前言 EK算法是求网络最大流的最基础的算法，也是比较好理解的一种算法，利用它可以解决绝大多数最大流问题。...但是受到时间复杂度的限制，这种算法常常有TLE的风险 思想 还记得我们在介绍最大流的时候提到的求解思路么？ 对一张网络流图，每次找出它的最小的残量（能增广的量），对其进行增广。...没错，EK算法就是利用这种思想来解决问题的 实现 EK算法在实现时，需要对整张图遍历一边。 那我们如何进行遍历呢？BFS还是DFS？...int A[MAXN];//S到该节点的最小流量 inline int EK() { int ans=0;//最大流 while(true)//不停的找增广路 {...A[T]) break;//没有可以增广的路径，直接退出 for(int i=T;i!
本文简单实现了最短增广路径算法 首先我们简单实现 queue(队列) 数据结构 : local queue = {} queue....end end end return flow_net, residual_net end end 接着就是实际的算法实现了...,基本思路就是迭代查找可增广路径,并调整路径流量: function max_flow_net(define_net, src_node, dst_node) -- ill case handling
增广路径：残余网络中任何一条从s到t的有向道路都对应一条原图中的增广路径 —— 只要求出该道路中所有残量的最小值d ，把对应的所有边上的流量增加d 即可，这个过程称为增广。...最大流定理：如果残留网络上找不到增广路径，则当前流为最大流；反之，如果当前流不为最大流，则一定有增广路径。...这样的话，求解最大流就只需要在残余网络中寻找增广路，直到不存在可以从s流向t 的增广路，此时即为最大流。求解最大流问题的高效算法有 dinic,sap和isap。...我们今天讲最基础的FF算法与EK算法，他俩的区别在于一个是DFS找增广路，一个是BFS找增广路。后者高效一点。...如果队列不空，继续下一步，否则算法结束，找不到可增广路。当前的实流网络就是最大流网络，返回最大流值maxflow。 队头元素new 出队，在残余网络中检查new 的所有邻接结点i。
网络流看了两天，终于有了一点眉目，也拿模版A了道题目，通过对于模版代码的调试也真正了解了ek算法的用途了。 想好好写下总结都不让人顺心，写到一半网站死了，又得重新写。。...不说废话了，直接正题 首先要先清楚最大流的含义，就是说从源点到经过的所有路径的最终到达汇点的所有流量和 EK算法的核心 反复寻找源点s到汇点t之间的增广路径，若有，找出增广路径上每一段[容量-流量...在寻找增广路径时，可以用BFS来找，并且更新残留网络的值(涉及到反向边)。 而找到delta后，则使最大流值加上delta，更新为当前的最大流值。 ?...这么一个图，求源点1，到汇点4的最大流 由于我是通过模版真正理解ek的含义，所以先上代码，通过分析代码，来详细叙述ek算法 1 #include 2 #include <queue...这就是这个算法的精华部分，利用反向边，使程序有了一个后悔和改正的机会。而这个算法和我刚才给出的代码相比只多了一句话而已。 至此，最大流Edmond-Karp算法介绍完毕。
简介 最大流算法主要分为两大类，一类为增广路算法，一类为预流推进算法。最大流算法解决的是在有向网路图 中计算从源点 到汇点 的最大流量问题，以及最小割容量问题。...最小割最大流定理 最大流的值等于 的最小割容量。 2. 增广路算法 剩余容量 剩余容量 表示边 的容量与流量之差。...增广路 对于一个网络图 ，从图 G 中找到一条从源节点 到目标节点 的路径，且路径上所有边的剩余容量都大于 0 ，则这条路径称为增广路 。...可以看出，EK 算法存在以下明显不足： 一次 BFS 只增广一次，如果残量网络中还存在增广路则被浪费了 对于已经没有剩余容量的边，EK 算法仍然进行增广判断从而导致时间上的浪费 层次深度...Dinic 算法则巧妙解决了 EK 算法的不足之处： 一次 BFS 后使用 DFS 进行多次增广 DFS 多次增广过程中，对于已经没有容量的边，采用弧优化的方法巧妙避免重复增广判断 Dinic 算法的复杂度为
