而且，我们对法向量进行规范:只考虑延长线通过原点的那个法向量p。这样的话，只要求出法向量p，就可以唯一确认这条分界线，这个分类问题就解决了。 还有什么方法能将法向量p的性质处理地更好呢？...于是，我们不光得到了z的现实意义，还得到了z映射到概率P的拟合方程： 有了概率P，我们顺便就可以拿拟合方程P= 来判断点x所属的分类： 当P>=1/2的时候，就判断点x属于y=1的类别；当P2，就判断点...但是显然g(z)更好，因为g(z)的意义是概率P，刚好在[0,1]范围之间，与实际结果{0，1}很相近，而z的意思是逻辑发生比，范围是整个实数域(-∞,+∞)，不太好与y={0，1}进行比较。...假设我们已经找到了这个圆，再寻找这个圆的性质是什么。根据这些性质，再来反推这个圆的方程。...我们可以依据这个性质： 圆内的点到圆心的距离小于半径，圆外的点到圆心的距离大于半径 假设圆的半径为r，空间中任何一个点 到原点的距离为 令 ，就可以根据z的正负号来判断点x的类别了 然后令 ，就可以继续依靠我们之前的逻辑回归的方法来处理和解释问题了
还有什么方法能将法向量p的性质处理地更好呢？ 因为计算各个点到法向量p投影，需要先知道p的起点的位置，而起点的位置确定起来很麻烦，我们就干脆将法向量平移使其起点落在坐标系的原点，成为新向量p’。...有了概率P，我们顺便就可以拿拟合方程P= ? 来判断点x所属的分类： 当P>=1/2的时候，就判断点x属于y=1的类别；当P2，就判断点x属于y=0的类别。 ?...但是显然g(z)更好，因为g(z)的意义是概率P，刚好在[0,1]范围之间，与实际结果{0，1}很相近，而z的意思是逻辑发生比，范围是整个实数域(-∞,+∞)，不太好与y={0，1}进行比较。...假设我们已经找到了这个圆，再寻找这个圆的性质是什么。根据这些性质，再来反推这个圆的方程。...我们可以依据这个性质： 圆内的点到圆心的距离小于半径，圆外的点到圆心的距离大于半径 假设圆的半径为r，空间中任何一个点 ? 到原点的距离为 ? 。 令 ?
霍夫线变换 在笛卡尔坐标系下存在很多直线，直线可以用点截式表示，假设笛卡尔坐标下的两个点A=(X_1,Y_1)和B=(X_2,Y_2)： 在笛卡尔坐标系下两点确定的直线为 y=kx+q，考虑已知的 A...x_1,y_1) ，过这一点的直线方程为： q=-x_{1} k+y_{1} 此时该方程表示霍夫空间下的一条直线： 当笛卡尔坐标中有两个点时,对应霍夫空间的两条直线表示: 如果有三个共线的点:...粗略解释的话，就是如果你想尝试用完全类似的方法去做，就要从累加平面变成累加三维的体积，三维坐标分别是圆心的位置x、y和圆的半径r。但这样做意味着更大的内存需求和更慢的速度。...image.png 图中可以看到笛卡尔坐标系下的圆x2+y2=1 上的三个点对应霍夫空间的三个’漏斗’： image.png 其中 i \in { 1,2,3 } 三个’漏斗’（取 r >...粗略解释的话，就是如果你想尝试用完全类似的方法去做，就要从累加平面变成累加三维的体积，三维坐标分别是圆心的位置x、y和圆的半径r。但这样做意味着更大的内存需求和更慢的速度。
外摆线（Epicycloid）是一个非常有趣的曲线，它是由一个圆在另一个圆的外面滚动时所描绘出来的轨迹。...对于那些不熟悉外摆线的人，外摆线的参数方程如下：x(theta) = (R - r)cos(theta) + dcos((R-r)/rtheta)以及y(theta) = (R - r)sin(theta...) - dsin((R-r)/rtheta)维基百科对轨迹线的定义可以进一步解释：外摆线是一个轨迹线，由一个附着在半径为 r 的圆上的点描绘而成，该圆在半径为 R 的固定圆的内部滚动，该点与内部圆的中心相距...值，然后以极坐标形式绘制坐标（其中 r2 = x2 + y**2），但我想我错了。...Theta 是参数方程的参数，它不是曲线点的极角（实际上它是小圆圈中心的极角），因此 x 和 y 是可以直接使用的笛卡尔坐标。只需为每个步骤绘制该点。
