有没有一种程序可以利用矩阵的赫米性来使矩阵-向量乘法更快？

是的，有一种程序可以利用矩阵的赫米性来加速矩阵-向量乘法，这种程序被称为共轭梯度法（Conjugate Gradient Method）。

共轭梯度法是一种迭代算法，用于求解对称正定矩阵的线性方程组。它利用了矩阵的赫米性质，即对于一个对称矩阵A，有A^H = A，其中A^H表示A的共轭转置。这个性质使得共轭梯度法能够更高效地进行矩阵-向量乘法。

共轭梯度法的优势在于它的收敛速度相对较快，并且不需要存储整个矩阵，只需要存储向量和一些中间结果。这使得它在处理大规模矩阵时非常高效。

共轭梯度法在科学计算、图像处理、信号处理等领域有广泛的应用。在云计算领域，共轭梯度法可以用于解决大规模数据分析、机器学习、图像处理等问题。

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线性代数的历史

他定义了矩阵的加法和乘法，定义了矩阵与实数或复数的数乘。他引入了单位矩阵和方阵的逆矩阵，并把逆矩阵用于求解 n \times n 方程组。...“Frobenius 的论文代表了矩阵论历史上的一个重要转折点，他首次把柯西，雅克比，魏尔斯特拉斯，克罗内克的谱理论与爱森斯坦，厄米特和凯莱的符号化传统结合在一起。”...这些著作里把复数表示为平面内的点或有向线段。1835 年哈密尔顿把复数定义为有序实数对，上面有加法、乘法和数乘。他注意到有序实数对运算有封闭性，满足交换和分配律，有零元，加法和乘法有逆元。...皮亚诺也定义了线性代数的其他概念，包括维数，线性变换，并证明了一系列定理。例如，他把向量空间的维数定义为线性无关元的最大数目，证明了 n 维向量空间内任意 n 个线性无关的元可以作为一组基。...1920 年巴拿赫在博士论文里公理化定义了完备线性赋范空间（巴拿赫空间），其中前 13 条公理就是向量空间的定义。

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1) , 可以不断的调整 ?0 和 ?1 , 来使得 ?(?0,?1) , 直到 ?(?0,?...1 2 print ("a: \n",a) print ("3*a: \n",3* a) #矩阵标量乘法向量乘法 m×n 的矩阵乘以 n×1 的向量，得到的是 m×1 的向量 1 2 3 4 import...在矩阵的乘法中，有一种矩阵起着特殊的作用，如同数的乘法中的 1,我们称这种矩阵为单位矩阵．它是个方阵，一般用 I 或者 E 表示，本讲义都用 I 代表单位矩阵，从左上角到右下角的对角线（称为主对角线）上的元素均为...) - y), 2) return np.sum(inner) / (2 * len(X)) 梯度下降 - 特征缩放在我们面对多维特征问题的时候，我们要保证这些特征都具有相近的尺度，这可以帮助梯度下降算法更快地收敛...0=1 ）并且我们的训练集结果为向量 y，则利用正规方程解出向量 θ=(XTX)−1XTy 只要特征变量的数目并不大，标准方程是一个很好的计算参数 ? 的替代方法。

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AlphaZero史上最快矩阵乘法算法登Nature封面

图a,b为AlphaTensor发现的算法在GPU (a) 和 TPU (b)上的加速百分比表现，针对大小为 8,192 × 8,192的矩阵乘法进行了优化矩阵乘法就是这样一项原始任务，从神经网络到科学计算程序...为了解决游戏的挑战性，AlphaTensor 使用专门的神经网络架构，利用问题的对称性并利用合成训练游戏。 AlphaTensor可扩展到比人工或组合搜索所能达到的算法空间大得多的算法空间。...通过研究非常小的矩阵（大小为2x2），他发现了一种巧妙的方法来组合矩阵的条目，从而产生一种更快的算法。...为了应对这个明显不同于传统游戏的领域的挑战，我们开发了多个关键组件，包括一个新的神经网络架构，其中包括特定问题的归纳偏见，一个生成有用的合成数据的程序，以及一个利用问题的对称性的配方。...从初中到大学，我们接触最多的可能只是标量（scalar）、向量（vector）和矩阵（matrix），而张量则不那么常见，但实际上，标量是第0阶张量，向量是第1阶张量，矩阵是第2阶张量，第3阶或阶数更高的张量被称为高阶张量