EK (Edmond-Karp) 算法 学习笔记 什么是EK算法 EK (Edmond-Karp) 算法，说白了就是求最大流/费用流之类的问题的算法。...从s到t经过若干个点，若干条边，每一条边的水流都不能超过边权值（可以小于等于但不能大于） （由于是来学EK算法的，最大流什么的详细解读就不说了） 例题 Luogu P3376 【模板】网络最大流 题意...思路 这是最大流的模板题，请往下阅读。 增广路 增广路定义 增广路是指从源点s到汇点t的一条路，流过这条路，可以使得当前的流可以增加。...如何求增广路 其实就是从源点s开始bfs即可，到达汇点t时，然后找到这个路径的权值的最小的边，然后把路径上的每一条边减去这个最小值即可。...());putchar('\n'); return 0; } EK算法拓展 费用流问题 Luogu P3381 【模板】最小费用最大流 Code #include #include
增广：即增加一条路径上的流量 增加一条路径的流量，即减少这条路径的当前流量上限，即f(u,v)的值 增广是我们求解最大流的基础 最大流 定义：在所有可行流中流量最大的流 那么我们如何求解这个东西呢？...以上图为例，如只是无脑增广的话，很可能对SABT这条边进行增广，而增广完这条边后，就再也没有可以增广的路径了，求出的最大流为$3$，下图为增广后的网络流图 ?...这样我们便又有了一条新的增广路SBAT，对这条路径进行增广后我们便可以得到网络最大流为5 考虑一下，为什么这样是对的？...看到这儿的同学，恭喜你们被带到坑里啦O(∩_∩)O哈哈~ 实现 我目前见过的最大流算法有以下几种 EK（最简单，比较慢） Dinic（最常见，性能良好） ISAP/SAP（也比较常见，性能很好） 最高标号预流推进...（因为第三种算法跑的比较快，所以可以用来抢排行榜$rank1$） 第四五六中算法建议大家理解其内涵，代码实现就无所谓了，因为基本用不到，不过学会了可以用来装13:joy: 另外，在书上看到过据说可以使用动态树优化最大流算法
前置知识 网络最大流入门 前言 Dinic在信息学奥赛中是一种最常用的求网络最大流的算法。 它凭借着思路直观，代码难度小，性能优越等优势，深受广大oier青睐 思想 Dinic算法属于增广路算法。...它的核心思想是：对于每一个点，对其所连的边进行增广，在增广的时候，每次增广“极大流” 这里有别于EK算法，EK算法是从边入手，而Dinic算法是从点入手 在增广的时候，对于一个点连出去的边都尝试进行增广...，即多路增广 Dinic算法还引入了分层图这一概念，即对于$i$号节点，用dis(i)表示它到源点的距离，并规定，一条边能够被增广，当且仅当它连接的两个点$u,v$满足：dis(v)=dis(u)+1，...Dinic算法的理论时间复杂度为 证明可以看这里 但是！...Dinic算法的性能在比赛中表现的非常优越。
寻找最短路径：使用最短路径算法（如Dijkstra或SPFA算法）确定一条从源点到汇点的费用最小的非饱和路径。 增广流量：沿这条路径增加流量，直到某条弧达到其容量上限或路径不再存在为止。...Dinic Algorithm: 主函数，重复调用 BFS 和 DFS 直到找不到新的增广路径。 这个示例展示了Dinic算法的核心部分，包括构建层次化图、寻找增广路径以及更新流量。...解决最小费用最大流问题通常结合最大流算法和费用最小化策略，如采用增广路径时同时考虑费用和流量的变化，以达到总费用和流量的双重优化。...最小费用最大流的求解也可以基于EK算法进行改进，该方法通过多次迭代，在最大流的前提下求解费用的最小值。 每次求出可行流时，当前的最小费用就是最小距离乘以最大流流量。...Goldberg提出的部分增广-重标号算法用于解决最大流问题和最短路径问题，这些算法也被引用于其他文献中。
Ford-Fulkerson方法通过不断地在残留网络中搜索出增广路径，并根据增广路径更新剩余容量的方式来寻找最大流。...每次增广的过程中，都会选择一条从源点到汇点的路径，然后将这条路径上的流量增加到当前的最大流中。随着可行流的不断增加，残留网络中的剩余容量也不断减少，直到找不到增广路径为止。...图5 搜索增广路径更新网络流量 根据我们上面证明过的最大流最小割定理，f是G中的一个最大流当且仅当其对应的残存网络中不包含任何的增广路径，如图6所示，当残存网络中没有增广路径时，就已经找到了一个最大流。...Edmonds-Karp 算法首先在残量网络上进行 BFS查找从源点到汇点的一条增广路径，然后根据增广路径更新流网络直到残存网络中没有增广路径为止。...Dinic算法 我们可以观察到，如图12所示，医生排班问题具有非常强的层次感，Dinic算法利用分层图的思想，在每一阶段搜索增广路径时只沿着分层图上深度逐渐加深的路径进行搜索。
