例如，我们的硬币结果是一个伯努利分布，如果我们想计算一个 n 次试验后硬币正面向上的概率，我们可以使用二项式分布。 引入一个类似于概率环境中的变量的概念会方便很多--随机变量。...二项分布 现在回到掷硬币的案例中，当掷完第一次，我们可以再掷一次，也就是存在多个伯努利试验。第一次为正不代表以后也会为正。那么设一个随机变量 X，它表示我们投掷为正面的次数。X 可能会取什么值呢？...在投掷硬币的总次数范围内可以是任何非负整数。 如果存在一组相同的随机事件，即一组伯努利试验，在上例中为连续掷硬币多次。那么某随机事件出现的次数即概率服从于二项分布，也称为多重伯努利分布。...任何一次试验都是互相独立的，前一次试验不会影响当前试验的结果。两个结果概率相同的试验重复 n 次的试验称为多次伯努利试验。...进行 n 次相同的试验； 4. 所有试验中成功率都是相同的，失败的概率也是相同的。
事实证明，世界上许多不确定的过程可以用概率分布来表述。例如，我们的硬币结果是一个伯努利分布，如果我们想计算一个 n 次试验后硬币正面向上的概率，我们可以使用二项式分布。...二项分布 现在回到掷硬币的案例中，当掷完第一次，我们可以再掷一次，也就是存在多个伯努利试验。第一次为正不代表以后也会为正。那么设一个随机变量 X，它表示我们投掷为正面的次数。X 可能会取什么值呢？...在投掷硬币的总次数范围内可以是任何非负整数。 如果存在一组相同的随机事件，即一组伯努利试验，在上例中为连续掷硬币多次。那么某随机事件出现的次数即概率服从于二项分布，也称为多重伯努利分布。...任何一次试验都是互相独立的，前一次试验不会影响当前试验的结果。两个结果概率相同的试验重复 n 次的试验称为多次伯努利试验。...进行 n 次相同的试验； 4. 所有试验中成功率都是相同的，失败的概率也是相同的。 二项分布的数学表达式为： ? 成功概率和失败概率不相等的二项分布看起来如下图所示： ?
它是数学家雅各布·伯努利提出的： 假设n是N次独立重复试验中事件A发生的次数，p是每一次试验中A发生的概率，那么，当N趋于无穷时，有 式中n表示发生次数，N表示试验总次数。...这是最早发现的大数定律之一。 掷硬币频率分布图 从表面概率看，这确实是场公平的游戏。但这种公平是有一定条件的。...大数定律讲究“大量重复的随机现象”，只有足够多次试验才能使得硬币正反面出现次数与总次数之比几乎等于1/2。可具体多少次才算“足够多”？才能够把它用在个人对赌上？ 没有人知道。...可投掷硬币次数越少，大数定律的身影就越模糊，可能10次中5正5反，也可能9正1反，也可能10正0反或0正10反…… 现实往往是，在远未达到“足够多”次试验时，你就已经输了个精光了。...设初始资金为100，硬币为正面时，收益为投注的2倍，为反面则失去投注金额。在下表中，我们模拟计算了10次赌局的收益情况。
频率统计检测一个事件（或者假设）是否发生，它通过长时间的试验计算某个事件发生的可能性（试验是在同等条件下进行的）。 在此处，使用固定大小的采样分布作为例子。...然后该实验理论上无限次重复的，但实际上是带着停止的意图的。例如当我脑海中带着停止的意图时，它重复1000次或者在掷硬币过程中我看到最少300词头在上的话，我将停止进行实验。...现在让我们进一步了解： 通过掷硬币的例子我们就会明白频率统计，目的是估计抛硬币的公平性，下表是代表抛硬币过程中头在上的次数： ? 我们知道在公平的掷硬币过程中得到一个头在上的那概率为0.5。...例如在掷硬币过程中，硬币的公平性 可以被定义为θ——表示硬币的参数。...它具有为0.1的标准偏差，约0.6的平均（μ）偏差。 然后 ，α= 13.8 ， β=9.2 假设你观察到80次头在上（z=80在100翻转中）（ N=100）。
