另外通过自己的思考，我们也知道了： 有割点不一定有桥，有桥一定存在割点； 桥一定是割点依附的边； 例如下图中 C 为割点，但和 C 相连的边都不是桥： ?...既然我们已经分清了如何判断割点和桥，那么我们要如何在一张图中将它找出来呢。首先想当然的还是想到了暴力法：DFS。...假设 DFS 中我们从顶点 U 访问到了顶点 V（此时顶点V还未被访问过），那么我们称顶点 U 为顶点 V 的父顶点，V 为 U 的孩子顶点。...相反，如果顶点 U 至少存在一个孩子顶点，必须通过父顶点 U 才能访问到 U 的祖先顶点，那么去掉顶点 U 后，顶点 U 的祖先顶点和孩子顶点就不连通了，说明 U 是一个割点。...下一篇文章开始，我们就一一的讲解三个算法的使用场景，以及如何使用 DFN[] 、LOW[]和 stack 来实现整个 Tarjan 算法。并且你会发现，最后又变成了可以解决问题的模板（套路）? 。
加强版中使用”颜色”来区分顶点 ? 一开始所有顶点都是白色的，==白色代表顶点还没有被访问过==。当我们第一次遍历到一个顶点x时，会把顶点x染成灰色。...红色的边表示沿着这条边到达了一个白色的顶点，也就是还未遍历到的新顶点。虚线边表示沿着这条边到达了一个灰色节点。...特别的，根据样例里询问x=1，y=1时输出YES，我们知道自己也算自己的祖先 思路1 暴力 这道题一个最直观暴力的做法就是对于每一个询问，从y一直向上找父节点，如果遇到x那么就输出YES；如果一直找到根节点也就是...注意这里我们虽然还是用数组套vector的g来保存边。但是这个g和上一节我们讲的邻接表有些不一样。这道题由于是有根树，我们知道谁是谁的父节点，所以我们g[x]保存的是x的所有子节点。...第11~15行是在处理所有x的子节点i，递归调用DFS(i)进行遍历。注意给定的图是一棵有根树，并且g[x]保存的是x的子节点。
文心一言： 在无向图中，当我们执行深度优先搜索（DFS）时，边通常被分为几种类型：树边、后向边、前向边和横叉边。然而，在无向图中，前向边和横叉边的概念与有向图不同，且通常我们主要关注树边和后向边。...在邻接表中，每个顶点都有一个与之关联的边列表。当我们进行深度优先搜索时，我们会按照顶点的访问顺序遍历它们。...在这个过程中，我们会遇到两种类型的边：树边和后向边。 树边是从当前顶点到尚未访问过的顶点的边。当我们首次访问一个顶点时，所有从它出发的边都是树边。 后向边是从当前顶点返回到已访问过的顶点的边。...这些边出现在回溯过程中，当我们从一个顶点返回到它的父顶点时。 现在，让我们考虑一个具体的示例来说明这一点。...树边：当DFS访问到节点u时，如果u未被访问过，我们标记u为已访问，并继续访问u的邻居v。此时，边(u, v)是树边，因为v是u的子节点。 2.
