平方L2L_2L2范数也经常用来衡量向量的大小，可以简单地通过点积x⊤xx^⊤xx⊤x 计算。 平方L2L_2L2 范数在数学和计算上都比L2L_2L2范数本身更方便。...例如，平方L2L_2L2范数对x 中每个元素的导数只取决于对应的元素，而L2L_2L2范数对每个元素的导数却和整个向量相关。...但是在很多情况下，平方L2L_2L2 范数也可能不受欢迎，因为它在原点附近增长得十分缓慢。 L1L_1L1 norm 在某些机器学习应用中，区分恰好是零的元素和非零但值很小的元素是很重要的。...每当x 中某个元素从0 增加ϵ，对应的L1L_1L1范数也会增加ϵ。 L0L_0L0 norm 有时候我们会统计向量中非零元素的个数来衡量向量的大小。...点积使用范数来表示 两个向量的点积（dot product）可以用范数来表示。
在代码中，我们可以调用函数来计算任意形状张量的平均值。 A.mean(), A.sum() / A.numel() 同样，计算平均值的函数也可以沿指定轴降低张量的维度。...事实上，欧几里得距离是一个 L_2 范数：假设 n 维向量 \mathbf{x} 中的元素是 x_1,\ldots,x_n ，其 L_2 范数是向量元素平方和的平方根： \|\mathbf{x}\|...在代码中，我们可以按如下方式计算向量的 L_2 范数： u = torch.tensor([3.0, -4.0]) torch.norm(u) 深度学习中更经常地使用 L_2 范数的平方，也会经常遇到...用向量表示物品（如单词、产品或新闻文章），以便最小化相似项目之间的距离，最大化不同项目之间的距离。目标，或许是深度学习算法最重要的组成部分（除了数据），通常被表达为范数。...在深度学习中，我们经常使用范数，如 L_1 范数、 L_2 范数和弗罗贝尼乌斯范数。 我们可以对标量、向量、矩阵和张量执行各种操作。
1.能量说 向量的2范数的平方就是信号的能量，换成常见的公式： ? ...这个公式可以数字信号处理教材中讲信号分类的章节找到，实际上将信号看成是电压信号或电流信号，这是在单位电阻上的能量（即u2t/R或i2t/R，R=1Ω，再离散即可）。 ...其对于向量做变化后的 L2 能量（范数平方）相较于原向量的能量的变化不超过RIP。 ...其实取极限当δ=0时（RIP要求0的不等式实际上表示的是观测所得向量y的能量等于信号x的能量，在线性代数中所讲的正交变换也具有这种性质，也称为等距变换（把信号将为二维或三维时2范数的平方可形象的理解为到原点的距离...2.唯一映射说 RIP性质（有限等距性质）保证了观测矩阵不会把两个不同的K稀疏信号映射到同一个集合中（保证原空间到稀疏空间的一一映射关系），要求从观测矩阵中抽取的每M个列向量构成的矩阵是非奇异的。
在数学表示法中，我们使用\sum符号表示求和。为了表示长度为d的向量中元素的总和，可以记为\sum_{i=1}^dx_i。...非降维求和 有时在调用函数来计算总和或均值时保持轴数不变会很有用 sum_A = A.sum(axis=1, keepdims=True) sum_A # tensor([[ 6.], #...事实上，欧几里得距离是一个L_2范数： 假设n维向量\textbf{x}中的元素是x_1,\ldots,x_n，其L_2范数是向量元素平方和的平方根： \|\textbf{x}\|_2 = \sqrt{...在深度学习中，更经常地使用L_2范数的平方。...类似于向量的L_2范数，矩阵\textbf{X} \in \mathbb{R}^{m \times n}的Frobenius范数（Frobenius norm）是矩阵元素平方和的平方根： \|\textbf
对于每个点x^{(i)} \in R^n，会有一个对应的编码向量c^{(i)}\in R^l.如果l比n小，那么我们便使用了更小的内存来存储原来的数据。...PCA由我们选择的解码函数来决定。具体来讲，为了简化编码器，我们使用矩阵乘法将编码映射回R^n，即g(c)=Dc，其中D \in R^{n \times l}是定义解码的矩阵。...衡量最优编码的一种方式：解码之后的向量和输入的向量之间的距离最小，可以使用范数来衡量他们之间的距离。在PCA算法中，我们使用L^2范数。...我们可以使用平方L^2范数替代L^2方范数，因为两者在相同的值c上取得最小值，由于L^2范数非负，而平方L^2范数在非负值上单调递增。...具体来讲，最优的d是X^TX最大特征值对应的特征向量。 以上推导特定于l=1的情况，仅得到了第一个主成分。更一般地，当我们希望得到主成分的基时，矩阵D由前l个最大的特征值对应的特征向量组成。