为了计算一个事件发生的概率，我们要统计该事件发生（比如将硬币掷为正面朝上）的次数，并用它除以总试验次数。因此，概率会告诉我们，把一枚硬币掷为正面朝上或反面朝上的几率为 1/2。...从统计到概率 通过扔 10 次硬币并计算正面朝上的次数，我们可以获得数据。我们把这 10 次扔硬币的过程当做试验，而硬币正面朝上的次数将是数据点。...下面的代码分别模拟了 10 次、100 次、1000 次和 1000000 次试验，然后计算了正面朝上的平均频率。下图是对这一过程的总结。 ?...中心极限定理 在上一节中，我们展示了如果把掷硬币的试验重复十次，正面朝上的平均结果将接近理想的 50%。随着试验次数的增加，平均结果会越接近真实概率，即使个别试验本身并不完美。...这种想法或数学上称为依概收敛就是中心极限定理的一个关键原则。 在掷硬币的例子中，一次试验扔 10 次硬币，我们会估计每次试验正面朝上的次数为 5。
频率学派强调频率的“自然属性”，认为应该使用事件在重复试验中发生的频率作为事件发生的概率估计 贝叶斯学派认为事件是具有随机性的，随机性的 根源在于不同的人对事件的认知状态不同。...栗子：一个人掷硬币，迅速将硬币捂住，他本人是知道正面朝上，由近及远的3个人看到了模糊的信息，坐的越远，信息越少。...频率派：该硬币出现正、反的概率各是50% 贝叶斯派：掷硬币的人知道正面朝上的概率是100%，对离他最近的人来说是80%，最远的人是50% 贝叶斯决策论 行动空间A：实际工作中可能采取的各种行动所构成的集合...它是损失函数的期望 R(\theta,\delta)=EL(\theta,\delta(\hat X)) 先验分布：描述的是参数\theta在已知样本\hat X中的分布 平均风险：决策风险在先验分布下的期望...，反推最具有可能（最大概率）导致这些样本结果出现的模型参数值，属于统计问题。
EM算法的每次迭代分两步完成:E步，求期望(expectation)；M步，求极大值(maximization).所以这一算法称为期望极大算法，简称EM算法。(你看懂了吗？反正我第一次看是一脸懵。...(三硬币模型) 假设有A,B,C这些硬币正面出现的概率分别是π,p和q。...进行如下掷硬币试验:先掷硬币A，根据其结果选出硬币B或C，正面选硬币B，反面选硬币C；然后掷选出的硬币，掷硬币的结果出现正面记作1，出现反面记作0；独立重复n次试验(这里n=10),观测结果如下：1,1,0,1,0,0,1,0,1,1...假设只能看到掷硬币的结果，不能观测掷硬币的过程，问如何估计三硬币正面出现的概率，即三硬币的模型参数(即π,p和q)，求解这个模型参数的过程就是EM算法，也可以说是EM算法的目的就是求取这个模型的最大化参数...(硬币A出现的结果就是隐变量) 下图中红色问号就是一个隐变量，在整个过程中我们是看不到A的结果，我们只能看到最后红色1的结果，而我们现在要做的就是通过红色1的结果去求取A、B、C正面出现的概率。
根据这个定律知道，样本数量越多，则其平均就越趋近期望值。 大数定律很重要，因为它“保证”了一些随机事件的均值的长期稳定性。...人们发现，在重复试验中，随着试验次数的增加，事件发生的频率趋于一个稳定值；人们同时也发现，在对物理量的测量实践中，测定值的算术平均也具有稳定性。...比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下后哪一面朝上本来是偶然的，但当我们上抛硬币的次数足够多后，达到上万次甚至几十万几百万次以后，我们就会发现，硬币每一面向上的次数约占总次数的二分之一。...平均值在大样本的情况下，随机变量的均值依概率收敛到一个客观存在的数。这反映了平均值的稳定性。 ¶2.2 伯努利大数定律 一句话总结 ：频率，收敛于概率。...设u_n是n重伯努利试验中事件A发生的次数，在每次试验中A发生的概率为p，则 \dfrac{u_n}{n}\xrightarrow{P}p。
例如，如果你抛硬币 10 次，你能得到的正面数可以用一个数字表示。或者篮子里有多少苹果仍然是可数的。 连续随机变量 这些是不能以离散方式表示的值。...离散分布 伯努利分布 我们只有一个试验（只有一个观察结果）和两个可能的结果。例如，抛硬币。 我们有一个真的(1)的结果和一个假的(0)的结果。假设我们接受正面为真（我们可以选择正面为真或成功）。...例如，连续抛掷硬币。 试验是相互独立的。一个尝试的结果不会影响下一个。 二项式分布可以表示为 ， 。 是试验次数， 是成功的概率。 让我们进行一个实验，我们连续抛掷一枚公平的硬币 20 次。...: 成功的概率 : 实验次数 : 失败的概率 均匀分布 所有结果成功的概率相同。掷骰子，1 到 6。 掷 6 次。...data = np.random.uniform(1, 6, 6000) 掷 6000 次。 Poisson 分布 它是与事件在给定时间间隔内发生频率相关的分布。
