梯形公式（Trapezoidal Rule）： 梯形公式是最简单的数值积分方法之一，它基于使用梯形逼近曲线下的面积，其数学表达式为： \int_a^b f(x) \,dx \approx \frac...中点公式（Midpoint Rule）： 中点公式使用区间中点的函数值来逼近曲线下的面积，数学表达式为： \int_a^b f(x) \,dx \approx f\left(\frac{a+b}{2
数值计算方法 Chapter2. 数值微分和数值积分 1. 数值微分 1. 基础方法 2. 插值型数值微分 2. 数值积分 1. 插值型数值积分 2. Newton-Cotes积分 1....复化数值积分 1. 复化梯形积分 2. 复化Simpson积分 3. Romberg积分 1. 数值微分 1. 基础方法 数值微分本质上就是通过离散点来对未知的函数方程进行微分的数值求解。...数值积分 1. 插值型数值积分 插值型数值积分和上述插值型数值微分的思路是完全一致的，就是用插值函数来拟合未知曲线，然后用这个插值函数在对应空间上的积分值来近似未知函数的积分值。...Newton-Cotes积分 Newton-Cotes积分算是插值型数值积分中的一个特例。 他是说在积分区间里面等分各个位置，然后用这些等分的位置上的函数值进行插值最后进行函数的求解。 1....而这里的复化数值积分思路则与上述有所不同，它更接近于积分原本的定义，就是直接先对积分区间进行分段，然后在每一个区间段内进行近似积分求解，最后将他们的总和作为最终的数值积分结果。
数值计算方法 Chapter1. 插值 1. 定义 2. Lagrange插值 1. 定义 & 实现 2. 伪代码实现 3. 误差分析 3. Newton插值 1. 定义 & 实现 2....,xk−1] 更进一步的，我们可以给出书中列举出的关于差商的几个性质如下： 性质1.1： 阶差商 是由函数值 的线性组合而成，即：...给出书中的定义如下： 给定区间 上的 个节点 和这些点上的函数值 。
一、向量、矩阵范数与谱半径 【数值计算方法（黄明游）】解线性代数方程组的迭代法（一）：向量、矩阵范数与谱半径【理论到程序】 1.
常微分方程初值问题的数值积分法是一种通过数值方法求解给定初始条件下的常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODEs）的问题。 一、数值积分法 1....选择数值方法： 选择适当的数值方法来近似解（需要考虑精度、稳定性和计算效率），常见的数值方法包括欧拉方法、改进的欧拉方法、Runge-Kutta 方法等。...通常，较小的步长能够提高数值解的精度，但也增加计算成本。 数值迭代： 使用选定的数值方法进行迭代计算：根据选择的方法，计算下一个点的函数值，并更新解。...数值方法 欧拉方法（Euler Method）： 基本思想：根据微分方程的定义，使用离散步长逼近导数，进而逼近下一个点的函数值。...递推公式： 将上述近似公式改为等式，得到递推公式 y_{n+1} = y_n + hf(X_n, y_n) 这个公式是 Euler 方法的核心，通过这个公式可以逐步计算得到近似解的数值。
常微分方程初值问题的数值积分法是一种通过数值方法求解给定初始条件下的常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODEs）的问题。 一、数值积分法 1....选择数值方法： 选择适当的数值方法来近似解（需要考虑精度、稳定性和计算效率），常见的数值方法包括欧拉方法、改进的欧拉方法、Runge-Kutta 方法等。...通常，较小的步长能够提高数值解的精度，但也增加计算成本。 数值迭代： 使用选定的数值方法进行迭代计算：根据选择的方法，计算下一个点的函数值，并更新解。...数值方法 欧拉方法（Euler Method）： 基本思想：根据微分方程的定义，使用离散步长逼近导数，进而逼近下一个点的函数值。...向前欧拉法（前向欧拉法） 【计算方法与科学建模】常微分方程初值问题的数值积分法：欧拉方法（向前Euler及其python实现） 向前差商近似微商： 在节点 X_n 处，通过向前差商 \frac{
数值计算方法 Chapter8. 常微分方程的数值解 0. 问题描述 1. Euler公式 1. 向前Euler公式 2. 向后Euler公式 3. 梯形公式 2....常微分方程组的数值解法 1. 一阶常微分方程组的数值解法 2. 高阶微分方程数值方法 0....常微分方程组的数值解法 1....这类方程组的解法问题其实完全可以原模原样照搬常微分方程的数值解法，倒是也没啥必要详细展开就是了。...高阶微分方程数值方法 这里，我们再来考察一下一元高阶微分方程的数值解法。
插值（Interpolation） 指通过已知数据点之间的插值方法，来估计或推算出在这些数据点之间的数值。插值可以用于构建平滑的曲线或曲面，以便在数据点之间进行预测或补充缺失的数据。 2....插值条件： 对于给定的插值节点 x_0, x_1 和对应的函数值 y_0, y_1 ，线性插值要求插值多项式满足插值条件： P(x_0) = y_0 和 P(x_1) = y_1 。...插值条件： 对于给定的插值节点 x_0, x_1, x_2 和对应的函数值 y_0, y_1, y_2 ，抛物插值要求插值多项式满足插值条件： P(x_0) = y_0 ， P(x_1) = y_...插值条件： 对于给定的 n+1 个插值节点 x_0, x_1, \ldots, x_n 和对应的函数值 y_0, y_1, \ldots, y_n ， n 次插值要求插值多项式满足插值条件：
插值（Interpolation） 指通过已知数据点之间的插值方法，来估计或推算出在这些数据点之间的数值。插值可以用于构建平滑的曲线或曲面，以便在数据点之间进行预测或补充缺失的数据。 2.
