏了什么，所以我的问题。为了说明我的意思，让我们考虑一下可能的关系：
Require Import Relations. (* same_relation *)
Require Import Setoids.Setoid. (* seems to be needed for rewrite *)
Inductive rel1 {A:Type} : A
浏览 6提问于2016-06-18得票数 3
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动力塔
、
我想定义一个类型为PowersetTower : Type -> nat -> Type的家族，以便：
PowersetTower A 0 = APowersetTower A (n+1) = Ensemble (PowersetTower A n) (即PowersetTower A n -> Prop) )
这有可能吗？一种想法是
Inductive PowersetTower : Type -> nat -> Type :=
| base : forall (A : Type), PowersetTower A 0
| step : forall (A :
浏览 4提问于2021-04-08得票数 1
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1回答
我编译Coq通常是为了测试一些更改，但是这个过程真的很慢，因为theories/中的标准库需要时间来编译。
是否有可能为实验生成一个“轻量级”的Coq版本？
浏览 3提问于2014-07-24得票数 4
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考虑以下大小列表的类型定义：
Inductive listn: nat -> Type -> Type :=
| nil: forall {A: Set}, listn 0 A
| cons: forall {n: nat} {A: Set}, A -> listn n A -> listn (S n) A.
这本质上是Idris中的类型。
我试图为init定义listn函数，它删除了最后一个元素。
我尝试的实现实际上与Idris中init的定义完全相同。这是在伊德里斯：
init : Vect (S len) elem -> Vect len elem
init
浏览 6提问于2022-03-19得票数 1
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我对Coq很陌生，并尝试通过来学习它。在“Coq中的逻辑”一章中，我完成了一个练习not_exists_dist (通过猜测)，但不理解：
Theorem not_exists_dist :
excluded_middle →
∀ (X:Type) (P : X → Prop),
¬ (∃ x, ¬ P x) → (∀ x, P x).
Proof.
intros em X P H x.
destruct (em (P x)) as [T | F].
- apply T.
- destruct H. (* <-- This ste
浏览 5提问于2021-05-17得票数 3
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我在Protege上实现了我的本体模型。我有一个类Sensor，它有一些子类，例如子类Refrigerator。如果激活了Refrigerator-144，我希望节省激活时间。为此，我有一个数据属性hasTime。因为，我不知道我想要的激活时间为NULL。不过，这似乎是不能为抗议者所接受的，因为我不能在这之后再执行理赔官的职务。
:Refrigerator-144 a owl:NamedIndividual , :Refrigerator ;
:hasTime ""^^xsd:dateTime .
浏览 4提问于2016-10-16得票数 1
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我想知道是否有一种系统的方法来解释Coq定义为agda程序。我正在翻译部分编程基础，无法让tUpdate函数在下面工作。为什么这个失败。对coq代码进行注释。
--Definition total_map (A : Type) := string -> A.
totalMap : Set → Set
totalMap A = String → A
-- Definition t_empty {A : Type} (v : A) : total_map A :=
-- (fun _ => v).
tEmpty : {A : Set} (v : A) → totalMap A
t
浏览 2提问于2020-04-10得票数 1
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我试图理解Coq定理：
Theorem thm0 : UseCl Pos (PredVP (UsePN john_PN) walk_V) ->
UseCl Pos (PredVP (UsePN john_PN) walk_V).
intro H.
exact H.
Qed.
来自
箭头符号->是什么意思？据我所知，Coq使用两个箭头：1)双箭头定义类型构造函数，2)单箭头->定义新类型。但是这个定理是陈述的，不是类型的定义。为什么有这支箭？如何将这句话理解为Coq定理？
浏览 0提问于2018-02-13得票数 3
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我有时会在Coq中看到这个语法来表示某些类型/集，例如打印有关存在变量的信息：
?T : [ |- Set]
?T0 : [ x : ?T |- Set ]
我不知道如何搜索这个语法。
什么意思？
第一个是否与
? T : Set
浏览 1提问于2016-07-21得票数 3
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我在一些教程中读到if a then b else c代表match a with true => b | false => c end。但是，前者非常奇怪地不检查a的类型，而后者当然确保a是一个布尔值。例如,
Coq < Check if nil then 1 else 2.
if nil then 1 else 2
: nat
where
?A : [ |- Type]
Coq < Check match nil with true => 1 | false => 2 end.
Toplevel input, characters 33-
浏览 1提问于2017-12-25得票数 4
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我有一个waitFor{}块，里面有几行代码：
waitFor(timeOutSeconds) {
jobRow.clickUpdate()
processDialog.waitIfShown()
jobRow.statusCell.text() == status.value
}
根据
对refreshWaitFor()方法的任何调用都会在传递给它的每个表达式中添加隐式断言，就像对waitFor()方法调用一样。
问题是processDialog.waitIfShown()可以返回false，如果没有显示进度条，这实际上是可以的。
我需要最后一行验证groov
浏览 0提问于2019-05-09得票数 2
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1回答
下面的证明是在Coq中给出的。
Fixpoint add n m := match n with 0 => m | S p => add p (S m) end.
Lemma exercise6 : forall n m, add n (S m) = S (add n m).
Proof.
induction n; intros m; simpl.
reflexivity.
rewrite IHn; reflexivity.
Qed.
我试着一步一步地写这篇文章来理解正在发生的事情，但是在解决了基本案例之后，归纳假设就不一样了！因此，战术失败：
Lemma exer
浏览 1提问于2016-10-27得票数 1
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1回答
有办法在Coq中定义子类型关系吗？
我读过有关子集类型的文章，其中使用谓词来确定子类型中的内容，但这不是我的目标。我只想定义一个理论，其中有一个类型(U)和另一个类型(I)，它是(U)的子类型。
浏览 1提问于2018-07-18得票数 3
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我正在用Coq阅读/测试一个证据。
Theorem ceval_step__ceval: forall c st st',
(exists i, ceval_step st c i = Some st') -> c / st || st'.
特定的函数/定义并不重要，因为它们不被使用。经过几步之后，定理被转换成一种形式，在这种形式中，内部存在量词被转换成一个通用的：
1 subgoals
______________________________________(1/1)
forall (c : com) (st st' : state) (
浏览 6提问于2015-12-03得票数 2
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1回答
我尝试从列表中删除所有大于7的整数，如下所示 filter (fun n => n > 7). 但是，我得到了以下错误 The term "n > 7" has type "Prop" while it is expected to have type "bool". 我是Coq新手，我该如何修复它？
浏览 24提问于2020-01-11得票数 1
假设我有这样一个假设：
FooProp a b
我想把假设改为这种形式：
exists a, FooProp a b
我该怎么做？
我知道我可以做assert (exists a, FooProp a b) by eauto，但是我正在试图找到一个解决方案，它不需要我显式地写下整个假设；这对自动化是不好的，当假设不是微不足道的时候，这通常是一个令人头痛的问题。理想情况下，我希望指定intro_exists a in H1或其他什么；它确实应该是那么简单。
编辑：为什么？因为我有这样一个引理：
Lemma find_instr_in:
forall c i,
In i c <-
浏览 1提问于2015-09-04得票数 4
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