1 可逆矩阵 矩阵A首先是方阵，并且存在另一个矩阵B，使得它们的乘积为单位阵，则称B为A的逆矩阵。...如下所示，利用numpy模块求解方阵A的逆矩阵，B，然后再看一下A*B是否等于单位阵E，可以看出等于单位阵E。...注意，非奇异矩阵也是方阵。...非奇异矩阵python测试 : import numpy as np '方阵A' A = np.array([[1,2],[3,4]]) A array([[1, 2], [3, 4]]...) '方阵A的行列式计算' la.det(A) -2.0000000000000004 行列式不为0，所以矩阵A为非奇异矩阵 C = np.array([[1,2],[1,2]]) C array([[
四、矩阵分析 1、对角阵 (1) 对角阵只有对角线上有非0元素的矩阵称为对角矩阵，对角线上的元素相等的对角矩阵称为数量矩阵，对角线上的元素都为1的对角矩阵称为单位矩阵。...2、三角阵 三角阵又进一步分为上三角阵和下三角阵，所谓上三角阵，即矩阵的对角线以下的元素全为0的一种矩阵，而下三角阵则是对角线以上的元素全为0的一种矩阵。...(2) 矩阵的伪逆如果矩阵A不是一个方阵，或者A是一个非满秩的方阵时，矩阵A没有逆矩阵，但可以找到一个与A的转置矩阵A’同型的矩阵B，使得：ABA=A，BAB=B 此时称矩阵B为矩阵A的伪逆，也称为广义逆矩阵...6、方阵的行列式 把一个方阵看作一个行列式，并对其按行列式的规则求值，这个值就称为矩阵所对应的行列式的值。在MATLAB中，求方阵A所对应的行列式的值的函数是det(A)。...1、稀疏矩阵的创建 (1) 将完全存储方式转化为稀疏存储方式函数A=sparse(S)将矩阵S转化为稀疏存储方式的矩阵A。当矩阵S是稀疏存储方式时，则函数调用相当于A=S。
对角矩阵的运算包括和、差运算、数乘运算、同阶对角阵的乘积运算，且结果仍为对角阵。 可对角化矩阵 可对角化矩阵是线性代数和矩阵论中重要的一类矩阵。...比如将x用A的所有特征向量表示为： 则通过第一个变换就可以把x表示为 。...然后，在新的坐标系表示下，由中间那个对角矩阵对新的向量坐标换，其结果就是将向量往各个轴方向拉伸或压缩: 如果A不是满秩的话，那么就是说对角阵的对角线上元素存在0，这时候就会导致维度退化，这样就会使映射后的向量落入...奇异值分解SVD 特征值分解可以方便的提取矩阵的特征，但是前提是这个矩阵是一个方阵。如果是非方阵的情况下，就需要用到奇异值分解了。...先看下奇异值分解的定义： 其中A是目标要分解的m * n的矩阵，U是一个 n * n的方阵，Σ 是一个n * m 的矩阵，其非对角线上的元素都是0。 是V的转置，也是一个n * n的矩阵。
对角矩阵的运算包括和、差运算、数乘运算、同阶对角阵的乘积运算，且结果仍为对角阵。 可对角化矩阵 可对角化矩阵是线性代数和矩阵论中重要的一类矩阵。...令 A 是一个 N×N 的方阵，且有 N 个线性无关的特征向量 qi(i=1,…,N)。这样， A 可以被分解为: A= QΛQ-1 其中 Q 是N×N方阵，且其第 i列为 A 的特征向量 。...比如将x用A的所有特征向量表示为： ? 则通过第一个变换就可以把x表示为 ? 。 ? 然后，在新的坐标系表示下，由中间那个对角矩阵对新的向量坐标换，其结果就是将向量往各个轴方向拉伸或压缩: ?...奇异值分解SVD 特征值分解可以方便的提取矩阵的特征，但是前提是这个矩阵是一个方阵。如果是非方阵的情况下，就需要用到奇异值分解了。先看下奇异值分解的定义： ?...其中A是目标要分解的m * n的矩阵，U是一个 n * n的方阵，Σ 是一个n * m 的矩阵，其非对角线上的元素都是0。 ? 是V的转置，也是一个n * n的矩阵。