Householder 矩阵和变换提供了一种有效的方式，通过反射变换将一个向量映射到一个标准的方向，这对于一些数值计算问题具有重要的意义。 ...数学表达式为： Hz = au + bv \rightarrow -au + bv 这个性质使得 Householder 变换在一些数值计算的应用中非常有用，例如 QR 分解等。 1.
过冷水前段时间做了一篇数值优化—三种复杂函数数值积分方法实例演示的推文，有读者反映: 既然要的是数值解，为何还使用符号解？能坐车进城，就决不骑摩托车。...复杂函数用数值积分函数quad(f(x),xmin,xmax)完美求解，perfect!...不巧的是疑难杂症都让过冷水碰上了,在原问题的基础上需要解决这么个问题: 之前求解的f(x)是数值解，没有函数表达式，不能再次使用int函数，更不可能用int(int(f(x)))求解，这是不合理的。...*rand(1,n);%设置随机点X轴范围； %arrayfun：将积分函数作用于每个变量中，输出一组值； %quad：求函数数值解； % y=arrayfun(@(x)(quad...在用函数近似替换和蒙特卡洛算法时，和数值积分是交叉使用的，为了使得程序运行简单还混用其它方法，来减少程序运行时间，说明在用Matalab解决一个复杂的问题时，会涉及到各方面知识，综合性很高，Matalab
乘幂法（Power Iteration）是线性代数中一种重要的数值计算方法，用于估计矩阵的最大特征值及其对应特征向量的迭代算法，广泛应用于许多科学和工程领域。 ...课后题 黄明游~《数值计算方法》 ~ P91 A_1 x1： [8 8 9] 第1次： 特征值max(x1)： 9 特征向量 y1： [0.8889 0.8889 1.
二、Lagrange插值 【数值计算方法（黄明游）】函数插值与曲线拟合（一）：Lagrange插值【理论到程序】 Lagrange插值是一种用于通过已知数据点构造一个多项式函数的方法，基于拉格朗日插值多项式的原理...- x_2)}{(x_1 - x_0)(x_1 - x_2)} + y_2 \frac{(x - x_0)(x - x_1)}{(x_2 - x_0)(x_2 - x_1)} 三、Newton插值 【数值计算方法...（黄明游）】函数插值与曲线拟合（二）：Newton插值【理论到程序】 四、三次 Hermite 插值 1....要求一个三次多项式 H(x) ，满足以下插值条件： H(x_0) = y_0 ，即在 x_0 节点上的函数值相等。 H'(x_0) = m_0 ，即在 x_1 节点上的导数值相等。...由于我们要求满足函数值和一阶导数值的条件，基函数的形式可以通过Lagrange插值多项式的导数来得到。 待完善…… 3.
数值计算方法 Chapter4. 非线性方程求根 0. 问题描述 1. 实根的对分法 2. 迭代法 3. Newton迭代法 4. 弦截法 0....问题描述 给定一个复杂方程 ，如果直接求解其解析解非常复杂或者难以求解的话，那么可以通过数值求解的方法得到一定精度条件下的数值解。 1.
Jacobi 旋转法的每一次迭代中，需要选择一个非对角元素最大的位置，然后构造相应的旋转矩阵，进行相似变换，使得矩阵逐渐对角化。
矩阵的范数是定义在矩阵空间上的实值函数，用于度量矩阵的大小或度量。对于一个矩阵
数值计算方法 Chapter3. 曲线拟合的最小二乘法 1. 线性拟合和二次拟合函数 1. 线性拟合 2. 二次拟合函数 3. 型函数 2. 解矛盾方程组 1.
注意事项 通过不断调整阈值并选择性地进行旋转变换，Jacobi 过关法逐渐减小非对角元素的绝对值，以达到更好的数值稳定性。
乘幂法（Power Iteration）是线性代数中一种重要的数值计算方法，用于估计矩阵的最大特征值及其对应特征向量的迭代算法，广泛应用于许多科学和工程领域。 ...【数值计算方法（黄明游）】矩阵特征值与特征向量的计算（一）：乘幂法【理论到程序】 二、乘幂法的加速 1. 天书 2....具体步骤 平移操作： 对给定的矩阵 A ，选择一个数值 \lambda ，构造新矩阵 B = A - \lambda I 。
数值计算方法 Chapter5. 解线性方程组的直接法 0. 问题描述 1. 消元法 1. 三角方程组 1. 对角方程组 2. 下三角方程组 3. 上三角方程组 2. Gauss消元法 3.
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