帕斯卡三角输出

基础概念

帕斯卡三角（Pascal's Triangle）是一个三角形数组，其中每个数字是其上方两个数字之和。它的每一行代表二项式系数，常用于组合数学和概率论中。

类型

帕斯卡三角有多种类型，包括：

标准帕斯卡三角：最常见的形式。
广义帕斯卡三角：可以扩展到任意正整数幂。

应用场景

组合数学：计算组合数 ( C(n, k) )。
概率论：计算多项式分布的概率。
算法设计：用于生成杨辉三角。

示例代码（Python）

def generate_pascals_triangle(num_rows):
    triangle = []
    for row_num in range(num_rows):
        # The first and last row elements are always 1.
        row = [None for _ in range(row_num + 1)]
        row[0], row[-1] = 1, 1
        # Each triangle element is equal to the sum of the elements
        # above-and-to-the-left and above-and-to-the-right.
        for j in range(1, len(row) - 1):
            row[j] = triangle[row_num - 1][j - 1] + triangle[row_num - 1][j]
        triangle.append(row)
    return triangle

# 生成前5行的帕斯卡三角
num_rows = 5
pascals_triangle = generate_pascals_triangle(num_rows)
for row in pascals_triangle:
    print(row)

参考链接

Pascal's Triangle - Wikipedia

常见问题及解决方法

问题：为什么生成的帕斯卡三角有空值？

原因：在初始化每一行时，使用了 None 来占位。 解决方法：初始化时使用 0 或直接使用列表推导式来避免空值。

def generate_pascals_triangle(num_rows):
    triangle = []
    for row_num in range(num_rows):
        row = [1] * (row_num + 1)
        for j in range(1, len(row) - 1):
            row[j] = triangle[row_num - 1][j - 1] + triangle[row_num - 1][j]
        triangle.append(row)
    return triangle

问题：如何优化帕斯卡三角的生成？

原因：每次生成新行时都需要遍历上一行，效率较低。 解决方法：使用动态规划的思想，只保留必要的行数据。

def generate_pascals_triangle(num_rows):
    if num_rows == 0:
        return []
    triangle = [[1]]
    for row_num in range(1, num_rows):
        row = [1]
        last_row = triangle[-1]
        for j in range(1, row_num):
            row.append(last_row[j - 1] + last_row[j])
        row.append(1)
        triangle.append(row)
    return triangle

通过以上方法，可以有效地生成和优化帕斯卡三角的输出。