1.设A为n阶矩阵，若存在常数λ及n维非零向量x，使得Ax=λx，则称λ是矩阵A的特征值，x是A属于特征值λ的特征向量。...A的所有特征值的全体，叫做A的谱，记为λ(A) 2.特征分解（Eigendecomposition），又称谱分解（Spectral decomposition）是将矩阵分解为由其特征值和特征向量表示的矩阵之积的方法...令 A 是一个 N×N 的方阵，且有 N 个线性无关的特征向量 。这样， A 可以被分解为: ? 其中Q是这个矩阵A的特征向量组成的矩阵，Σ是一个对角阵，每个对角线上的元素就是一个特征值。...只有对角线上有非0元素的矩阵称为对角矩阵，或说若一个方阵除了主对角线上的元素外，其余元素都等于零，则称之为对角阵。 特征值分解是一个提取矩阵特征很不错的方法，但是它只是对方阵而言的 ? ? ? ?
四、矩阵分析 1、对角阵 (1) 对角阵 只有对角线上有非0元素的矩阵称为对角矩阵，对角线上的元素相等的对角矩阵称为数量矩阵，对角线上的元素都为1的对角矩阵称为单位矩阵。...2、三角阵 三角阵又进一步分为上三角阵和下三角阵，所谓上三角阵，即矩阵的对角线以下的元素全为0的一种矩阵，而下三角阵则是对角线以上的元素全为0的一种矩阵。...(2) 矩阵的伪逆 如果矩阵A不是一个方阵，或者A是一个非满秩的方阵时，矩阵A没有逆矩阵，但可以找到一个与A的转置矩阵A’同型的矩阵B，使得：ABA=A，BAB=B 此时称矩阵B为矩阵A的伪逆，也称为广义逆矩阵...6、方阵的行列式 把一个方阵看作一个行列式，并对其按行列式的规则求值，这个值就称为矩阵所对应的行列式的值。在MATLAB中，求方阵A所对应的行列式的值的函数是det(A)。...1、稀疏矩阵的创建 (1) 将完全存储方式转化为稀疏存储方式 函数A=sparse(S)将矩阵S转化为稀疏存储方式的矩阵A。当矩阵S是稀疏存储方式时，则函数调用相当于A=S。
对角矩阵的运算包括和、差运算、数乘运算、同阶对角阵的乘积运算，且结果仍为对角阵。 可对角化矩阵 可对角化矩阵是线性代数和矩阵论中重要的一类矩阵。...比如将x用A的所有特征向量表示为： 则通过第一个变换就可以把x表示为 。...然后，在新的坐标系表示下，由中间那个对角矩阵对新的向量坐标换，其结果就是将向量往各个轴方向拉伸或压缩: 如果A不是满秩的话，那么就是说对角阵的对角线上元素存在0，这时候就会导致维度退化，这样就会使映射后的向量落入...奇异值分解SVD 特征值分解可以方便的提取矩阵的特征，但是前提是这个矩阵是一个方阵。如果是非方阵的情况下，就需要用到奇异值分解了。...先看下奇异值分解的定义： 其中A是目标要分解的m * n的矩阵，U是一个 n * n的方阵，Σ 是一个n * m 的矩阵，其非对角线上的元素都是0。 是V的转置，也是一个n * n的矩阵。