对于满足直线方程y=ax+b的某一个点（x0,y0），对应于参数平面(a,b)上的一条直线b= y0-ax0，而来自于这条直线上的其他数据点也必然对应于参数平面(a,b)上的直线，且相交于特定的参数点（...直线由两点A(x1,y1)和B(x2,y2)定义（如下图a所示）。...同理，通过点B的所有直线可由方程y2=k x2+q表示，在参数空间k和q中，通过点B的所有直线就可以表示为q= – x2 k + y2，此时，图b中两条直线的唯一公共交点表示的就是图a中连接A、B两点的直线...显然，图像空间上的一点（x,y），在参数空间中对应着一个圆锥，如下图所示。...如利用图像梯度信息的Hough变换，对圆的标准方程对x求导得到下式： 从上式看出，此时的参数空间从半径r，圆心（a,b）三维，变成了只有圆心（a,b）的二维空间，利用这种方法检测圆其计算量明显减少了。
绘制原理 利用数学解析几何中的内旋轮线（hypotrochoid），内旋轮线是追踪附着在围绕半径为 R 的固定的圆内侧滚转的半径为 r 的圆上的一个点得到的转迹线，这个点到内部滚动的圆的中心的距离是d。...为了在图片上显示中文，需要先加载Alibaba-PuHuiTi-Medium字体。...，根据数学中内旋轮线（hypotrochoid）参数方程，利用lambd函数生成坐标点： x = lambda d,r,R,theta: (R-r)*np.cos(theta) + d*np.cos((...可以尝试发挥。例如用for循环遍历 生成渐变动画～ # 转数-内圆旋转次数 revs = 30 # 迭代次数， 即沿绘制路径获取的点。...# 画个圆 length = 2.6 theta = np.linspace(0, 2 * np.pi, 100) x = length * cos(theta) y = length * sin(theta
借鉴统计学习和机器学习的核心原理，我们可以使用蒙特卡罗模拟和多项式/二次回归来创建基于计算的方法，以找到圆的面积公式。 在不使用任何数学运算的情况下得出圆的面积，我们使用了蒙特卡罗方法。...在使用蒙特卡罗来近似圆的面积时，我们先生成一些随机坐标点 (x1,x2)，这两个方向的坐标都是从负半径值到正半径值的均匀分布绘制得到的。...对于圆内的每一个点，我们可以引入一个落入圆内的点的数目的计数变量。在所有随机点都被投入之后，圆内的点数除以总点数（该研究中为 250,000）的值就代表在正方形内圆的面积所占的分数。...该正方形的边长是圆的半径的两倍，因此正方形的面积是 4r²，其中 r 是圆的半径。用 4r²乘之前得到的分数，就得到了圆的面积。通过蒙特卡罗方法，可以非常接近地得到圆的真实面积而无需数学计算公式。...我们可以在给定半径 r 的情况下找到任何圆的面积，但此时此刻我们还没有归纳出圆的公式。为找到公式，我们需要创建一个二次方程式进行建模，该方程式需要一个半径并尝试输出面积。
* 解：假设圆心的坐标为(a, b)，那么圆的方程是(x-a)^2＋(y-b)^2＝r^2 * 根据方程可以求出圆上的各点坐标 * 又已知角度m，则圆上点的坐标分别是(r*cos(m*Math.PI...* 解：可画出该三角形的外接圆，然后可把问题转化为求圆上三个点的坐标，又因为是正三角形，所以每个点的角度已知。解法同上。...由于三角形是在圆周上，假设圆心(a, b)，半径r，和三角形所在的角度m，其实这几个变量都是知道的，圆心坐标(a,b)则是人脸的中心点，可以通过人脸识别后的矩形坐标返回，半径r则是设计稿给的初始半径，角度...* 解：假设圆心的坐标为(a, b)，那么圆的方程是(x-a)^2＋(y-b)^2＝r^2 * 根据方程可以求出圆上的各点坐标 * 又已知角度m，则圆上点的坐标分别是(r*cos(m*Math.PI...* 解：可画出该三角形的外接圆，然后可把问题转化为求圆上三个点的坐标，又因为是正三角形，所以每个点的角度已知。解法同上。
