带权的最小生成树

是指在一个带权无向连通图中，找到一棵生成树，使得树上所有边的权值之和最小。生成树是指包含图中所有顶点的树，且只有图中的边构成树的边。

带权的最小生成树在实际应用中具有重要意义，可以用于解决许多实际问题，如网络规划、电力传输、通信网络等。通过构建最小生成树，可以实现资源的最优分配，降低成本，提高效率。

在云计算领域，带权的最小生成树可以应用于网络拓扑规划和优化。通过构建最小生成树，可以实现云计算数据中心网络的高效连接和负载均衡，提高网络性能和可靠性。

腾讯云提供了一系列与带权的最小生成树相关的产品和服务，包括：

腾讯云网络架构：腾讯云提供了灵活可扩展的网络架构，包括私有网络（VPC）、子网、路由表等，可以满足不同规模和需求的网络拓扑规划和优化。
腾讯云负载均衡：腾讯云提供了多种负载均衡产品，如负载均衡（CLB）、弹性负载均衡（ELB）等，可以实现带权的流量分发和负载均衡，提高网络性能和可靠性。
腾讯云云联网：腾讯云提供了云联网服务，可以实现不同地域、不同网络环境之间的互联互通，支持带权的路由策略，实现网络流量的优化和调度。
腾讯云弹性容器实例：腾讯云提供了弹性容器实例服务，可以快速部署和管理容器化应用，实现应用的弹性伸缩和负载均衡，提高应用的可用性和性能。

以上是腾讯云在带权的最小生成树领域的相关产品和服务，更多详细信息可以参考腾讯云官方网站：https://cloud.tencent.com/

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一、定义给定一张带权无向图 G=（V，E），n = |V|， m = |E|。由 V 中全部 n 个顶点和 E 中 n-1 条边构成的无向连通子图被称为 G 的一棵生成树。...边权和最小的生成树被称为无向图 G 的最小生成树（Minimum Spanning Tree,MST）。二、定理&推论 1.任意一棵最小生成树一定包含无向图中权值最小的边。证：反证法。...假设无向图存在一棵不包含权值最小边的最小生成树。...2.推论：给定一张带权无向图 G=（V，E），n = |V|， m = |E|。从 E 中选出 k< n-1G 的一个生成森林。...若再从剩下的 m-k 条边中选 n-1-k 条添加到生成森林中，使其成为 G 的生成树，并且保证后选的边权值之和最小，则该生成树一定包含这 m-k 条边中连接生成森林的两个不连通节点的权值最小的边。

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Prim算法生成最小生成树

最小生成树对于一个图，我们可以把它转换成一颗树（联通图）或者是多棵树（非联通树）。对于一个带权值的联通图，最小生成树就是它的所有生成树中边权值和最小的生成树。...Prim算法 Prim算法就是一种用来生成最小生成树的算法。由一个带权值的联通图到一个最小生成树的过程，其实就是从图的所有边中挑出一部分边用来组成树的过程，所以关键在于如何挑选边。...对于Prim算法，它的具体操作是这样的：对于给定的一个起点节点（Prim算法必须给它一个起点），先找出这个节点连接的所有节点所组成的边中权值最小的边，作为最小生成树的第一条被挑选出来的边，现在我们有两个节点了对吧...然后以这两个节点为基础，继续找出这两个点连接的所有节点所组成的边中权值最小的边，同时这个查找过程，需要注意不能找已经连起来的节点，具体体现在代码实现上就是每找到节点就标记一下。看过程图：

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最短路径生成树与最小生成树

虽然放在一起，但是他们两个除了都是树之外没有一点关系。最短路径生成树，就是ROOT根节点到达任意点距离最短的路径所构成的树，就是最短路径生成树。我画两个图给大家理解。 ?...最短路径生成树 ? 最小生成树 ? 这时候大家会发现，最短路径生成树不就是求完最短路之后，路径所构成的树吗，其实就是这样的。但是这里要明白一点，最短路径生树不唯一。...我们举一个最简单的例子，如下图： ? 只选 2-3权值的边构成一颗最短路径生成树，之选2 5构成一颗最短路径生成树。...最短路径生树的详解：戳这里最小生成树的详解：戳这里生成树相关：戳这里