注意，Singular matrix奇异矩阵不可求逆 补充：python+numpy中矩阵的逆和伪逆的区别 定义： 对于矩阵A，如果存在一个矩阵B，使得AB=BA=E，其中E为与A,B同维数的单位阵，...就称A为可逆矩阵(或者称A可逆)，并称B是A的逆矩阵，简称逆阵。...由于奇异矩阵或非方阵的矩阵不存在逆矩阵，但可以用函数pinv(A)求其伪逆矩阵。...如果A为非奇异方阵，pinv(A)=inv(A)，但却会耗费大量的计算时间，相比较而言，inv(A)花费更少的时间。...A A = np.zeros((4, 4)) A[0, -1] = 1 A[-1, 0] = -1 A = np.matrix(A) print(A) # print(A.I) 将报错，矩阵 A 为奇异矩阵
print(a.dot(b.T)) print(np.matmul(a,b.T)) #三个结果都是： #[[ 5 14] # [14 50]] 1.10 逆和伪逆 逆的运算相当于矩阵的除法运算 只有非奇异方阵才有逆...下三角阵：主对角线及下面有值，上面没值 正交阵：P的逆等于P的转置或P的转置乘以P等于单位阵I 代码实现： import numpy as np import torch # 对角矩阵 a = np.diag...机器学习的本质：将数据分解到特征方向上，在每个特征方向单独判断，结果统一起来得到一个结果。...如果P是正交阵（P的转置乘P=单位阵），得到的B就是斜对角阵，主对角线上的值就是A的特征值。 可以用此公式对角化一个矩阵。...奇异值类似于下图： 将矩阵分解为用户对哪种类型的书和这本书更偏向于哪种特征和偏好的权重有多大，算到对一本新书的评价。
这种情况下，如果我们想通过矩阵分解的形式将原本比较复杂的矩阵问题分解成比较简单的矩阵相乘的形式，会对其进行奇异值分解。...Σ 不一定是方阵V是一个n x n的正交矩阵。...U的列向量：左奇异向量 V的列向量：右奇异向量 对角阵不是方阵，这说法头一次见，如何确定Σ的元素？...【这里我反复被网上的对角阵可以不是方阵？非方阵如何确定对角线位置？的各种矛盾回答搞晕了，奇异值分解的博客很少提到σ的排列问题，浪费了很多时间，最终在周志华的《机器学习》附录中找到了准确描述。...frac{∂(x^TAx)}{∂x} =2Ax 4、其它 奇异矩阵 若A可逆，则称A为非奇异方阵，也就说若A不是满秩，则为奇异矩阵。
image.png 正交向量：内积为零 应用 向量组和特征向量 矩阵 定义：描述线性代数中线性关系的参数，即矩阵是一个线性变换， 可以将一些向量转换为另一些向量。...image.png 方阵的逆 AB=BA=E，那么称B为A的逆矩阵，而A被称为可逆矩阵或非奇异矩阵。 如果A不存在逆矩阵，那么A称为奇异矩阵。...image.png 特征值和特征向量 A为n阶矩阵，若数λ和n维非0列向量x满足Ax=λx，那么数λ称为A 的特征值，x称为A的对应于特征值λ的特征向量 特征值的性质 (1)n阶方阵A...image.png 正定矩阵 对于n阶方阵A，若任意n阶向量x，都有xTAx>0，则称矩阵A为正 定矩阵 正交矩阵 若n阶方阵A满足ATA=E，则称A为正交矩阵，简称正交阵（复数域 上称为酉矩阵...） A是正交阵的充要条件：A的列(行)向量都是单位向量，且两两正交 QR 分解（正交三角分解） 对于m*n的列满秩矩阵A，必有： ?