＊ 内容提要： ＊什么是最大流问题 ＊求解最大流问题的算法 ＊两种增广路算法 1.什么是最大流问题 最大流问题(maximum flow problem)是一种组合优化问题，即讨论如何充分利用装置的能力...2.求解最大流问题的算法 ? 再次划重点记笔记！教科书上多只讲增广路算法！解决问题的算法不只一种，课本上篇幅有限，要想了解更多，还是要 自·己·学·操·作！！...(PS.致谢blog主人——大佬KirinBill~~~) 3.两种增广路算法 —增广路算法— ?...图2 残量网络与增广路算法 上面介绍了增广路解决最大流的思路，接下来我们介绍两种具体实现增广路方法的算法： — Edmonds-Karp 算法 ? — Dinic 算法 ? ? ?...算例演示 如上所示，我们输入的是第一个网络图，算法代码运行后的结果如第二个网络图所示，其中边上流量值如11/16，表示这条边的最大容量为16，而从s到t，这条边的路径能通过的最大流量为11。
最大网络流就是要寻找从节点s到节点t的能够取得的最大流量。 现在我们来理解网络最大流算法。前方高能，信息量会比较大 ? 。...也就是说这个路径被流f占用了。 5、增广路径：给定流网络G和流f，增广路径是指残存网络中一条从源结点s 到汇点t的简单路径（路径中不存在重复的顶点或边 ）。...对于增广路径1-2-3-4，从G中减去之后，1-2、2-3、3-4都为0，这时候就找不到增广路径了，加上反向流量后： ? 这时候就能找到1-3-2-4这条增广路径了。...算法思路整理： 1、每次迭代采用广度优先计算当前G的层次属性； 2、采用深度优先的方式来搜索所有的路径并计算出流f的值； 3、更新G（减去增广路径，计算反向流量）； 4、如果找不到增广路径，则当前流的和就是最大流...最大流的理解比较花时间，每个概念都可能产生误解，建议一边看代码一边理解最大流的算法思想。
跑到路径1->3->t上了，这样相当于让原先的流量转了个弯，的确高明。 简单来说，增广路径可以让原先跑错的流量反悔！推回到它该去的地方，如果不存在增广路径，则说明已经最优了。...证明的思路很简单，反证法，需要注意两点： 对于每一条增广路径，流量f会在原来的基础上加上增广路径的流量，处于不断递增的状态，不会出现递减。...《算法导论》P423告诉我们，当不存在增广路径时，存在一个最小割集，使得f(S,T)=c(S,T)f(S, T) = c(S, T)，即最小割集就是最大流。...有了这些性质，我们便可以利用BFS构造分层图了，它每次寻找增广路径时，都选取最短路径下的增广路径，也就是说限制了dfs的随意访问，限制条件： 满足：level[from] + 1 == level[to...]的顶点才能被用来寻找增广路径。
求最大流的标号算法最早由福特和福克逊与与1956年提出，20世纪50年代福特(Ford)、(Fulkerson)建立的“网络流理论”，是网络应用的重要组成成分。...三.增广路 ?...这样我们就得到了一个更大的流，他的流量是之前的流量+delta，而这条路就叫做增广路. From 网络流(Network Flow) 则我们称这条路径为一条增广路径，简称增广路。...好了，弄懂了一些定义，接下来就可以介绍著名的Ford-Fulkerson算法了。 ?...既然这样，我们的思路就是： 1.找出一条增广路径 ——2.修改其上点的值——3.继续重复1，直至找不出增广路。则此时源点的汇出量即为所求的最大流。 ? ? ? ? ?
吐槽 这个算法。。 怎么说........ 学来也就是装装13吧。。。。...长得比EK丑 跑的比EK慢 写着比EK难 思想 大家先来猜一下这个算法的思想吧:joy: 看看人家的名字——最高标号预留推进 多么高端大气上档次2333333咳咳 从它的名字中我们可以看出，它的核心思想是...—推进，而不是找增广路 那么它是怎么实现推进的呢？...那么推到最后，我们就可以得到到达汇点的最大流量 不过可能会出现一种情况，就是A送流量给B，B觉得不好意思不想要，于是又推给A，A非常热情便又推给B……直到推到TLE为止。。那怎么解决这种情况呢？...另外还有一个比较显然的优化，如果一个高度i是不存在的，即图中没有高度为i的点，那么从比高的点一定不会走到汇点T，因为根据我们的限制条件，必须要经过高度为i的点，于是这些点就没有用了 代码 题目在这儿 不是我说，这个算法真的是死慢死慢的
