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    4.算法设计与分析__动态规划

    一、动态规划的基本思想 动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。 在这类问题中,可能会有许多可行解。 每一个解都对应于一个值,我们希望找到具有最优值的解。 基本思想是将待求解问题分解成若干个子问题,先求解子问题,然后从这些子问题的解得到原问题的解。 适合于用动态规划求解的问题,经分解得到子问题往往不是互相独立的。若用分治法来解这类问题,则分解得到的子问题数目太多,有些子问题被重复计算了很多次。 如果我们能够保存已解决的子问题的答案,而在需要时再找出已求得的答案,这样就可以避免大量的重复计算,节省时间。 我们可以用一个表来记录所有已解的子问题的答案。不管该子问题以后是否被用到,只要它被计算过,就将其结果填入表中。 这就是动态规划法的基本思路。 具体的动态规划算法多种多样,但它们具有相同的填表格式。 二、设计动态规划法的步骤 找出最优解的性质,并刻画其结构特征; 递归地定义最优值(写出动态规划方程); 以自底向上的方式计算出最优值; 根据计算最优值时得到的信息,构造一个最优解。 步骤1~3是动态规划算法的基本步骤。 在只需要求出最优值的情形,步骤4可以省略; 若需要求出问题的一个最优解,则必须执行步骤4。 三、动态规划问题的特征 动态规划算法的有效性依赖于问题本身所具有的两个重要性质: 最优子结构: 当问题的最优解包含了其子问题的最优解时,称该问题具有最优子结构性质。 重叠子问题: 在用递归算法自顶向下解问题时,每次产生的子问题并不总是新问题,有些子问题被反复计算多次。动态规划算法正是利用了这种子问题的重叠性质,对每一个子问题只解一次,而后将其解保存在一个表格中,在以后尽可能多地利用这些子问题的解。

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