在给出正确的答案之前，我们先了解一个名词 “幻方” ，百度百科定义：幻方（Magic Square）是一种将数字安排在正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等的方法。...然后将方阵的所有N×N子方阵中的两对角线上位置的数关于方阵中心作对称交换，即a(i,j）与a(n-1-i,n-1-j）交换，所有其它位置上的数不变。...][i] = lst[n-1-i][i],lst[i][n-1-i] return lst lst = fourN(8) for row in lst: print(row) 当n为非4...倍数的偶数（即4n+2）时：首先把大方阵分解为4个奇数子方阵。...按上述奇数阶幻方给分解的4个子方阵对应赋值 上左子阵最小（i），下右子阵次小（i+v），下左子阵最大（i+3v），上右子阵次大（i+2v) 即4个子方阵对应元素相差v，其中v=n*n/4 四个子矩阵由小到大排列方式为
转一个Tony Ma同学写的例子： 若AX=b是一个非奇异系统，那么高斯消元法将A化简为一个上三角矩阵。...并非所有矩阵都能进行LU分解，能够LU分解的矩阵需要满足以下三个条件： 1.矩阵是方阵（LU分解主要是针对方阵）； 2.矩阵是可逆的，也就是该矩阵是满秩矩阵，每一行都是独立向量； 3.消元过程中没有...2.QR分解 QR分解是将矩阵分解为一个正交矩阵与上三角矩阵的乘积。...废话这么多，先来看看Jordan到底是个什么鬼： 我们将下面的 k × k k \times k k×k 阶方阵 J K ( λ ) = [ λ 1 λ 1 ⋱ ⋱ λ 1 λ ] k × k...同时，我们也将由若干个Jordan块组成的对角矩阵成为Jordan阵。 由Jordan块的定义不难看出，Jordan 阵与对角阵的差别仅在于它的上 (下)对角线的元素是0或1。
表示n阶单位阵 ? ? ? 对于n阶方阵A，它的迹是主对角线上的元素之和，即 ? ，有如下性质： ? ? ? n阶方阵行列式定义为： ? ，其中Sn为所有n阶排列的集合， ?...n阶方阵的行列式有如下性质： ? ? ? ? ? 矩阵A的Frobenius范数定义为： ? 可以看出，矩阵的Frobenius范数就是将矩阵扩张成向量后的L2范数。...f(x)关于x的二阶导数是称为海森矩阵（Hessian matrix）的一个方阵，其第i行第j列上的元素为： ? 向量和矩阵的导数满足乘法法则 ? ? 由 ? 和上式可知： ?...，证明过程如下：参考：方阵的迹（trace）及其微分（导数） ? SVD 任意实矩阵A都可以分解为： ? U和V 分别满足 ? 和 ? 。 ? ,且其他位置元素均为0， ?...是奇异值，矩阵A的秩等于非0奇异值的个数。
正交分解 矩阵的正交分解又称为QR分解，是将矩阵分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵的乘积的形式。 任意实数方阵A，都能被分解为 。这里的Q为正交单位阵，即 R是一个上三角矩阵。...QR分解是将矩阵分解为一个正交矩阵与上三角矩阵的乘积。用一张图可以形象地表示QR分解： ? 为啥我们需要正交分解呢？...,则存在正交矩阵Q和实非奇异上三角矩阵R使A有QR分解;且除去相差一个对角元素的绝对值（模）全等于1的对角矩阵因子外,分解是唯一的....*X(i+1:n)'))/R(i,i); end else X=[]; end end Householder变换 设A为任一n阶方阵，则必存在n阶酉矩阵Q和n阶上三角阵R，使得A=QR 设w∈...，则Q是酉矩阵之积，从而必有酉矩阵并且A=QR matlab代码 function[ X,Q,R ] = QRHouseholder(A,b) %用Householder变换将方阵A分解为正交Q与上三角矩阵
