本文转自煎蛋网(jiandan.com),作者@Junius 掉节操的星期一又来了,所以呢一起来观赏一下数学之骚美。 这事儿和17世纪的一道谜题有关,直到后来微积分被建立起来以后才得正解。虽然问题不难,但结果惊艳。 我先来问一个比较「二」的问题: 两点之间最短的路径是什么? 喏,别猜疑我是在逗你们,或拿非欧几何抖机灵,真心希望你们两手一摊就说是一条直线。 ◆ ◆ ◆ 铁线上的珠子 现在我们来看一下这次节目我们要探讨的问题: 如果AB两点是在空间中垂直放置的,那么这两点之间的最快路径是什么? 举几个图,如果
“想象一个小球,仅受重力,从点 A 出发沿着一条没有摩擦的斜坡滚至点 B。怎样设计这条斜坡,才能让小球在最短的时间内到达点 B?”
1. 前言 熟悉机器学习的童鞋都知道,优化方法是其中一个非常重要的话题,最常见的情形就是利用目标函数的导数通过多次迭代来求解无约束最优化问题。实现简单,coding 方便,是训练模型的必备利器之一。这篇文章主要总结一下使用导数的最优化方法的几个基本方法,梳理相关的数学知识,本人也是一边写一边学,如有问题,欢迎指正,共同学习,一起进步。 2. 几个数学概念 1) 梯度(一阶导数) 考虑一座在 (x1, x2) 点高度是 f(x1, x2) 的山。那么,某一点的梯度方向是在该点坡度最陡的方向,而梯度的大小告诉我
1 梯度 1.1 定义 梯度:是一个矢量,其方向上的方向导数最大,其大小正好是此最大方向导数。 关于梯度的更多介绍请看:如何直观形象的理解方向导数与梯度以及它们之间的关系? 1.2 计算 一个
【导读】在本文中,作者对常用的三种机器学习优化算法(牛顿法、梯度下降法、最速下降法)进行了介绍和比较,并结合算法的数学原理和实际案例给出了优化算法选择的一些建议。
本文来探讨 Power BI 中原生平滑曲线的实现。这要借助一些成熟的数学算法,我们并不打算研究这些数学算法的具体细节,而是仅仅给出 DAX 实现以及对比。
逻辑回归(Logistic Regression, LR)是传统机器学习中的一种分类模型,由于算法的简单和高效,在实际中应用非常广泛。它的起源非常复杂,可以看参考引用1。具体应用实践可以看这里。
一直以来非常陌生但却被知乎在最优化神坛上奉为圭臬的一个方法就是变分法,也成为了一大批数学类专业学生分析解决问题的利器,下面我将用比较简单的话术来解释这个比较抽象又比较实用的方法,一步步推导至揭开它的神秘面纱
我们要求其最小值,当然是对目标函数进行求导,但通常目标函数是非线性的,因此我们需要通过以下步骤对目标函数进行求解:
偏导数刻画了函数沿坐标轴方向的变化率,但有些时候还不能满足实际需求。为了研究函数沿着任意方向的变化率,就需要用到方向导数。
在上一节,我们简单的介绍了数值优化中线搜索方法的思想和步长条件。那么这一节,我们更多的开始关注这些步长条件的理论性质,学优化最忌知其然,不知其所以然,所以我们需要我们帮助我们理解为什么给定的步长条件可以导出的一些好的,有助于优化的收敛性。
《机器学习与应用》由清华大学出版社出版,是机器学习和深度学习领域又一高质量的入门与提高教材。该书系统、深入地讲述了机器学习与深度学习的主要方法与理论,并紧密结合工程实践与应用。
格雷格·布雷登(Gregg Branden)在《无量之网》中谈到了“灵魂暗夜”这一概念,这位被认为“在古老智慧和现代科技、疗愈与和平之间架设桥梁的权威人士”在其作品中将“反映灵魂暗夜”诠释为“来自自身的信息”的第四种写照。
梯度下降算法的公式非常简单,”沿着梯度的反方向(坡度最陡)“是我们日常经验得到的,其本质的原因到底是什么呢?为什么局部下降最快的方向就是梯度的负方向呢?也许很多朋友还不太清楚。没关系,接下来我将以通俗的语言来详细解释梯度下降算法公式的数学推导过程。
之所以会觉得数学不重要,是因为在工作中没有哪行代码会明确表示用了数学中的哪个公式。
在机器学习中,有很多的问题并没有解析形式的解,或者有解析形式的解但是计算量很大(譬如,超定问题的最小二乘解),对于此类问题,通常我们会选择采用一种迭代的优化方式进行求解。
