2，多元线性回归 假定预测值与样本特征间的函数关系是线性的，回归分析的任务，就在于根据样本X和Y的观察值，去估计函数h，寻求变量之间近似的函数关系。定义： ?...多元线性方程是假设预测值y与样本所有特征值符合一个多元一次线性方程。 3，广义线性回归 用广义的线性函数： ?...wj是系数，w就是这个系数组成的向量，它影响着不同维度的Φj(x)在回归函数中的影响度，Φ(x)是可以换成不同的函数，这样的模型我们认为是广义线性模型，Φ(x)=x时就是多元线性回归模型。...3，局部加权线性回归 线性回归的一个问题是有可能出现欠拟合现象，因为它求的是具有最小均方误差的无偏估计。显而易见，如果模型欠拟合将不能取得最好的预测效果。...线性回归是假设值标签与特征值之间的关系是线性的，但有些时候数据间的关系可能会更加复杂，使用线性的模型就难以拟合，就需要引入多项式曲线回归（多元多次拟合）或者其他回归模型，如回归树。
表2: 对拟合线性模型非常有用的其他函数 ? 2、回归模型中的变量 当回归模型包含一个因变量和一个自变量时，我们称为简单线性回归。...当只有一个预测变量， 但同时包含变量的幂(比如，X、X2、X3)时，我们称为多项式回归。当有不止一个预测变量时，则称为多元线性回归。...图2展示了拟合含二次项等式的结果，可以看出曲线确实拟合得较好。大家可以尝试自己从代码的输出结果中得出预测的结果等式。 ?...car包中的函数 scatterplot() 可以很容易、方便地绘制二元关系图，大家可以参考后台代码学习。 当预测变量不止一个时，简单线性回归就变成了多元线性回归，分析也稍微复杂些。...当只需要在两个模型之间选择时，函数anova()和函数AIC()可以解决这个问题（代码中已提供例子）。如果有100个甚至更多模型呢，交叉验证就不失为一个好方法了。
在这种情况下，我们可能会提出如下所示的二次模型： 通常，我们可以将 y 的期望值建模为 n 次多项式，得到一般多项式回归模型： 为了方便，这些模型从估计的角度来看都是线性的，因为回归函数就未知参数β0β0...因此，对于最小二乘分析，多项式回归的计算和推理问题可以使用多元回归技术完全解决，这是通过将 xx、x2x2 等视为多元回归模型中的独特自变量来完成的。 ...这可能导致像这样的情况，其中总成本不再是数量的线性函数： 通过多项式回归，我们可以将n阶模型拟合到数据上，并尝试对非线性关系进行建模。 如何拟合多项式回归 这是我们模拟观测数据的图。...当拟合多项式时，您可以使用 lm（noisy.y〜poly（q，3）） 通过使用该confint()函数，我们可以获得我们模型参数的置信区间。...正如我们所预期的那样，一阶和三阶项的系数在统计上显着。 预测值和置信区间 将线添加到现有图中： 我们可以看到，我们的模型在拟合数据方面做得不错。
通常，我们可以将 y 的期望值建模为 n 次多项式，得到一般多项式回归模型： ? 为了方便，这些模型从估计的角度来看都是线性的，因为回归函数就未知参数β0β0、β1β1等而言是线性的。...因此，对于最小二乘分析，多项式回归的计算和推理问题可以使用多元回归技术完全解决，这是通过将 xx、x2x2 等视为多元回归模型中的独特自变量来完成的。...这可能导致像这样的情况，其中总成本不再是数量的线性函数： ? 通过多项式回归，我们可以将n阶模型拟合到数据上，并尝试对非线性关系进行建模。 如何拟合多项式回归 这是我们模拟观测数据的图。...当拟合多项式时，您可以使用 lm（noisy.y〜poly（q，3）） 通过使用该confint()函数，我们可以获得我们模型参数的置信区间。...正如我们所预期的那样，一阶和三阶项的系数在统计上显着。 预测值和置信区间 将线添加到现有图中： ? 我们可以看到，我们的模型在拟合数据方面做得不错。