邻近度度量（特别是相似度）常被定义为或变换到区间[0,1]中的值。这样做的动机是使用一种适当的尺度，由邻近度的值表明两个对象之间的相似（或相异）程度。这种变换通常是比较直接的。...() 两个向量之差的2范数平方 向量 向量 cosine_similarity() 两个向量的余弦相似度 向量 向量 dist_angle() 欧氏空间中两个向量之间的角距离 向量 向量 dist_tanimoto...-------+------------------ 6 | 3.74165738677394 (1 row) 1范数的定义为向量各元素绝对值的和，2范数的定义是向量各元素平方和的平方根...r = 2，就是欧几里得距离。 （5）上确界距离（Lmax或L∞范数）。...对于稠密的、连续的数据，通常使用距离度量，如欧几里得距离。数据挖掘中，取实数值的数据是连续的数据，而具有有限个值或无限但可数个值的数据称为离散数据。
范数（包括 范数）是将向量映射到非负值的函数。直观上来说，向量 的范数衡量从原点到点 的距离。...它表示从原点出发到向量 x 确定点的欧几里得距离。可简化表示为 \begin{Vmatrix} x \end{Vmatrix} ，平方 L^2 范数可简单地通过点积 x^Tx 计算。...平方 L^2 范数对 x 中每个元素的导数只取决于对应的元素， 而 L^2 范数对每个元素的导数和整个向量相关。 平方 L^2 范数在原点附近增长得十分缓慢。...两个向量的点积可以用范数来表示： x^Ty=\begin{Vmatrix} x\end{Vmatrix}_2\begin{Vmatrix} y\end{Vmatrix}_2cos\theta ，其中...标准正交：R^n 中，至多有 n 个范数非零向量相互正交，且范数都是 1 。 正交矩阵指行向量和列向量是分别标准正交的方阵。
在实数域中，数的大小和两个数之间的距离是通过绝对值来度量的。在解析几何中，向量的大小和两个向量之差的大小是“长度”和“距离”的概念来度量的。...而通过向量来表示上述映射中所说的这个集合，而我们通常所说的基，就是这个集合的最一般关系。于是，我们可以这样理解，一个集合（向量），通过一种映射关系（矩阵），得到另外一个几何（另外一个向量）。...2-范数：，Euclid范数（欧几里得范数，常用计算向量长度），即向量元素绝对值的平方和再开方，matlab调用函数norm(x, 2)。...∞-范数：，即所有向量元素绝对值中的最大值，matlab调用函数norm(x, inf)。 -∞-范数：，即所有向量元素绝对值中的最小值，matlab调用函数norm(x, -inf)。...F-范数：，Frobenius范数，即矩阵元素绝对值的平方和再开平方，matlab调用函数norm(A, ’fro‘)。 核范数：是A的奇异值。即奇异值之和。
但是不能使用矩阵逆去求解 对于方阵而言，它的左逆和右逆是相等的 在机器学习中，经常使用被称为 范数（norm）的函数衡量向量大小。...直观上来说，向量 \(x\) 的范数衡量从原点到点 \(x\) 的距离。...平方 \(L^{2}\) 范数也经常用来衡量向量的大小，可以简单地通过点积 \(x^{⊤}x\) 计算 平方 \(L^{2}\) 范数在数学和计算上都比 \(L^{2}\) 范数本身更方便。...在深度学习中，最常见的做法是使用 Frobenius 范数（Frobenius norm） \[ ||A||_F = \sqrt{\sum_{i,j}A^2_{i.j}} \] 两个向量的 点积（dot...如果两个向量都有非零范数，那么这两个向量之间的夹角是 90 度。在 \(R^n\) 中，至多有 \(n\) 个范数非零向量互相正交。
范数是一种数学概念，可以将向量或矩阵映射到非负实数上，通常被用来衡量向量或矩阵的大小或距离。在机器学习和数值分析领域中，范数是一种重要的工具，常用于正则化、优化、降维等任务中。...标准二范数的计算方法类似于欧几里得距离，都是将所有元素的平方和开根号。...在 PyTorch 中，可以使用 torch.linalg.norm 函数来计算向量的标准二范数，例如： x = torch.tensor([1, 2, 3, 4, 5], dtype=torch.float...无穷范数在矩阵计算和优化中有广泛的应用。例如，在矩阵乘法中，可以使用无穷范数来衡量矩阵乘积的大小；在优化问题中，可以使用无穷范数作为约束条件或者目标函数。...L1范数 ---- L1 范数（L1 norm）是指向量中各个元素的绝对值之和，也称为曼哈顿距离（Manhattan distance）或城市街区距离（city block distance）。