在确定了可优化二次型的类型后,本文讨论二次型的优化方法。 当前问题 解方程\bf{Ax}=\bf{b} 其中\bf{A}为半正定矩阵 \bf{A}的秩与其增广矩阵\bf{Ab}的秩相等 优化方法 代数法 高斯消元法 数学上,高斯消元法(或译:高斯消去法),是线性代数规划中的一个算法,可用来为线性方程组求解。但其算法十分复杂,不常用于加减消元法,求出矩阵的秩,以及求出可逆方阵的逆矩阵。 在\bf{A}的行列式不为0时,可以逐项消除半边系数,得到三角阵,计算得到x_n再逐步带入计算出其他
优化问题一般可分为两大类:无约束优化问题和约束优化问题,约束优化问题又可分为含等式约束优化问题和含不等式约束优化问题。
SGD是最速梯度下降法的变种。使用最速梯度下降法,将进行N次迭代,直到目标函数收敛,或者到达某个既定的收敛界限。每次迭代都将对m个样本进行计算,计算量大。为了简便计算,SGD每次迭代仅对一个样本计算梯度,直到收敛。伪代码如下(以下仅为一个loop,实际上可以有多个这样的loop,直到收敛):
上一节笔记传送门:https://zhuanlan.zhihu.com/p/121001066
我们每个人都会在我们的生活或者工作中遇到各种各样的最优化问题,比如每个企业和个人都要考虑的一个问题“在一定成本下,如何使利润最大化”等。最优化方法是一种数学方法,它是研究在给定约束之下如何寻求某些因素(的量),以使某一(或某些)指标达到最优的一些学科的总称。随着学习的深入,博主越来越发现最优化方法的重要性,学习和工作中遇到的大多问题都可以建模成一种最优化模型进行求解,比如我们现在学习的机器学习算法,大部分的机器学习算法的本质都是建立优化模型,通过最优化方法对目标函数(或损失函数)进行优化,从而训练出最好的模型。常见的最优化方法有梯度下降法、牛顿法和拟牛顿法、共轭梯度法等等。
https://www.cnblogs.com/maybe2030/p/4751804.html
特征工程,顾名思义,是对原始数据进行一系列工程处理,将其提炼为特征,作为输入供算法和模型使用。从本质上来讲,特征工程是一个表示和展现数 据的过程。在实际工作中,特征工程旨在去除原始数据中的杂质和冗余,设计更高效的特征以刻画求解的问题与预测模型之间的关系。
首先谈一下应用场景——在拟合的时候进行应用 什么是拟合?你有一堆数据点,我有一个函数,但是这个函数的很多参数是未知的,我只知道你的这些数据点都在我的函数上,因此我可以用你的数据点来求我的函数的未知参数。例如:matlab中的fit函数 最小二乘法天生就是用来求拟合的,看函数和数据点的逼近关系。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配进行求解。
强非线性函数往往倾向于非常大或非常小幅度的梯度。这导致的困难是,当参数梯度非常大时,梯度下降的参数更新可以将参数抛出很远,进入目标函数较大的区域,到达当前解所做的努力变成了无用功。梯度告诉我们,围绕当前参数的无穷小区域内最速下降的方向,这个无穷小区域之外,代价函数可能开始沿曲线背面而上。更新必须被选择为足够小,以避免过分穿越向上的曲面。我们通常使用衰减足够慢的学习率,使连续的步骤具有大致相同的学习率。适合于一个相对线性的地形部分的步长经常在下一步进入地形中更加弯曲的部分时变得不适合,会导致上坡运动。
是关于Θ的一个函数,我们当前所处的位置为Θ0点,要从这个点走到J的最小值点\nabla 是梯度,\alpha是学习率或者步长
在一般问题的优化中,最速下降法和共轭梯度法都是非常有用的经典方法,但最速下降法往往以”之”字形下降,速度较慢,不能很快的达到最优值,共轭梯度法则优于最速下降法,在前面的某个文章中,我们给出了牛顿法和最速下降法的比较,牛顿法需要初值点在最优点附近,条件较为苛刻。