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这种方法为大规模矩阵的PCA计算提供了一种可扩展方法，可计算出近200 TB的 ImageNet 的 RESNET-200 激活矩阵的前32个主成分。...其中每个近似特征向量都由一个玩家控制，其目标是最大化函数的效用。该文发现，利用最新的计算资源，多主体视角建模带来了新的洞察力和算法。...已知赫布法则更新的结果可以收敛到PCA解决方案，但并不能导出任何效用函数及其梯度。博弈论为研究者提供了一个新的视角审视赫布法则，也为诸多机器学习问题的解决提供助益。...机器学习，存在一个连续的曲线，其一端是提出一个可优化的目标函数路径: 利用凸和非凸优化理论，研究人员可以对解决方案的整体性质进行推理。...玩家可以自由设计公用程序和更新需要的属性(例如，指定无偏差加速或更新) ，同时确保主体游戏符合纳什均衡这一特性，仍然允许玩家对系统进行整体的分析。

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结果我们对各种回归数据集的实验表明，调整 HDC 编码器可以显着提高准确性，超越当前基于 HDC 的算法，并提供比其他基线（包括基于 RFF 的核岭回归）更快的推理。...这意味着我们可以利用该度量来估计内核相似性。虽然当前的VFA方法带来了很多好处，但该方法最大的缺点是 ψ D (x) 本质上是静态映射，这使得编码的适应性较差。...我们的工作旨在利用博赫纳定理的见解，通过其随机傅里叶特征自适应地学习内核。...请注意，这两个训练阶段的维度 D 可以相同或不同。正如上一节提到的，我们的生成器训练优化方法是明确定义的；但在实践中，可以进一步近似以获得更快的收敛速度。....(+) 进行编码，需要 () 运算，对应于最费力的渐近运算 - N 的矩阵乘法×M 矩阵 X 和 M×D 矩阵 Ω T ，其中 N 是样本数，M 是原始空间中的特征数。

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首先来总结一下前面两部分的一些主要结论：首先有空间，空间可以容纳对象运动的。一种空间对应一类对象。有一种空间叫线性空间，线性空间是容纳向量对象运动的。运动是瞬时的，因此也被称为变换。...但是课本里自始至终不讲这句话，反正就是让你做吉米多维奇，掌握一大堆解偏题的技巧，记住各种特殊情况，两类间断点，怪异的可微和可积条件（谁还记得柯西条件、迪里赫莱条件...？），最后考试一过，一切忘光光。...现在到了关键的一步。看上去矩阵就是由一组向量组成的，而且如果矩阵非奇异的话（我说了，只考虑这种情况），那么组成这个矩阵的那一组向量也就是线性无关的了，也就可以成为度量线性空间的一个坐标系。...下面我们得出一个重要的结论： “对坐标系施加变换的方法，就是让表示那个坐标系的矩阵与表示那个变化的矩阵相乘。” 再一次的，矩阵的乘法变成了运动的施加。...在这里，我实际上已经回答了一般人在学习线性代数是最困惑的一个问题，那就是为什么矩阵的乘法要规定成这样。

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AI的TCPIP协议I：超维计算(向量符号体系结构)综述，第一部分:模型和数据转换

DRs被定义为一种向量表示形式，其中每个对象由向量分量的子集表示，并且每个向量分量可以属于许多对象的表示。...如果对象之间的相似性很重要，那么HV是以这样一种方式生成的，即它们的相似性表征了对象之间的相似性。HV之间的相似性通过标准向量相似性(或距离)度量来测量。...提出了通过矩阵-向量乘法来实现绑定操作。...为了检查特定HV是否存在于由矩阵乘法绑定的HV的总和中，该HV应该乘以矩阵，并且应该计算所得HV的相似性，并将其与相似性阈值进行比较。...利用正交随机矩阵实现MBAT向量符号体系结构中的“问题解答”。IEEE语义计算国际会议(ICSC)，第171-174页。 [范·格尔德，1999年]分布式与本地表示。

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你的batch size是2次方吗？奇葩选手：我用2的8.5次方