Tips：注意一个细节，由1->3，认为 1是3的父节点。 搜索到4号时，与4号相连的边有4->1，4->1是没有访问过的边，且1号节点已经标记过访问过，也就是说通过4号点又回到了1号点。...根据这些信息，如何判断割点。 如果当前点为根节点时，若子树数量大于一，则说明该点为割点（子树数量不等于与该点连接的边数）。...如果当前点不为根节点，若存在一个儿子节点的low值大于或等于该点的dfn值时（low[子节点] >= dfn[父节点]），该点为割点（即子节点，无法通过回边，到达某一部分节点（这些节点的dfn值小于父亲节点...删除2-5和5-6边后。 那么如何求割边呢？ 只需要将求割点的算法修改一个符号就可以。只需将low[v]>=num[u]改为low[v]>num[u]，取消一个等于号即可。...，每次遍历完一个子节点时，返回到此节点记录，得到的 2 ∗ N − 1 长的序列； 欧拉序和DFS序的区别，前者在每一个子节点访问后都要记录自己，后者只需要访问完所有子节点后再记录一次。
王：整个图的所有边和点可能是内存存不下的，但是如果图中的所有顶点都可以存放在内存中，那么对我们的处理将会相当有利。 这在实际情况中还是比较常见的，因为对于比较稠密的图来说，边要比顶点多得多。...王：是的，这种半外存算法做到了无须让内存保存所有的边和点，内存只需要保存所有的顶点和图上的一条边就可以了。每当一条边处理结束后，我们就丢掉它。现在来看看算法的复杂度如何。...小可：首先，算法预处理时，要将所有的顶点扫描一遍，需要 O(scan(|V|)) 次 I/O。然后，在算法执行的过程中，需要扫描所有的边，所以需要 O(scan(|E|)) 次 I/O。 Mr....当我们需要处理一个图时，首先要做一个判定：如果图的顶点可以全部放进内存中，就可以使用前面提到的半外存算法；如果不能，就尝试下面这种方法，先说说它的思想。...王：没错，比如新的顶点 A 和 B 之间的边，外存中保存的数据中并没有 A 和 B 顶点间的边，只有 ef 和 dc这样的边，所以还要有机制来记住 e、 f 这两个顶点之间的边，在下一轮迭代中，是 A、
---- 10.3 图的表示及同构 当我们可以对图作平移、翻转某些点和边使得两个图长得一样的时候，我们称这两个图是同构（isomorphic）的，记号为Ｇ1 ≅Ｇ2。...incidence matrix表示法：对图的顶点和边标号，当顶点和边相关联时对应元素为1，例子如下： ---- 当图是稀疏（sparse）的时候，我们常用邻接列表表示图；当图稠密（dense）的时候...我们有时希望移除某些顶点使一个图不连通。(G)被定义为vertex connectivity的记号，就是将当前这个图变得不连通要移除的最小顶点数目。其中，我们知道Kn是无论如何都是连通的。...而如果将有向图的方向忽略时，这是个连通无向图则称这个有向图为weakly connected。容易知道，strongly connected是weakly connected更强的条件。...在观察时，我通常将第一步放在度最多的节点上。 图的着色主要用于调度问题，即子元素之间不能共存，可以用图着色思想解决问题。 ---- 图的着色多项式：用来求解(G)的系统性方法，和观察法相异。
1（因为树的根节点没有父节点），所以边的总数也是： [ \frac{(m-1)^2}{2} - 1 ] 每条边连接的两个顶点分别是当前子问题的左半部和右半部。...例如，当n=4时，子问题图如下所示： v1 ---> v2 ---> v3 ---> v4 其中，边(v1, v2)表示计算A1A2，边(v2, v3)表示计算(A1A2)A3，边(v3, v4...因此，在子问题图中，每个顶点最多有 n 条出边和入边。 连接关系：具体来说，子问题图中的边连接着相邻的顶点。每条边连接一个父节点和一个子节点，并表示将父节点划分成两部分进行乘积运算得到子节点。...总结起来： • 子问题图包含 (n+1) * (n+1) 个顶点。 • 每个顶点最多有 n 条出边和入边。 • 边连接着相邻的顶点，并表示划分父节点得到子节点。...然后，我们创建了一个 edges 切片来表示连接这些顶点的边。这个程序将打印出顶点和边的信息。 混元： 在用 Go 语言解决矩阵链乘法问题时，我们可以使用动态规划来解决。
（1）在待删除的节点没有子节点时，直接删除该节点，即在其父节点中将其对应的子节点置空即可。要删除的节点 14 没有子节点，则直接将其删除即可。 ?...（2）在待删除的节点只有一个子节点时，使用子节点替换当前节点，然后删除该节点即可。要删除的节点 5 有一个子节点 8，则使用子节点 8 替换需要删除的节点 5，然后删除节点 5 的数据即可。 ?...6.2.左旋 对 a 节点进行左旋，指将 a 节点的右子节点设为 a 节点的父节点，即将 a 节点变成一个左节点。因此左旋意味着被旋转的节点将变成一个左节点 ?...7.1.无向图 从顶点 Vi到 Vj的边没有方向，则称这条边为无向边。顶点和无向边组成的图为无向图 ?...从顶点 Vi到 Vj的边有方向，则称这条边为有向边，也叫作弧，用有序偶 来表示有向边，Vi叫作弧尾，Vj叫作弧头。由顶点和有向边组成的图叫作有向图。 ?