损失函数是向量范数在线性代数中的应用。范数可以简单地说是向量的量纲。有许多类型的向量范数。 L1范数：也称为曼哈顿距离或Taxicab 范数。...L2范数：也称为欧几里德距离。L2 范数是向量距原点的最短距离，如下图中的红色路径所示： ? 这个距离是用毕达哥拉斯定理计算的。它是 ? 的平方根，等于5。...我们想研究变量对之间的关系。协方差或相关性是用于研究两个连续变量之间关系的度量。 协方差表示变量之间线性关系的方向。正协方差表示一个变量的增加或减少在另一个变量中同样增加或减少。...您可能会认为这是统计学而非线性代数的概念。好吧，记得我告诉过你线性代数是无处不在的吗？使用线性代数中的转置和矩阵乘法的概念，协方差矩阵有一个非常简洁的表达式： ?...使用向量范数来计算边界。 但是，如果数据像下面的情况那样该怎样线性分离呢？ ? 我们一般认为决策面必须是圆形或椭圆形，但怎么找到它？这里，使用了内核转换的概念。
p=2，L⁽2⁾范数称欧几里得范数(Euclidean norm)。表示从原点出发到向量x确定点的欧几里得距离。简化||x||，略去下标2。平方L⁽2⁾ 范数衡量向量大小，通过点积x⫟x计算。...平方L⁽2⁾范数在数学、计算上比L⁽2⁾范数更方便。平方L⁽2⁾范数对x中每个元素的导数只取决对应元素。L⁽2⁾范数对每个元素的导数和整个向量相关。平方L⁽2⁾范数，在原点附近增长缓慢。...diag(v)表示对角元素由向量v中元素给定一个对角方阵。对角矩阵乘法计算高效。计算乘法diag(v)x，x中每个元素xi放大vi倍。diag(v)x=v⊙x。计算对角方阵的逆矩阵很高效。...x⫟y=0，向量x和向量y互相正交(orthogonal)。两个向量都有非零范数，两个向量间夹角90°。ℝⁿ至多有n个范数非零向量互相正交。...正交矩阵求逆计算代价小。正交矩阵行向量不仅正交，还标准正交。行向量或列向量互相正交但不标准正交矩阵，没有对应专有术语。
在机器学习中，我们也经常使用被称为范数(norm) 的函数衡量矩阵大小 （为什么是这样的，不要管了，要扯就扯偏了，记得是衡量向量或者矩阵大小的就行了） 这些知识在各大算法（如SVM）中亦有涉及，而且在距离量度中的欧式距离...正如我们可以通过分解质因数来发现整数的一些内在性质，我们也可以通过分解矩阵来发现矩阵表示成数组元素时不明显的函数性质。 特征分解是使用最广的矩阵分解之一，即我们将矩阵分解成一组特征向量和特征值。...我也赞同特征向量不改变方向的说法：特征向量永远不改变方向，改变的只是特征值（方向反转特征值为负值了）。特征向量也是线性不变量。...然后，另R’ =RU，就实现了数据集在特征向量这组正交基上的投影。嗯，重点来了，R’中的数据列是按照对应特征值的大小排列的，后面的列对应小特征值，去掉以后对整个数据集的影响比较小。...Moore-Penrose伪逆使我们能够解决这种情况，矩阵A的伪逆定义为： 但是计算伪逆的实际算法没有基于这个式子，而是使用下面的公式： 其中，矩阵U，D 和V 是矩阵A奇异值分解后得到的矩阵。
注意，为了简便起见，此处省略了向量符号的箭头。这个符号是向量分量乘积之和的简写： ? 巧合的是，向量的范数是点积的平方根，可以这样表示： ? 这当然不是全部的。...我们肯定知道余弦定理，即点积等于向量之间角度的余弦与它们范数的乘积（这很容易用简单的三角函数来证明）： ? 谈论角度和范数的好处在于，我们可以想象出这个点积是什么样子。...Kernel 可以用作任何在点积过程（或相关范数）中定义的算法的泛化。...人们时常地混淆使用 Kernel 和使用映射函数的概念。Kernel 函数的输出是一个标量，是对两个点的相似性或相异性的度量，而映射函数的输出则是一个提供相似性计算的向量。...这是 Kernel 理论中许多很不错的公式之一。 径向基函数 Kernel ? ? 这是一个非常有名的，并经常使用的 Kernel。
正交的（n-1）维子空间 a.若 ? ,则 ? 有n个线性无关的特征向量，该组特征向量由u和 ? 中任取一组基向量组成 b.若 ? ,则 ? 仅有n-1个线性无关的特征向量，该组特征向量由 ?...这里介绍几种常见的向量范数 ? 向量中的元素的绝对值之和 ? 向量中的元素的绝对值的平方加起来然后开方 ?...向量元素中的最大绝对值（使用Cauchy-Schwarz不等式证明三角不等式） ?...下面介绍一下范数的等价性 对于任意两个定义好的范数，存在两个与向量x无关的非零正常数c1，c2，有 ?...这里给出一种范数的定义，即诱导矩阵范数，诱导矩阵范数和向量范数密切相关 定义：设在两个向量空间 ? 中存在向量范数 ? , 定义在 ? 空间上的矩阵A的由向量范数 ?