频率学派 认为待估计参数是某个未知的常量，通过多次试验，统计事件发生的次数占总试验的比值，得到待估计参数的值。举例：估算投掷一枚均匀硬币获得正面的概率。...这种思想解决了频率学派试验中当试验次数过少而导致的试验偏差的问题，比如，投掷一枚匀质硬币5次，这5次都是正面朝上，根据频率学派观点，认为硬币投掷正面朝上的概率是P(正面朝上)=5/5=1，这显然是不符合常理的...举例： 现在定义事件A=(投掷一次硬币正面朝上)，B=(投掷5次硬币，5次朝上)。...(15,10)，这个分布的期望值是0.6。...从哲学的角度讲，频率学派认为概率是客观的，贝叶斯学派则在概率中加入了主观的因素。 在广告转化率预估的预测中，广告对应的历史转化率经常是一个重要的特征。
再回到掷硬币的例子中，如果你没有机会掷 1000 次这么多次，而是只掷了 3 次，可这 3 次又都是正面，那该怎么办？难道这个正面的概率就是 100% 了吗？这也是古典统计学的弊端。...我们知道，掷硬币这个事件是服从伯努利分布的 Ber(p) , n次的伯努利实验就是我们熟知的二项分布 Bin(n,p), 这里的p就是一个参数，原来我们在做实验之前，这个参数就已经存在了(可以理解为上帝已经定好了...)，我们抽样出很多的样本 x 是为了找出这个参数，我们上面所说的掷硬币的例子，由于我们掷了 1000 次有 492 次是正面，根据求期望的公式 n⋅p=μ (492就是我们的期望)可以得出参数 p 为...那么下面我们就通过不断掷硬币来看看，这个概率到是多少，贝叶斯过程如下： 从图中我们可以看出，0 次试验的时候就是我们的先验假设——均匀分布，然后掷了第一次是正面，于是概率分布倾向于 1，第二次又是正，...继续拿掷硬币的例子，这是一个二项试验 Bin(n,p)，所以其似然函数为: 在我们不知道情况时就先假设其先验分布为均匀分布 Uni(0,1)，即： 那现在根据贝叶斯公式求后验概率分布： 我们得到结果为
统计系列（二）常见的概率分布 离散概率分布 伯努利分布 背景：抛一次硬币，正面朝上的概率 定义：一次试验中，只有两种结果，成功（X=1）概率为p，失败（X=0）概率为1-p。定义为伯努利试验。...数学描述 图片 二项分布 背景 扔10次硬币，有3次正面朝上的概率 上了一学期的课，有10次迟到的概率 定义：n次伯努利试验中，成功k次的概率 数学描述 图片 多项分布 背景 掷10次骰子，...有3次6的概率 踢10场足球，A球队赢7负1平2的概率 定义：假设每次试验的结果有k种，且每种结果的概率为p1,p2,...pk。...重复n次试验，每种结果出现次数集合的概率（例如每种结果的次数分别为x1,x2..xk次） 数学描述 图片 几何分布 背景： 抛几次硬币能出现正面 考几次六级能通过 定义：几何分布由n次伯努利分布构成...，随机变量X表示第一次成功所进行试验的次数。
举例：比如，一次掷20个硬币，k个硬币正面朝上，k是随机变量，k的取值只能是自然数0，1，2，…，20，而不能取小数3.5、无理数√20，因而k是离散型随机变量。...几何分布 几何分布是离散型概率分布，其定义为：在n次伯努利试验中，试验k次才得到第一次成功的机率。即：前k-1次皆失败，第k次成功的概率。其概率分布函数为： ? ? 性质，这个需要记住： ? ?...二项分布 二项分布即重复n次伯努利试验，各次试验之间都相互独立，并且每次试验中只有两种可能的结果，而且这两种结果发生与否相互对立。...如果每次试验时，事件发生的概率为p，不发生的概率为1-p，则n次重复独立试验中发生k次的概率为： ? ? 性质： ?...其中： P表示概率，N表示某种函数关系，t表示时间，n表示数量，1小时内出生3个婴儿的概率，就表示为P(N(1) = 3) ；λ表示事件的频率。 还是以上面医院平均每小时出生3个婴儿为例，则 ?