图是由顶点和连接顶点的边构成的数据结构，在计算机科学中，图是最灵活的数据结构之一，很多问题都可以使用图模型进行建模求解。...简单路径：没有重复顶点的路径 环：至少含有一条边，并且起点和终点都是同一个顶点的路径 简单环：不含有重复顶点和边的环 无环图：是一种不包含环的图 连通图：如果一个图中，从任意顶点均存在一条路径可以到达另一个任意顶点...具体来说，它由有限个顶点和有向边组成，每条有向边都从一个顶点指向另一个顶点；从任意一个顶点出发都不能通过这些有向边回到原来的顶点。...也就是说，它由 顶点 Vertex 和 边 Edge (也称为弧)组成，每条边都从一个顶点指向另一个顶点，沿着这些顶点的方向 不会形成一个闭合的环 。...，即父节点的哈希值是由子节点的哈希值拼接得来的字符串哈希而成。
简述图 图是由顶点集合和顶点之间的边集合组成的一种数据结构，分为有向图和无向图。...简述最小生成树和其对应的算法 对于有 n 个结点的原图，生成原图的极小连通子图，其包含原图中的所有 n 个结点，并且有保持图连通的最少的边。...在添加的顶点 w 和已经在生成树上的顶点v 之间必定存在一条边，并且该边的权值在所有连通顶点 v 和 w 之间的边中取值最小。之后继续往生成树上添加顶点，直至生成树上含有 n-1 个顶点为止。...克鲁斯卡尔算法：先构造一个只含 n 个顶点的子图 SG，然后从权值最小的边开始，若它的添加不使 SG 中产生回路，则在 SG 上加上这条边，如此重复，直至加上 n-1 条边为止。...最大值堆：子节点均小于父节点，根节点是树中最大的节点。 最小值堆：子节点均大于父节点，根节点是树中最小的节点。 简述set Set是一种集合。集合中的对象不按特定的方式排序，并且没有重复对象。
树的节点之间是一对多的关系，并且存在父与子的层级划分；而图的顶点（注意，这里不叫节点）之间是多对多的关系，并且所有顶点都是平等的，无所谓谁是父谁是子。 ?...这样就麻烦一些了，我们要遍历每一个顶点所在的链表，看看链表节点中是否包含节点1，最后发现顶点0和顶点3可以到达顶点1。 ? 像这种逆向查找的麻烦，该如何解决呢？我们可以是用逆邻接表来解决。 ?...在优化之后的十字链表中，链表的每一个节点不再是顶点，而是一条边，里面包含起止顶点的下标。 十字链表节点和边的对应关系，如下图所示： ? 因此，优化之后的十字链表，是下面这个样子： ?...图中每一条带有蓝色箭头的链表，存储着从顶点出发的边；每一条带有橙色箭头的链表，存储着进入顶点的边。初学十字链表的时候，可能会觉得有些乱。 总结 1.我们这一次介绍了图的定义和分类。...根据图的边是否有方向，可分为有向图和无向图。根据图的边是否有权重，可分为带权图和无权图。当然，也可以把两个维度结合起来描述，比如有向带权图，无向无权图等等。 2.图的表示方法有很多种。
此外，如果我们知道与值关联的键，则它有效地支持查找。因此，无论数据大小如何，插入和搜索都非常有效。 当存储在表中时，直接寻址使用值和键之间的一对一映射。但是，当存在大量键值对时，此方法存在问题。...7.堆 堆是二叉树的一种特殊情况，其中将父节点与其子节点的值进行比较，并对其进行相应排列。 让我们看看如何表示堆。堆可以使用树和数组表示。图7和8显示了我们如何使用二叉树和数组来表示二叉堆。...有向图 如果图形G的所有边缘都具有指示什么是起始顶点和什么是终止顶点的方向，则称该图形为有向图。 我们说（u，v）从顶点u入射或离开顶点u，然后入射到或进入顶点v。 自环：从顶点到自身的边。...每个用户都是一个顶点，并且在用户连接时会创建一条边。 用于表示搜索引擎的网页和链接。互联网上的网页通过超链接相互链接。每页是一个顶点，两页之间的超链接是一条边。用于Google中的页面排名。...用于表示GPS中的位置和路线。位置是顶点，连接位置的路线是边。用于计算两个位置之间的最短路径。