这是一个简单的线性拟合，可以处理两组变量的变化趋势呈现相当的线性规律的问题，且关于因变量只有一个自变量。...实际情况下，对于一个目标函数进行估计，其影响因素可能会有多个，且各个因素对于结果的影响程度各不相同。若多个变量的的取值与目标函数取值仍呈现线性关系，则可以使用多元线性回归进行建模预测。...模型方程的显著性 当样本能够在一定程度上有效地代表整体时，我们还需要对最后拟合模型的结果进行显著性检验，以确保得出的模型能够很好地反映样本的变化规律。...多元线性回归 问题引入：如果一个变量受多个因素影响该如何计算呢？...先根据一元线性回归拟合的依据计算多元拟合的依据， 对样本进行显著性检验 对回归方程进行显著性检验 拟合 构造参数估计函数 L(X|\beta ) = \sum {{{(Y - X\beta )}^2}
y=0 代价函数图像 四、 代价函数与梯度下降 4.1 线性回归与logistic回归的梯度下降规则 五、高级优化算法 六、多元分类：一对多 一、线性回归能用于分类吗？...logistic （数理逻辑）回归算法(预测离散值 y 的 非常常用的学习算法 假设有如下的八个点( y=1 或 0) ,我们需要建立一个模型得到准确的判断，那么应该如何实现呢 我们尝试使用之前文章所学的线性回归...很好的性质 当 Cost \Rightarrow 0 时，即代价函数为0，此时有 h_\theta(x)\Rightarrow1 即模型拟合优秀 当 Cost \Rightarrow\infty...此时说明模型拟合非常差 显然当 y=1 时 这个代价函数满足我们的要求 3.2 当 y=0 代价函数图像 对应 y=0 的情况下： 如下图 当 Cost \Rightarrow 0...时，即代价函数为 \Rightarrow0 ，此时有 h_\theta(x)\Rightarrow0 即模型拟合优秀 当 Cost \Rightarrow\infty 时，即代价函数 \Rightarrow
分类问题如果采取线性回归的方式去拟合，会得到很差的结果。如下图，假设我们按照 h_{\theta}(x) 的值来分类，小于0.5的为负类，否则为正类。...由于 h_{\theta}(x) 表示在模型参数 \theta 下， x 成立的条件下， y 取值为x 的概率，所以，显而易见地，当 h_{\theta}(x)\ge0.5 时，我们预测为正类...类似于线性回归中，可以在特征中添加额外的高次多项式项达到拟合非线性数据的目的，在Logistic回归中，也有这样的操作： 四、代价函数 如果使用线性回归中的代价函数，由于假设函数的改变，会使得代价函数变成一个非凸函数...六、高级优化 可以使用Matlab库中自带的优化版梯度下降进行计算，函数入下 七、多元分类问题 介绍完二元分类问题，现在来看多元分类问题。...八、正则化 8.1 过拟合问题 还是以房价预测为例，如果用线性函数拟合，会出现如上图左的情况，发生欠拟合、高偏差；如果使用更高阶的函数，图像可以非常好的拟合数据（上图右），但是很明显这并不符合生活常识
从简单问题开始，先处理一个响应变量和一个解释变量的一元问题。然后，介绍多元线性回归问题（multiple linear regression），线性约束由多个解释变量构成。...紧接着，介绍多项式回归分析（polynomial regression问题），一种具有非线性关系的多元线性回归问题。最后，介绍如果训练模型获取目标函数最小化的参数值。...为什么只用一个测试集评估一个模型的效果是不准确的，如何通过将测试集数据分块的方法来测试，让模型的测试效果更可靠。不过现在至少可以认为，匹萨价格预测问题，多元回归确实比一元回归效果更好。...而岭回归还是会保留大多数尽可能小的相关系数。当两个变量相关时，LASSO方法会让其中一个变量的相关系数会变成0，而岭回归是将两个系数同时缩小。...首先，通过匹萨价格预测的例子介绍了一元线性回归，一个解释变量和一个响应变量的线性拟合。然后，讨论了多元线性回归，具有更一般形式的若干解释变量和一个响应变量的问题。