因为接下来要讲的匈牙利算法就是去寻找增广路而求出最大匹配数的(一句废话)，对于求二分图最大匹配的算法可以用网络流去跑一个最大流求解，还可以用二分图的常见算法匈牙利算法(Hungarian Algorithm...)，这里我就只讲一下匈牙利算法，这个算法的核心就是去找未匹配的点，然后从这个点出发去寻找增广路，因为增广路有几个主要的特点： 1. ...增广路有奇数条边 。 2. 路径上的点一定是一个在X边，一个在Y边，交错出现。 3. 起点和终点都是目前还没有配对的点。 4. ...： 对于匈牙利算法来说它虽然是最简单最常见的求最大匹配数的算法，但是它的时间复杂度是O(n*m)，对于一般的题来说最多有500个点，所以匈牙利是最好的做法，但是有些题就很变态，比如：HDU...这个算法主要是对匈牙利算法进行了优化，匈牙利是依次去遍历点和边，而HK算法是用bfs同时去寻找多条增广路，然后寻找到了极大增广路集，然后再用匈牙利算法的dfs去对增广路集进行增广，直接上呆码吧，可以当板子用
一个最简单的例子就是，零流，即所有的流量都是0的流。...(4).当找不到增广路的时候，当前的流量就是最大流，这个结论非常重要。...在做增广路时可能会阻塞后面的增广路，或者说，做增广路本来是有个顺序才能找完最大流的。 但我们是任意找的，为了修正，就每次将流量加在了反向弧上，让后面的流能够进行自我调整。...但是， 这个答案明显不是最大流，因为我们可以同时走1-2-4和1-3-4，这样可以得到流量为2的流。 那么我们刚刚的算法问题在哪里呢？...这时再找增广路的时候，就会找到1-3-2-4这条可增广量，即delta值为1的可增广路。将这条路增广之后，得到了最大流2。 ? 那么，这么做为什么会是对的呢？
刷了一天最大流的题，都快刷晕了，， 简单总结几个模型吧。...大部分内容来自学姐的PPT 拆点 一个非常有用的思想 限流 将对点的限制转化为对边的限制 点的合并 这个还没看到 最小割 最小割==最大流 一条增广路中，必有一条边满流，满流的流量即为这条增广路的流量...删去一些边使源汇不连通即阻断所有的增广路，代价之和即为最大流。 最大流=最小割 你能想到什么？...凭直觉，看经验 最大流，每条增广路流量实际上是增广路上的最小流量 INF边 不会割掉不合法方案 使不合法方案经过inf边，从而保证割出的方案合法 对偶图 还没看 点覆盖集 点覆盖集是无向图 的一个点集...最小路径覆盖就是最少的路径条数的路径覆盖。 ?
Sample Input 6 3 3 Sample Output 3 匈牙利算法： 算法的核心就是根据一个初始匹配不停的找增广路，直到没有增广路为止。...匈牙利算法的本质实际上和基于增广路特性的最大流算法还是相似的，只需要注意两点： （一）每个X节点都最多做一次增广路的起点； （二）如果一个Y节点已经匹配了，那么增广路到这儿的时候唯一的路径是走到Y节点的匹配点...匈牙利算法的基本模式： 1、 初始时最大匹配为空 2、 while （找得到增广路径） 3、 do 把增广路径加入到最大匹配中。...如果二分图的左半边一共有n个点，最多找n条增广路径，如果图中有m条边，每一条增广路径把所有边遍历一遍，所以时间复杂度为O（n*m）; 算法思想： 算法的思路是不停的找增广轨, 并增加匹配的个数,增广轨顾名思义是指一条可以使匹配数变多的路径...,但是匹配数增加了一对.另外,单独的一条连接两个未匹配点的边显然也是交错轨.可以证明, 当不能再找到增广轨时,就得到了一个 最大匹配.这也就是匈牙利算法的思路。
如果想要达到这种境界，我们可以写一个人工智能的学习算法，但是注意了，这是竞赛，是来搞笑的不是来毁灭人类的哈哈哈哈 于是有一种最easy的方法就是引入一个反向边的概念（怎么引入这么多概念），即每一条边（u...（1，2，3，4），然后图就该变成这样 然后我们继续dfs，把反向边也当作可走的边dfs，然后得到了增广路（1，3，2，4） 然后图就成了这样 最大流为2 仔细观察可以发现，上图其实和我们直接dfs...（1，2，3，4）的流量“交付”给了（1，3），于是就有了两条路（1，2，4）和（1，3，4） 这就是其奥妙所在 于是这个算法框架就此浮出水面： 先标深度再用dfs找一次增广路然后再bfs标深度在dfs...那么他既然要求最小花费，我们不妨把这个最小花费看成边的权值，构建一个图用最短路算法来找到源点到各个点的最短距离 找到这个数据之后，我们就可以沿着最短路来进行增广，即在最短路中求到一条可行路然后修改其残量...，我们可以保证其为最大流中的一部分的最小花费 不断的进行增广直到我们找到了全部值，然后得解，这就是将dinic和spfa结合起来的求解最小费用最大流问题的方法 具体代码如下 (luoguP3381)
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