因此，从EEG信号中准确提取N400波形具有重要意义。 N400的信噪比(SNR)非常差，这是由于N400的低振幅以及自发的脑电图活动和眼伪影的存在。...首先，由于N400成分具有锁相特性，可以分别从每个数据集中随机重采样获得一致波形和不一致波形，然后取平均值。从而使N400的差分波形具有更高的锁相分量信噪比。...重新采样平均差的试验数设为35，抽样数设为30。重测平均差重复100次。然后通过STPA对100个样本进行分析，得到空间滤波器、空间模式、时间-频率模式和ERP成分。...从上图可以看到，STPA提取的N400的空间模式与拓扑的空间分布相似。对于时域频率模式，在0–64 Hz范围内的时间频率系数表示时间频率分量非常稀疏。...N400时间演变分析 为了分析N400的时间演变，将每个受试者的数据集分为两组。第一组由实验中的前20个试验组成，第二组由后20个试验组成。从两组中提取ERPs。
再回到掷硬币的例子中，如果你没有机会掷 1000 次这么多次，而是只掷了 3 次，可这 3 次又都是正面，那该怎么办？难道这个正面的概率就是 100% 了吗？这也是古典统计学的弊端。...我们知道，掷硬币这个事件是服从伯努利分布的 Ber(p) , n次的伯努利实验就是我们熟知的二项分布 Bin(n,p), 这里的p就是一个参数，原来我们在做实验之前，这个参数就已经存在了(可以理解为上帝已经定好了...)，我们抽样出很多的样本 x 是为了找出这个参数，我们上面所说的掷硬币的例子，由于我们掷了 1000 次有 492 次是正面，根据求期望的公式 n⋅p=μ (492就是我们的期望)可以得出参数 p 为...那么下面我们就通过不断掷硬币来看看，这个概率到是多少，贝叶斯过程如下： 从图中我们可以看出，0 次试验的时候就是我们的先验假设——均匀分布，然后掷了第一次是正面，于是概率分布倾向于 1，第二次又是正，概率是...继续拿掷硬币的例子，这是一个二项试验 Bin(n,p)，所以其似然函数为: 在我们不知道情况时就先假设其先验分布为均匀分布 Uni(0,1)，即： 那现在根据贝叶斯公式求后验概率分布： 我们得到结果为:
它可以是任意值，这取决于你掷硬币的次数。 只有两种可能的结果，成功和失败。因此，成功的概率 = 0.5，失败的概率可以很容易地计算得到：q = p – 1 = 0.5。...如果在实验中成功的概率为0.2，则失败的概率可以很容易地计算得到 q = 1 - 0.2 = 0.8。 每一次尝试都是独立的，因为前一次投掷的结果不能决定或影响当前投掷的结果。...只有两个可能的结果并且重复n次的实验叫做二项式。二项分布的参数是n和p，其中n是试验的总数，p是每次试验成功的概率。 在上述说明的基础上，二项式分布的属性包括： 1. 每个试验都是独立的。 2....在试验中只有两个可能的结果：成功或失败。 3. 总共进行了n次相同的试验。 4. 所有试验成功和失败的概率是相同的。 （试验是一样的） 二项分布的数学表示由下式给出： ?...可以看出，随着平均值的增加，曲线向右移动。 泊松分布中X的均值和方差： 均值 -> E(X) = µ 方差 -> Var(X) = µ 指数分布 让我们再一次看看呼叫中心的那个例子。
它可以是任意值，这取决于你掷硬币的次数。 只有两种可能的结果，成功和失败。因此，成功的概率 = 0.5，失败的概率可以很容易地计算得到：q = p – 1 = 0.5。...如果在实验中成功的概率为0.2，则失败的概率可以很容易地计算得到 q = 1 – 0.2 = 0.8。 每一次尝试都是独立的，因为前一次投掷的结果不能决定或影响当前投掷的结果。...只有两个可能的结果并且重复n次的实验叫做二项式。二项分布的参数是n和p，其中n是试验的总数，p是每次试验成功的概率。 在上述说明的基础上，二项式分布的属性包括： 每个试验都是独立的。...在试验中只有两个可能的结果：成功或失败。 总共进行了n次相同的试验。 所有试验成功和失败的概率是相同的。...泊松分布中X的均值和方差： 均值 -> E(X) = µ 方差 -> Var(X) = µ 2.6、指数分布 让我们再一次看看呼叫中心的那个例子。不同呼叫之间的时间间隔是多少呢?
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