如果数据比简单的直线更为复杂，我们也可以用线性模型来拟合非线性数据 一个简单的方法就是将每一个特征的幂次方添加为一个新的特征，然后在这个拓展的特征集上进行线性拟合，这种方法成为多项式回归。...在这种情况下，我们可能会提出如下所示的二次模型： 通常，我们可以将 y 的期望值建模为 n 次多项式，得到一般多项式回归模型： 为了方便，这些模型从估计的角度来看都是线性的，因为回归函数就未知参数β0β0...因此，对于最小二乘分析，多项式回归的计算和推理问题可以使用多元回归技术完全解决，这是通过将 xx、x2x2 等视为多元回归模型中的独特自变量来完成的。 ...这可能导致像这样的情况，其中总成本不再是数量的线性函数： 通过多项式回归，我们可以将n阶模型拟合到数据上，并尝试对非线性关系进行建模。...当拟合多项式时，您可以使用 lm（noisy.y〜poly（q，3）） 通过使用该confint()函数，我们可以获得我们模型参数的置信区间。
在单变量线性回归中，最终的拟合曲线可能是条笔直的直线，也可能是一个曲线，但是它一定是线性分布的。 预测函数 首先先来了解一下我们线性回归算法的目的：确定一条最优的拟合曲线。...： 写成向量形式的预测函数不但因为简洁，还可以在实现算法时通过Numpy的矩阵运算来提高效率 损失函数 同理此时的损失函数可以写成： 和单变量线性回归的形式相同，此时多变量线性回归的损失函数的矩阵形式可以写成...模型优化 介绍 在线性回归的预测中，很容易出现两个问题：过拟合和欠拟合。...线性回归欠拟合 当线性回归模型欠拟合时我们通常使用增加特征维度来进行优化，例如我们可以通过增加特征多项式来让模型更好的拟合数据。...线性回归过拟合 当线性回归模型过拟合时我们通常使用正则化的方法来进行优化，此时我们主要是对损失函数进行优化： 前半部分是我们在线性回归模型中的损失函数，也就是预测值和实际值的误差。
多元线性回归模型定义 多元线性回归求解 Mean Square Error (MSE) Gradient Descent（梯度下降法） Normal Equation（普通最小二乘法） 局部加权线性回归...（LocallyWeightedLinearRegression, LWLR )：针对线性回归中模型欠拟合现象，在估计中引入一些偏差以便降低预测的均方误差。...当X不可逆时可替代方法为岭回归算法。LWLR方法增加了计算量，因为它对每个点做预测时都必须使用整个数据集，而不是计算出回归系数得到回归方程后代入计算即可，一般不选择。...调优 平衡预测偏差和模型方差（高偏差就是欠拟合，高方差就是过拟合），通常有以下几种解决方案： 获取更多的训练样本 - 解决高方差 尝试使用更少的特征的集合 - 解决高方差 尝试获得其他特征 - 解决高偏差...针对K类问题，当类别之间互斥时可采用Softmax Regression，当非斥时，可采用K个独立的Logistic Regression。
1）实际上完全没有关系的变量，在利用样本数据进行计算时也可能得到一个较大的相关系数值（尤其是时间序列数值） 2）当样本数较少，相关系数就很大。...相关系数高是线性模型拟合程度高的前提；此外相关系数反映两个变量之间的相关性，多个变量之间的相关性可以通过复相关系数来衡量； 线性关系检验 ? 回归系数检验 ?...趋近1，则存在多重共线性！ 多元线性回归 多重共线性：多重共线性与统计假设没有直接关联，但是对于解释多元回归的结果非常重要。...一元回归不存在多重共线性的问题；而多元线性回归要摒弃多重共线性的影响；所以要先对所有的变量进行相关系数分析，初步判定是否满足前提---多重共线性 时间序列数据会自发呈现完全共线性问题，所以我们用自回归分析方法...，笔者将多元回归分析应用到中长期电力负 荷预测之中。