特性 它总是平衡的：无论何时我们在结构中删除/插入一个元素，我们只需要“筛选”/“渗透”它直到它处于正确的位置； 节点k > 1的父节点是[k/2]（其中 [x] 是 x 的整数部分），其子节点是2k和...当我们提到一个排序数组时，我们通常会想到升序（比较运算符是“和空间复杂度。其中一些是基于比较的，有些则不是。...因此，它也使用滑动窗口，但不是将所有字符与子字符串进行比较，而是不断寻找当前子模式的最长后缀，这也是它的前缀。换句话说，每当我们在某些匹配后检测到不匹配时，我们就已经知道下一个窗口文本中的某些字符。...当我们发现一件比背包中剩余重量 (w1) 重 (w2) 的物品时，我们将对其进行分割：仅取出w2-w1以最大化我们的利润。保证这个贪心的解决方案是正确的。 7....然后，选取最小的边。如果它不与当前 MST 形成循环，我们将其包括在内。否则，丢弃它。重复最后一步，直到 MST 中有 |V|-1 条边。
简单起见，我们先说如何求一个图的边连通度lamda(G)。（基于无向图考虑） 对于图G，设u，v是图G上的两个顶点，定义r（u，v）为删除最少的边，使得u到v之间没有通路。...)(u,v)为后向边（返祖边）（一定注意不包括与父节点的连边）low(v)(u,v)为树枝边} 一个顶点u是割点，当且仅当满足 (1)或(2)： (1)u为树根，且u有多于一个子树。...（一定注意考虑重边的可能性） 一个有桥的连通图，如何把它通过加边变成边双连通图？ 方法为首先求出所有的桥，然 后删除这些桥边，剩下的每个连通块都是一个双连通子图。...= v ) //连到父节点的回边不考虑，否则求不出桥 low[u] = min(low[u],dfn[v]); } } void Count() { //计算割点和桥 int nRootSons...桥不属于任何一个边双连通分支,其余的边和每个顶点都属于且只属于一个边双连通分支。
https://www.cs.usfca.edu/~galles/visualization/BPlusTree.html 1.2.6 堆 堆（Heap）：堆可以看做是一颗用数组实现的二叉树，所以它没有使用父指针或者子指针...堆分为两种：大根堆和小根堆，两者的差别在于节点的排序方式。 大根堆：父节点的值比每一个子节点的值都要大。 小根堆：父节点的值比每一个子节点的值都要小。...顶点用圆圈表示，边就是这些圆圈之间的连线。顶点之间通过边连接。...图分为有向图和无向图： 有向图：边不仅连接两个顶点，并且具有方向； 无向图：边仅仅连接两个顶点，没有其他含义； 例如，我们可以把图这种数据结构看做是一张地图： 地图中的城市我们看做是顶点，高铁线路看做是边...，先将此顶点的所有子顶点全部搜索完毕，再进行下一个子顶点的子顶点搜索； 例如上图：以武汉为例进行广度搜索， 深度搜索：搜索到一个顶点时，先将此顶点某个子顶点搜索到底部（子顶点的子顶点的子顶点....）