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图的应用——最小生成树

最小生成树生成树（极小连通子图）：含有图中全部n个顶点，但只有n-1条边。并且n-1条边不能构成回路。 [在这里插入图片描述] 生成森林：非连通图每个连通分量的生成树一起组成非连通图的生成森林。...[在这里插入图片描述] 求最小生成树使用不同的遍历图的方法，可以得到不同的生成树从不同的顶点出发，也可能得到不同的生成树。...按照生成树的定义，n 个顶点的连通网络的生成树有 n 个顶点、n-1 条边。...在网的多个生成树中，寻找一个各边权值之和最小的生成树构造最小生成树的准则必须只使用该网中的边来构造最小生成树；必须使用且仅使用n-1条边来联结网络中的n个顶点不能使用产生回路的边 --- 贪心算法...将该边作为最小生成树的边保存起来，并将该边顶点全部加入U集合中，并从W中删去这些顶点。重新调整U中顶点到W中顶点的距离，使之保持最小，再重复此过程，直到W为空集止。

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图的最小生成树算法

首先，我们要知道，图的最小生成树是针对于有权图而言的，笔者的上一篇文章只介绍了无权图，其实有权图和无权图唯一的区别就是有权图的边是有权值的，不同的边权值可以不同，对于无权图我们可以把它看成所有边的权值都相等的有权图...这是百度百科上的一张有权图的图片，和无权图相比多了边的权值。Ok，那么最小生成树算法是什么呢？...其实就是我们从给定的无向图中构造出一个无向且无回路子图（图的顶点不能减少），使得图的任意两个顶点都能通过若干条边直接或者间接连同，当构造的子图的边的权值之和最小的时候，这个子图就是这个图的最小生成树。...以上面那个无向图为例，我们来模拟一下最小生成树的构造过程： ? 这是笔者在纸上模拟的过程，到最后，生成的最小生成树的权值之和为 15 。...count++; /* * 更新最小生成树的总权值：最小生成树的总权值等于最小生成树原来的权值 * 加上刚刚加入最小生成树的顶点到最小生成树的距离

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图的应用：最小生成树

这样形成的一颗简单的树其实就是能够串联所有结点的一条路径，而最小生成树的概念，其实就是对于有权图来说，权数最少的那条能够串连起所有结点的边的路径，或者也可以说是最小连通树、最小连通子图、最小代价树。...从上图中就可以看出，对于一个有权图来，可以有许多生成树的方式，不过不同的路线方式的结果会不同，只有最后一个路径形成的生成树具有路径最小的那颗树，就是我们需要的最小生成树。为什么要强调是有权图呢？...也没连通，于是选择这条路径，加入结点 5 7）所有结点都已经连通，权值累加结点为 19 ，当前的这条路径就是最小权值路径，所形成的这一条路径就是一颗最小生成树了从这个步骤和图释来说，大家可以自己尝试写写这个...我们需要一个集合来放置已经连通的结点信息，当查找路径的时候找到的最小权值路径连通的结点不在集合中，就加入到集合中。然后不断累加所有的路径权值，最后就得到了遍历整张图的最小生成树路径。...相信通过具体的算法你对最小生成树的概念就更清晰了，不知道你会不会有个这样的想法：直接遍历所有的边，给他们按权值排序，这样我们再依次遍历这个排序后的边结构数组，然后将边的结点加入到最终要生成的树中，这样不也能形成一个最小生成树嘛

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最小生成树的Kruskal算法

定义：一个有 n 个结点的连通图的生成树是原图的极小连通子图，且包含原图中的所有 n 个结点，并且有保持图连通的最少的边。...[1] 最小生成树可以用kruskal（克鲁斯卡尔）算法或prim（普里姆）算法求出。...Kruskal算法简述：假设 WN=(V,{E}) 是一个含有 n 个顶点的连通网，则按照克鲁斯卡尔算法构造最小生成树的过程为：先构造一个只含 n 个顶点，而边集为空的子图，若将该子图中各个顶点看成是各棵树上的根结点...之后，从网的边集 E 中选取一条权值最小的边，若该条边的两个顶点分属不同的树，则将其加入子图，也就是说，将这两个顶点分别所在的两棵树合成一棵树；反之，若该条边的两个顶点已落在同一棵树上，则不可取，而应该取下一条权值最小的边再试之...forest.add(item) edges = sorted(edges, key=lambda element: element[2]) num_sides = len(nodes)-1 # 最小生成树的边数等于顶点数减一

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