决策树算法 根据数据属性,采用树状结构建立决策模型。常用来解决分类和回归问题。 常见算法:CART(Classification And Regression Tree),ID3,C4.5,随机森林等 回归算法 对连续值预测,如逻辑回归LR等 分类算法 对离散值预测,事前已经知道分类,如k-近邻算法 聚类算法 对离散值预测,事前对分类未知,如k-means算法 神经网络 模拟生物神经网络,可以用来解决分类和回归问题 感知器神经网络(Perceptron Neural Network) ,反向传递(Back Propagation)和深度学习(DL) 集成算法 集成几种学习模型进行学习,将最终预测结果进行汇总 Boosting、Bagging、AdaBoost、随机森林 (Random Forest) 等
无论怎样,看完这一组动图,你不仅能够感受到数学美丽的一面,同时也会对我们常见的公式定理有更深刻、直观的理解!
逻辑回归(Logistic Regression)是机器学习中的一种分类模型,由于算法的简单和高效,在实际中应用非常广泛。本文作为美团机器学习InAction系列中的一篇,主要关注逻辑回归算法的数学模型和参数求解方法,最后也会简单讨论下逻辑回归和贝叶斯分类的关系,以及在多分类问题上的推广。 逻辑回归 问题 实际工作中,我们可能会遇到如下问题: 1. 预测一个用户是否点击特定的商品 2. 判断用户的性别 3. 预测用户是否会购买给定的品类 4. 判断一条评论是正面的还是负面的 这些都可以看做是分类问题,更准确
小编邀请您,先思考: 1 逻辑回归算法的原理是什么? 2 逻辑回归算法的有哪些应用? 逻辑回归(Logistic Regression)是机器学习中的一种分类模型,由于算法的简单和高效,在实际中应用非常广泛。本文作为美团机器学习InAction系列中的一篇,主要关注逻辑回归算法的数学模型和参数求解方法,最后也会简单讨论下逻辑回归和贝叶斯分类的关系,以及在多分类问题上的推广。 逻辑回归 问题 实际工作中,我们可能会遇到如下问题: 预测一个用户是否点击特定的商品 判断用户的性别 预测用户是否会购买给定的品类
摘自《数值最优化方法》 \qquad 已知 设步长为 α \alpha α,下降方向为 d d d, f ( x k + α d ) f(x_{k}+\alpha d) f(xk+αd)在 x k x_{k} xk的 T a y l o r Taylor Taylor展示为 f ( x k + 1 ) = f ( x k + α d ) = f ( x k ) + α g k T d + O ( ∣ ∣ α d ∣ ∣ 2 ) f(x_{k+1})=f(x_{k}+\alpha d)=f(x_{k})+\alpha g_{k}^{T}d+O(||\alpha d||^{2}) f(xk+1)=f(xk+αd)=f(xk)+αgkTd+O(∣∣αd∣∣2)为使函数值下降,下降方向满足 g k T d < 0 g_{k}^{T}d<0 gkTd<0 \qquad 收敛性和收敛速度 收敛性 算法产生的点阵 { x k } \{x_{k}\} { xk}在某种范数 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ ||\cdot|| ∣∣⋅∣∣意义下满足 l i m k → ∞ ∣ ∣ x k − x ∗ ∣ ∣ = 0 \mathop{lim}\limits_{k\to\infty}||x_{k}-x^{*}||=0 k→∞lim∣∣xk−x∗∣∣=0称算法是收敛的,当从任意初始点出发时,都能收敛到 x ∗ x^{*} x∗称为具有全局收敛性,仅当初始点与 x ∗ x_{*} x∗充分接近时才能收敛到 x ∗ x^{*} x∗称算法具有局部收敛性。 \qquad 收敛速度(已知收敛):若 l i m k → ∞ ∣ ∣ x k + 1 − x ∗ ∣ ∣ ∣ ∣ x k − x ∗ ∣ ∣ = a \mathop{lim}\limits_{k\to\infty}\frac{||x_{k+1}-x^{*}||}{||x_{k}-x^{*}||}=a k→∞lim∣∣xk−x∗∣∣∣∣xk+1−x∗∣∣=a \qquad 当 0 < a < 1 0<a<1 0<a<1时,迭代点列 { x k } \{x_{k}\} { xk}的收敛速度是线性的,这时算法称为线性收敛。当 a = 0 a=0 a=0时, { x k } \{x_{k}\} { xk}的收敛速度是超线性的,称为超线性收敛。 \qquad 二阶收敛:若 l i m k → ∞ ∣ ∣ x k + 1 − x ∗ ∣ ∣ ∣ ∣ x k − x ∗ ∣ ∣ 2 = a \mathop{lim}\limits_{k\to\infty}\frac{||x_{k+1}-x^{*}||}{||x_{k}-x^{*}||^{2}}=a k→∞lim∣∣xk−x∗∣∣2∣∣xk+1−x∗∣∣=a \qquad a a a为任意常数,迭代点列 { x k } \{x_{k}\} { xk}的收敛速度是二阶的,这时算法称为二阶收敛。超线性收敛和二阶收敛的收敛速度较快,是理想的收敛速度。 \qquad 负梯度法和牛顿 ( N e w t o n ) (Newton) (Newton)型方法 N e w t o n Newton Newton型方法特殊情形的一种负梯度方法—最速下降法。首先下降方向满足 g k T d < 0 g_{k}^{T}d<0 gkTd<0,为使 ∣ g k d ∣ |g_{k}d| ∣gkd∣达到最大值,则由 C a u c h y − S c h w a r z Cauchy-Schwarz Cauchy−Schwarz不等式 ∣ g k T d ∣ ≤ ∣ ∣ g k ∣ ∣ ∣ ∣ d ∣ ∣ |g_{k}^{T}d|\leq||g_{k}||||d|| ∣gkTd∣≤∣∣gk∣∣∣∣d∣∣知当且仅当 d = d k = − g k / ∣ ∣ g k ∣ ∣ d=d_{k}=-g_{k}/||g_{k}|| d=dk=−gk/∣∣gk∣∣时,等式成立, g k T d g_{k}^{T}d gkTd达到最小。考虑在 d k d_{k} dk方向上的步长,取其负梯度方向即 d k = − g k d_{k}=-g_{k} dk=−gk。 \qquad 收敛性分析 1. 给定 G G G度量下的范数定义,给出 K a n t o r o v i c h Kantorovich Kantorovich不等式。定义 设 G ∈ R n × n G\in\mathbb{R}^{n\times n} G∈Rn×n对称正定, u , v ∈ R n u,v\in\mathbb{R}^{n} u,v∈Rn则 u u u与 v v
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一、现在关于自抗扰控制技术方面的研究已经比较成熟了,基本上熟悉结构以后都可以找到例子实现,今天以一个简单的例子来介绍自抗扰控制的仿真系统搭建,不必畏惧,熟悉皆可达。 1.首先自抗扰控制分为TD(跟踪微分器),非线性组合,ESO扩张状态观测器。而每部分的公式推导均可在《自抗扰控制技术-估计补偿不确定因素的控制技术》这本书中找到,很推荐,如果有些不了解的地方也可以搜索韩老师的论文看看。
BP(Back Propagation)神经网络是1986年由以Rumelhart和McCelland为首的科学家小组提出的,是一种按误差逆传播算法训练的多层前馈网络,是目前应用最广泛的神经网络模型之一。BP网络能学习和存储大量的输入/输出因施工和关系,而无需事前揭示描述这种映射关系的数学方程。它的学习规则是使用最速下降法,通过反向传播来不断调整网络的权值和阈值,使网络的误差平方和最小。BP神经网络模型拓扑结构包括输入层(input)、隐层(hidden layer)和输出层(output layer)。