此外，如果我们知道与值关联的键，则它有效地支持查找。因此，无论数据大小如何，插入和搜索都非常有效。 当存储在表中时，直接寻址使用值和键之间的一对一映射。但是，当存在大量键值对时，此方法存在问题。...7.堆 堆是二叉树的一种特殊情况，其中将父节点与其子节点的值进行比较，并对其进行相应排列。 让我们看看如何表示堆。堆可以使用树和数组表示。图7和8显示了我们如何使用二叉树和数组来表示二叉堆。 ?...8.图 一个图由一组有限的顶点或节点以及一组连接这些顶点的边组成。 图的顺序是图中的顶点数。图的大小是图中的边数。 如果两个节点通过同一边彼此连接，则称它们为相邻节点。...有向图 如果图形G的所有边缘都具有指示什么是起始顶点和什么是终止顶点的方向，则称该图形为有向图。 我们说（u，v）从顶点u入射或离开顶点u，然后入射到或进入顶点v。 自环：从顶点到自身的边。...每个用户都是一个顶点，并且在用户连接时会创建一条边。 · 用于表示搜索引擎的网页和链接。互联网上的网页通过超链接相互链接。每页是一个顶点，两页之间的超链接是一条边。用于Google中的页面排名。
- `parent` 字典存储每个顶点的父节点，初始时每个顶点是自己的父节点。 - `rank` 字典存储每个集合的秩，初始时秩都为 0。...- **最优子结构**： - 这两种贪心算法都利用了最小生成树问题的最优子结构特性。...- **不适合某些动态图**： - 当图是动态的，即边和顶点可能频繁添加或删除时，这些贪心算法的更新性能不佳。...- 例如，在 Prim 算法中，每次添加新顶点或边时，可能需要重新调整最小堆和已访问集合，对于频繁的动态操作，需要频繁地重建最小生成树，性能会下降。...综上所述，贪心算法解决最小生成树问题在静态图的场景下通常表现良好，具有简单、高效、利用最优子结构的优点，但对于动态图的适应性较差，并且其性能受图存储结构和所需数据结构的维护的影响，在编程实现上也需要一定的技巧和考虑因素
树的节点之间是一对多的关系，并且存在父与子的层级划分；而图的顶点（注意，这里不叫节点）之间是多对多的关系，并且所有顶点都是平等的，无所谓谁是父谁是子。...图的术语 下面我们来介绍一下图的基本术语： 在图中，最基本的单元是顶点（vertex），相当于树中的节点。顶点之间的关联关系，被称为边（edge）。 在有些图中，每一条边并不是完全等同的。...图的表示 邻接矩阵 拥有n个顶点的图，它所包含的连接数量最多是n（n-1）个。因此，要表达各个顶点之间的关联关系，最清晰易懂的方式是使用二维数组（矩阵）。 具体如何表示呢？...这样就麻烦一些了，我们要遍历每一个顶点所在的链表，看看链表节点中是否包含节点1，最后发现顶点0和顶点3可以到达顶点1。 像这种逆向查找的麻烦，该如何解决呢？我们可以是用逆邻接表来解决。...总结 1.我们这一次介绍了图的定义和分类。根据图的边是否有方向，可分为有向图和无向图。根据图的边是否有权重，可分为带权图和无权图。当然，也可以把两个维度结合起来描述，比如有向带权图，无向无权图等等。
纹理贴图只有长和宽2个维度，而mesh往往是一个三维物体，所以要达到这个目的，我们需要知道如何将这个纹理投射到mesh的三角形上。这其实是通过向顶点添加二维纹理坐标来完成的。...当我们将这个组件添加到游戏对象中时，我们也需要给它一个mesh filter 和一个 mesh renderer。这里有个快捷的方式，向我们的类添加一个属性，以便使Unity自动为我们添加它们。 ?...三角形的哪一边可见是由它的顶点顺序的时钟方向决定的。默认情况下，如果它们按顺时针方向排列，则三角形被认为是前向的和可见的，逆时针方向的三角形会被丢弃。...（两种时钟方向的三角形） 因此，当我们向下看Z轴时，要使三角形出现，我们必须改变其顶点被遍历的顺序。我们可以通过交换最后两个索引来实现。 ? ?...（平坦的表面假装凹凸不平） 现在，你已经知道了如何创建一个简单的mesh，并使它看起来像是使用了很复杂的材质。mesh需要顶点位置和三角形，通常也需要UV坐标--最多四组（经常是切线）。
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