注意：这两个损失函数也会惩罚一些边界附近正确分类的数据，有效地保证了安全边际。 缩放参数∥w∥ 之前忽视了很重要的一点，即符号距离 s(x) 是通过权重向量的范数来缩放的。...首先计算最近质心分类器的单位权重向量 z hat，然后针对每个 SVM 模型 (w,b) 计算出单位向量 n hat，这样 (z hat,n hat) 就是斜平面 w 的一组标准正交基。...水平方向穿过两个质心，选定垂直方向，使 w 属于该平面（超平面边界则以直线形式出现）。由于 (z hat,n hat) 是一组标准正交基，所以这个平面的距离实际上是像素的距离。...最终，少量错误分类的训练样本被覆盖，导致对抗距离减小，权重向量难以解释。 最后，我们可以发现每个模型中的两个典型映像 x、y（每类一个）和它们的镜像 x_m、y_m。...W2W1^x 是 N 在 L_x 内的梯度。它是 x 的对抗方向，在实践中通过反向传播进行计算。 范数‖W2W1^x‖可以理解为损失函数的缩放参数（缩放现在是局部的，依赖于 x）。
（补充：确定要保留的奇异值的数目有很多启发式的策略，其中一个做法就是保留矩阵中90%的能量信息，先将所有的奇异值求其平方和计算出总能量信息，再按照从大到小的顺序将奇异值的平方和累加到大于等于总值的90%...算法实现： 【3】余弦相似度（cosine similarity ) 计算的是两个向量夹角的余弦值，两个向量之间的夹角为： 余弦相似度的取值范围也在-1到+1之间，因此借助0.5...算法实现： 函数说明（二） 【1】 norm函数 用来计算向量或矩阵范数的函数，同svd一样属于numpy库中的linalg。...语法：numpy.linalg.norm(x,p) 【注释：①x表示向量或者矩阵；②p表示范数的种类：p=1计算1-范数；p=2计算2-范数，同norm(x)；p=inf计算无穷范数；p='fro'...（补充：除了上述基于物品（item-based)的相似度外，还可以基于用户（user-based）的相似度计算，使用哪一种相似度取决于用户或物品的数目。
当考虑向量空间时，如果你在心里把它们建模为 R^2 会很有帮助。 范数空间 如果你很了解向量空间，下一步就是理解怎样测量向量的大小。在默认情况下，向量空间本身并没有提供这样的工具。但我们有： ?...当 p=2 时，我们得到上述特例以及最高范数。 ? 有时，例如对于 p = 2，范数来自所谓的内积，即双线性函数。 ? 因此： ? 具有内积的向量空间称为内积空间。经典的是欧几里得积。 ?...每一个内积都可以变成一个范数。 ? 当两个向量的内积为零时，这两个向量彼此正交。 基正交 / 正交基 虽然向量空间是无穷的（在本文的例子中），你可以找到一个有限的向量集，用来表示空间中的所有向量。...毫无疑问，在讨论线性空间时，基大大简化了问题。 当基中的向量相互正交时，我们称之为正交基（orthogonal basis）。如果每个正交向量的范数在正交基础上均为 1，则我们说它是正交的。...如何计算梯度？ ? 写成如下的矢量 - 标量函数： ? g 的梯度由矩阵定义，该矩阵的第 k 行是第 k 个分量的梯度 ? 该矩阵被称为 g 的总导数。在该例中 ? 包含两个函数 ? 和 ?
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