你有没有疑惑过，为啥batch size都是2的幂数？有人觉得是「习惯」，也有人说这算是一种约定俗成的标准，因为从「计算」的角度来看，batch size为2的幂数有助于提高训练效率。...矩阵乘法和Tensor Core 英伟达有一个矩阵乘法背景用户指南，解释了矩阵维度和GPU的计算效率之间的关系。...为什么会是 8 的倍数？这与矩阵乘法有关。...假设我们在矩阵 A 和 B 之间有以下矩阵乘法：计算两个矩阵 A 和 B 相乘的一种方法是计算矩阵 A 的行向量和矩阵 B 的列向量之间的点积（dot product）。...不过现在矩阵在 GPU 上的乘法并不完全如此，GPU 上的矩阵乘法还包括tiling 如果使用带有 Tensor Cores 的 GPU，例如英伟达 V100，当矩阵维度 (M、N 和 K）与 16

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「Deep Learning」读书系列分享第二章：线性代数 | 分享总结

矩阵运算，除了传统的矩阵乘法，还有一种特殊的乘积，这个就是对应元素乘积，它的表示方法是不一样，中间加个圆圈；两个矩阵（必须同型）对应元素相乘，得到一个新的矩阵，也是同型的。 ? 我们看一下矩阵乘法。...这个挺常见的我不就不多说了。 ? 矩阵方程组的求解是，把方程组每一个系数组成矩阵 A，根据 A 这个矩阵本身的特性就可以直接判断这个方程组有没有解、有多少解。还有无解的情况。 ?...数学分析里这门课讲到矩阵的话，运算代价非常大的，怎么让计算机跑起来更快呢，就做矩阵分解，把一个大矩阵分成几个小矩阵，算起来更快。矩阵分解的一个基本目的就是提高计算效率。 ?...简单说就是反复利用矩阵乘法都会有一个最明显的特征，就是整个运动方向会朝着矩阵的最大的特征向量方向走，这是它的几何解释。在一般的代数里面，可能你根本想不到这一点。 ?...这里的方向就是特征向量，走的幅度两千米、三千米、五千米就是特征值。行列式是什么意思？就是这个路线的长度。这样理解应该就直观得多了吧。

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吴恩达机器学习笔记16-矩阵与矩阵的乘法

”那一节已经知道向量也是一种特殊的矩阵，那这一节我们把后面的这个向量给一般化为矩阵，即矩阵和矩阵的乘法。...上图中两个矩阵，左边的这个是2×3的矩阵、右边这个是3×2的矩阵，我们可以把右边这个矩阵的第一列抽出来，就变成了2×3的矩阵和一个3×1的列向量的乘法，这就和上一视频讲到的一样了。...从前面的示例我们可知，矩阵A和矩阵B的乘，可以简化为矩阵A和矩阵B的列向量的乘，然后再把结果拼成C。就完成了矩阵与矩阵的乘法。...更好的是，几乎每一种主流的编程语言都有很好的线性代数库实现矩阵与矩阵的乘法；更进一步的，如果我们想比较不同模型的好坏的话，我们只需要比较结果矩阵就行了。...我们小时候学乘法的时候知道有很多的运算法则可以使用，那么，矩阵和矩阵的乘法有没有这样的一些法则供我们使用呢？且听下回。

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从零开始深度学习（七）：向量化

虽然有时写循环(loop) 是不可避免的，但是如果可以使用其他办法去替代计算，程序效率总是更快。来看另外一个例子。如果想计算向量，这时根据矩阵乘法的定义，有。...吴恩达老师手写稿如下：希望你现在有一点向量化的感觉了，减少一层循环可以使代码更快一些！！！ 3、向量化逻辑回归如何实现逻辑回归的向量化计算？...希望你尽快熟悉矩阵乘法，因为矩阵乘法的要求中有一条是，两个矩阵相乘，左面矩阵的列数需要等于右面矩阵的行数，也是，也是，而是，正好符合的公式，且保证了矩阵乘法的条件。...这里有一个巧妙的地方，是一个的矩阵，而是一个实数，或者可以说是一个的矩阵，那么如何把一个向量加上一个实数？...简单小结一下，不要 for 循环，利用个训练样本使用向量化的方法，一次性计算出和。

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资源 | 让手机神经网络速度翻倍：Facebook开源高性能内核库QNNPACK