⑴多元回归模型建立 当预测变量也即自变量不止一个时为多元线性回归（multivariable linearregression，MLR），多项式回归可以看成特殊情况下的多元线性回归。...⑵回归诊断 我们可以使用一元回归诊断方法进行简单的诊断，结果如下： par(mfrow=c(2,2)) plot(fit) 在R中car包提供了更详细的回归模型诊断函数，接下来我们对多元回归模型进行详细的评价...③线性 因变量与自变量是否具有线性关系可以通过成分残差图来检验，方法如下： crPlots(fit) 如下图所示，成分残差图以每一个预测变量作为横坐标，以整体模型的残差加该预测变量和其系数的乘积（也即拟合值中该变量承担的部分...⑤多重共线性 在使用多个解释变量进行回归建模时，有时整个模型的显著性非常好，然而回归系数的检验却不显著，这时候很可能出现了多重共线性问题，也即解释变量之间存在较强的相关性。...在生态分析中，环境因子之间很可能会存在共线性问题，这对RDA、CCA、CAP等基于多元回归的模型来说非常重要，因为这些方法使用到了回归系数作为衡量解释变量影响的指标，而VPA分析若要检验每部分方差的显著性也需要消除共线性
一、 简介 机器学习是人工智能的核心，是使计算机具有智能的根本途径。线性回归模型是机器学习中最简单、最基础的一类有监督学习模型，却是很多复杂模型的基础。 可以用线性回归模型来预测销售额。...线性回归要处理的一类问题是：给定一组输入样本，和每个样本对应的目标值，需要在某一损失准则下，找到（学习到）目标值和输入值的函数关系，这样，当有一个新的样本到达时，可以预测其对应的目标值是多少。...在大数据分析中，回归分析是一种预测性的建模技术，它研究的是因变量（目标）和自变量（预测器）之间的关系。这种技术通常用于预测分析，时间序列模型以及发现变量之间的因果关系。 线性回归是回归分析的一种。...2.2.2 模型的设置 1、意义检验：就是根据模型中各个参数的含义，分析各参数的值是否与分析对象的含义相符； 2、回归标准差检验； 3、拟合优度检验； 4、回归系数的显著性检验 2.2.3 举例说明...因为现实中的许多问题往往会受到多个因素而并非单个因素的影响，所以在分析这类问题的时候，一元线性回归就显得有些不足了，那么这个时候，我们就需要采用多元线性回归分析。
最简单的线性回归就是一元线性回归了，也就是只有一个特征的时候；如果特征个数超过一个，那就是多元线性回归了。我们来直观的体验下线性回归模型到底长什么样子。...比如我们想要根据披萨的直径来预测披萨的价格，通过线性回归我们拟合出了下面的的图形。 ?...的的似然函数为： ? 接下来要做的就是使得 ? 最大，为了方便求解，对等式两边取 log，可以得到： ? 当数据（m）趋于无穷大时，期望 ? 和方差 ?...即可，这也就是我们前面要优化的损失函数。 当有了损失函数之后，问题就变为了一个优化损失函数的问题，关于优化方法有很多种，这里介绍一种常见的一种优化算法：最小二乘法。...正则化 当样本数量较少并且特征较多时，优化上面的损失函数时得到的参数 ? 和 ? 很容易使得模型陷入过拟合，我们可以对损失函数引入正则化项的来解决它。