设\bf{A}为n阶实对称正定矩阵,如果有两个n维列向量\bf{s}_1和\bf{s}_2满足
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【新智元导读】用于训练深度神经网络的反向传播(BP)算法,在生物学上不具有合理性。本研究提出了一种生物学上合理的计算机认知模型,并继而提出了双向反馈比对(bidirectional feedback alignment,BFA)和双向直接反馈比对(bidirectional direct feedback alignment,BDFA)模型,分别用针对前向和后向进程的两组可训练权重连接神经元。初步结果表明,研究提出的模型在 MNIST 和 CIFAR-10 数据集上优于其他和BP类似的不对称方法。 反向传
一、学习R语言AMORE包中的newff函数 这是个前馈神经网络工具包,类似的还有nnet,RSNNS等。AMORE比nnet参数要丰富一些。AMORE用来构建前馈神经网络的函数是newff. newff(n.neurons, learning.rate.global, momentum.global, error.criterium, Stao, hidden.layer, output.layer, method) 其中。n.neurons是个数值向量,包含在每个层的神经元的数目。第一
本文实例讲述了PHP实现的贪婪算法。分享给大家供大家参考,具体如下: 背景介绍:贪婪算法与数据结构知识库算法可以说是离我们生活最近的一种算法,人总是贪婪的嘛,所以这种算法的设计是很符合人性的。之所以这么说,是因为人们会在生活中有意无意的使用贪婪算法来解决问题。最常见的就是找零钱了,每个人都没学过该怎么找零钱,但在所有面额的钱都充足时,每个人都会找出同样组合来凑够需要的钱。其实这里面就是贪婪算法在起作用。 设计思路:贪婪法的设计思路可以从两方面来理解,即直观上和数学上。从直观上理解贪婪算法就是用最快的方法来解决问题。在这里面“快”是主要目标,例如上面找零钱的例子,假如你要找的零钱为6.6元。那首先要拿一张5元的,因为这可以使你凑的钱增长最快。如果人民币有6元的面额那你肯定会选6元的而不是拿两张别的来凑6元;从数学上来理解贪婪算法就是在做判断时以当前最优解为目标,类似于最优化中的最速下降法。这种方法的好处是解题速度极快,基本上是一次历遍就可以完成。 算法缺陷:正如做人不能太贪婪一样,贪婪算法本身有着致命的缺陷,这使得其应用背景收到了很多限制。因为算法是取的局部最优解,没有考虑以后的问题。这就像一个自私自利的人一样,虽然短时间内可以获得一些利益,但长期以往,很难会有大的成就。当然,社会很复杂,也许会有人一直自私下去而生活的还不错。这体现在算法上就是在一些情况下(具体下面会提到),贪婪算法是可以得到最优解的,这对于算法设计来说当然是好事。
常用机器学习算法汇总比较的最后一篇,介绍提升(Boosting)算法、GBDT、优化算法和卷积神经网络的基本原理、优缺点。
我们已经探讨了观测模型 X为旋转+平移,h为相机观测模型 ,但可以求解 eg.从最大似然到最小二乘 直观的解释 由于噪声的存在,当我们把估计的轨迹与地图代入SLAM的运动
转载说明:CSDN的博主poson在他的博文《机器学习的最优化问题》中指出“机器学习中的大多数问题可以归结为最优化问题”。我对机器学习的各种方法了解得不够全面,本文试图从凸优化的角度说起,简单介绍其基本理论和在机器学习算法中的应用。
参数中:V(t)是目标值h、h0为积分步长,一般来说h可以等于h0,但是为了减少超调和减少震荡,才把他们分开,一般h0比h大,比如大20倍。当h0较大时,能够明显减少震荡,所以也叫滤波因子。减小h可以抑制噪声放大作用。r为速度因子,值越大,逼近速度越快,但是最好根据实际被控对象的可承受能力而定。 表达式中:其中fhan函数第一种表达式为:
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