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神经网络与深度学习

广播broadcast 两个多维度向量加减乘除时，只要两个向量columns或者ranks有一个相等，即行数相等或者列数相等则可以在相应的位置上进行运算。如果没有哪一个对应相等，则不可以运算。...唯一的特例：(1,n)与(n,1)之间可以运算，结果为(n,n)维向量 2....在 np.matrix 中重载为矩阵乘法!...元素乘法可以用利用broadcast；而矩阵乘法必须要满足(m*n)(n*k) 3....np.random.randn(5) 用(1,n)(n,1)等来代替 a = np.arange(100).reshape(1,100) a = np.random.randn(1,5) 2.经常使用np.reshape来使向量理想化

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OpenBLAS项目与矩阵乘法优化 | 公开课+文字转录

BLAS是 Basic Linear Algebra Subprograms （基本线性代数子程序）的首字母缩写，主要用来做基础的矩阵计算，或者是向量计算。...卷基层目前通用的实现是展成矩阵，变成矩阵与矩阵的乘法，就是BLAS 3级。而全连接层一般是变成一个矩阵和向量的乘法，也落成了BLAS操作。...对于大矩阵，为了充分的利用cache，让子问题变小，提升它的数据局部性，在做其他问题优化的时候也很有必要的。下一步当我们做到blocking的时候，如果只是代码级别变化的时候，基本已经做完了。...当我们分析程序存在的性能瓶颈，对于A的访存和B的访存是比较慢，很多访存在矩阵中是不连续的，所以访存性能就差了很多，一方面不能利用cache，一方面在TLB上也有影响，当然C部分也有一些影响，C矩阵往往很大...一个好处是，A矩阵已经预热，放进CPU的cache里了；第二个好处是，你可以看到我在存储的时候，这种连续性的存储，读的时候也是连续性读取，效率会非常高，cache效率也非常高。

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大脑启发机器智能：神经生物信用分配学习机制大全

矩阵-矩阵/向量乘法⽤·表⽰，Hadamard乘积为⊙，(v)表⽰v的转置。我们将⽤ g(v) 表⽰法来表⽰元素函数（应⽤于矩阵或向量），⼀阶导数（相对于其输⼊参数）表⽰为 ∂g(v)。...在本地类别中，可以根据程序的实际“本地程度”对程序进⾏进⼀步分类，在本次调查中，我们提出了两个⼦分区“⾮协同”和“协同”。...形式上，这种类型的调整可以用标量（单突触）形式表示，即或矩阵向量形式，即 (τ 是⼀个时间常数，可以重构为所谓的 “学习率”).该更新⽅程也被称为⼆因素赫布规则；⼀个因素是突触前活动，⽽另⼀个因素是突触后活动...上述微分方程产生软约束的多项 Hebbian可塑性更新规则。纠正类似赫布规则的爆炸性的另一种方法是结合局部权重抑制机制，从而导致结合反赫布反压力[102]或使用门控赫布规则[129]。...8 Oja规则[307]是一种广义的赫布可塑性规则,它引入了一种确保每个向量范数的机制调整后突触权重大致恒定。其中 ⟨zℓ⟩ 表示 zℓ 内每个神经放电率的短期运行平均值。

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首发：吴恩达的 CS229的数学基础（线性代数），有人把它做成了在线翻译版本！

我们可以使用外积紧凑地表示矩阵 : 2.2 矩阵-向量乘法给定矩阵，向量 , 它们的积是一个向量。有几种方法可以查看矩阵向量乘法，我们将依次查看它们中的每一种。...2.3 矩阵-矩阵乘法有了这些知识，我们现在可以看看四种不同的（形式不同，但结果是相同的）矩阵-矩阵乘法：也就是本节开头所定义的的乘法。首先，我们可以将矩阵 - 矩阵乘法视为一组向量-向量乘积。...这里，第一个和最后两个等式使用迹运算符和矩阵乘法的定义，重点在第四个等式，使用标量乘法的可交换性来反转每个乘积中的项的顺序，以及标量加法的可交换性和相关性，以便重新排列求和的顺序。...使用 2.3 节的方程（2）中的矩阵 - 矩阵向量乘法的方法，我们可以验证：考虑到正交矩阵满足，利用上面的方程，我们得到：这种的新的表示形式为，通常称为矩阵的对角化。...实际上，这种是唯一存在的: 换句话说，向量可以作为向量的另一种表示，与定义的基有关。 “对角化”矩阵向量乘法。通过上面的设置，我们将看到左乘矩阵可以被视为左乘以对角矩阵关于特征向量的基。

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