从这个输出中，我们可以通过查看Rhat 每个参数的值来快速评估模型收敛性 。当这些值等于或接近 1 时，链已经收敛。还有许多其他诊断方法，但这对 Stan 来说很重要。...北半球海冰范围随时间的变化（Stan 线性模型拟合）。后验预测发生了什么变化？模型是否更好地拟合数据？为什么模型拟合发生了变化？通过制作非常窄的先验分布，我们的模型改变了什么？...根据您自己数据的差异，当您进行自己的分析时，您可能会看到更小或更大的置信区间。plot(fit)图 11.Stan 模型的参数估计 。...贝叶斯、决策树、随机森林算法预测心脏病R语言中贝叶斯网络（BN）、动态贝叶斯网络、线性模型分析错颌畸形数据R语言中的block Gibbs吉布斯采样贝叶斯多元线性回归Python贝叶斯回归分析住房负担能力数据集...抽样的贝叶斯简单线性回归仿真分析R语言和STAN,JAGS：用RSTAN,RJAG建立贝叶斯多元线性回归预测选举数据R语言基于copula的贝叶斯分层混合模型的诊断准确性研究R语言贝叶斯线性回归和多元线性回归构建工资预测模型
Linear Regression线性回归 它是最为人熟知的建模技术之一。线性回归通常是人们在学习预测模型时首选的技术之一。...一元线性回归和多元线性回归的区别在于，多元线性回归有（>1）个自变量，而一元线性回归通常只有1个自变量。现在的问题是“我们如何得到一个最佳的拟合线呢？”。 如何获得最佳拟合线（a和b的值）？...要点： 1.自变量与因变量之间必须有线性关系。 2.多元回归存在多重共线性，自相关性和异方差性。 3.线性回归对异常值非常敏感。它会严重影响回归线，最终影响预测值。...什么是多重共线性，它如何影响模型性能？ 当某些特征彼此高度相关时，就会发生多重共线性。相关性是指表示一个变量如何受到另一个变量变化影响的度量。...Adjusted R2解决了R2的问题。 当我们添加对我们的模型不那么重要的特性时，比如添加温度来预测工资..... 当添加对模型很重要的特性时，比如添加面试分数来预测工资…… END
什么是正则化 线性模型的建模为了提高模型的泛化能力，一般会进行正则化处理，也就是在损失函数的构造上加上正则化项，如L1正则化项或者L2正则化项，L1正则化也就是常说的Lasso回归，将损失函数加上了L1...alpha为0时，模型退化为Ridge回归，alpha为1时，模型退化为Lasso回归。同样的如果需要进行弹性网络拟合，则这个参数一般使用Cross-validation交叉验证来确定。...什么是广义 最开始接触的线性回归的思想是从最小二乘法解决一个连续响应变量y和一个连续预测变量x发端，也就是一元线性回归，这种情况还是非常常见的，比如测定物质浓度时常用的标准曲线就是拟合一个浓度和吸光度的模型...而这个思路可以很容易的推广到多元回归的，就是预测变量x是有多个特征，特征就是指的自变量，比如预测一个学生的数据成绩，可以使用的预测特征有学生做题时间、习题完成度、课堂注意时间等等。...，则可以先将x1的值进行平方，然后将其命名为一个新的特征如x1^2，令其参与到多元线性回归即可。
18.证明如果采用均方误差函数，线性回归的优化问题是凸优化问题。 19.推导线性回归的梯度下降迭代公式。 20.解释混淆矩阵的概念。 21.解释岭回归的原理。 22.解释LASSO回归的原理。...2.推导朴素贝叶斯分类器的预测函数。 3.什么是拉普拉斯光滑？ 4.推导正态贝叶斯分类器的预测函数。 5.贝叶斯分类器是生成模型还是判别模型？ 第5章 决策树 1.什么是预剪枝，什么是后剪枝？...5.证明当各个类出现的概率相等时，Gini不纯度有极大值；当样本全部属于某一类时，Gini不纯度有极小值。 6.ID3用什么指标作为分裂的评价指标？ 7.C4.5用什么指标作为分裂的评价指标？...第11章 线性模型 1.logistic回归中是否一定要使用logistic函数得到概率值？能使用其他函数吗？ 2.名称解释：对数似然比。 3.logistic是线性模型还是非线性模型？...10.写出使用L1和L2正则化项时logistic回归的目标函数。 11.写出softmax回归的预测函数。 12.推导softmax回归的对数似然函数： ?
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