本文将基于numpy模块实现常规线性代数的求解问题，需要注意的是，有一些线性代数的运算并不是直接调用numpy模块，而是调用numpy的子模块linalg（线性代数的缩写）。...，且方阵的主对角线就是一维数组的值，方阵的非主对角元素均为0。...特征根与特征向量 我们知道，假设A为n阶方阵，如果存在数λ和非零向量x，使得Ax=λx（x≠0），则称λ为A的特征根，x为特征根λ对应的特征向量。...('计算3×3方阵的特征根和特征向量：\n',arr16) print('求解结果为：\n',np.linalg.eig(arr16)) 计算3×3方阵的特征根和特征向量： [[1 2 5] [3...从而可以将多元线性回归模型表示为 ? 。
正定 给定一个大小为n \times n 的实方阵A ，若对于任意长度为n的非零向量x ，有x^TAx>0A是一个正定矩阵。 此时，若A为对称方阵，则称A为对称正定矩阵。...半正定 给定一个大小为n \times n 的实方阵A ，若对于任意长度为n的非零向量x ，有x^TAx \ge 0 恒成立，则矩阵A是一个半正定矩阵。...此时，若A为对称方阵，则称A为对称半正定矩阵。 可以看到半正定矩阵包含了正定矩阵，仅多出了等于零的一种情况，类似于正数和非负数的关系。...可以得到： U=V 而且U是正交矩阵，有： image.png 令Y = {U^T}X - {U^T}{\mu _X}： \Sigma = Y{Y^T} 由于\Sigma是特征值为对角线元素的对角阵，...lambda _ i } = { Y _ i } { Y _ i } ^ T = \sum \limits_ {j = 1} ^n { {Y_{ij} } ^ 2} \ge 0 因此协方差矩阵的特征值非负
easy_easy_crypto}” 移位密码首先以k的长度（也就是len(k)=4）切分m，具体如下： flag {eas y_ea sy_c rypt o} 总共分成了...A label has…”，去掉非字母部分作为密钥(实际选取的密钥很长，长度至少不小于明文长度)。...5×5密阵。...示例密阵: 密阵顺序 = EPSDUCVWYM.ZLKXNBTFGORIJHAQ 密阵顺序 = EPSDUCVWYM.ZLKXNBTFGORIJHAQ 方阵 1 方阵 2...Four-Square Cipher Cryptanalysis of the Foursquare Cipher 四方密码 24、棋盘密码 棋盘密码（Checkerboard Cipher)是使用一个波利比奥斯方阵和两个密钥作为密阵的替换密码
对于 ， 对于 , , 对于 ， 3.7 方阵的逆 方阵的倒数表示为，并且是这样的独特矩阵: 请注意，并非所有矩阵都具有逆。例如，非方形矩阵根据定义没有逆。...特别是，如果存在，我们说是可逆的或非奇异的，否则就是不可逆或奇异的。为了使方阵 A 具有逆，则必须是满秩。我们很快就会发现，除了满秩之外，还有许多其它的充分必要条件。...（如果不是方阵，这公式还有用吗？） 3.8 正交阵 如果 ，则两个向量 是正交的。如果，则向量 被归一化。...如果一个方阵的所有列彼此正交并被归一化（这些列然后被称为正交），则方阵是正交阵（注意在讨论向量时的意义不一样）。 它可以从正交性和正态性的定义中得出: 换句话说，正交矩阵的逆是其转置。...出于这个原因，我们经常隐含地假设以二次型出现的矩阵是对称阵。我们给出以下定义： 对于所有非零向量，，对称阵为正定（positive definite,PD）。
说到行列式，需要记住一个前提，那就是只有对于方阵，才有行列式。 ■ 行列式的三个基本性质（这三个性质定义了行列式） 单位阵的行列式为 1 ， 可以表示为 ? 交换矩阵的行，那么行列式变号。...以2阶方阵为例进行说明。 ?...如果矩阵存在两行相同，那么行列式为 0 对矩阵进行消元，行列式的值不变 如果存在全为 0 的行，那么行列式为 0 上三角矩阵的行列式的值为其对角线元素的乘积 奇异矩阵的行列式为 0 ，可逆矩阵的行列式非...，将矩阵的负号提出来就得到 ? ,在这我们就得到行列式等于行列式的相反数，那么它只能为 0 。
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