（又来了）再切分啊~ 饼环图的思路 1、为了得到一个『手镯』，先准备了一个圆（参考了圆的参数方程） 圆的参数方程 x=a+r cosθ y=b+r sinθ（θ∈ [0，2π) ） (a,b) 为圆心坐标...，r 为圆半径，θ 为参数，(x,y) 为经过点的坐标 https://baike.baidu.com/item/%E5%8F%82%E6%95%B0%E6%96%B9%E7%A8%8B 先准备一个圆...（请忽略 z 轴厚度） 【红色圆的参数方程】 x: cosA y: sinA 角度参数 A ------------- 为了能看到这个用参数曲面绘制的圆，只好给其增加加厚度（变成圆柱） z: sinB...2、将圆上每一个点，都变换成一个以该点为圆心的新圆（如下图所示） 把圆上每一点作为圆心，并将其变换为一个新圆，无数新圆组成我们要的『手镯』 【绿色部分的参数方程】 x: cosA * (1 + r...……得到 3D 饼环 将一圈新圆组成的立体圆环，压扁得到 3D 饼环（黄色） 【黄色部分的参数方程】 x: cosA * (1 + r * cosB) y: sinA * (1 + r * sinB
01 构造环面 我们都很熟悉圆的参数方程，比如对一个半径为 R 的圆心位于原点的圆，圆上的点的坐标 (x, y) 满足以下方程： ? 这个方程虽然准确，却不容易根据它直接画出图形。...为了能构造性的生成曲线，采用所谓“参数方程”比较方便，也就是把 x、y 当作另一个参数 t 的函数。上述圆方程的一种可能的参数方程是： ?...参数 t 可以看作圆上的点和圆心所连成的直线和 x 轴的夹角，t 从 0 取到 2π，就完成了绕圆一周，也就画出了一个圆。有了圆的参数方程，就不难构造出环面的参数方程。...为不失一般性，不妨假设红圆的半径是 r，其圆心在黑圆上的点 (R Cos[u], R Sin[u], 0) 处。该怎么才能画出红圆呢？...于是假设红圆的参数为 v，可计算其参数方程如下： 圆心坐标+上箭头向量 r sin(v)+右箭头向量 r cos(v) ? 用 Mathematica 计算化简 ---- ?
，线本身有个渐变过渡的效果，比纯色要灵动些动画看起来更逼真，而且初始它是不在画布范围内的，这个点要注意一下; 下面的两张图，第二张是生成gif工具里截出来的，它就是动画的分解，其实所谓的动画，也是由一张张静态图组成...(x0,y0,r0,x1,y1,r1); + createRadialGradient API 说明： x0 = 渐变的开始圆的 x 坐标 y0 = 渐变的开始圆的 y 坐标...r0 = 开始圆的半径 x1 = 渐变的结束圆的 x 坐标 y1 = 渐变的结束圆的 y 坐标 r1 = 结束圆的半径 详细使用请看下面代码的实例 let scaleMultiple...、moveTo、一根一根线的画，画到一半时发现画两个三角或者一个菱形即可，然后再把几根主轴重新画一下，于是两种方法都尝试了一下， + 先说三角的吧，配合下面画的一个图讲解一下， + 找到圆盘的中心点，介于后轮半径之上...，大家可以看下面的主要代码，新手上路，如果有更好的方式，欢迎老司机指点： 结论 ：使用moveTo把画布坐标从O移动到A点 x/y，lineTo从A开始画到B结束,再从B到C点，闭合，即一个三角完成 [
方法一生成圆： 方法2生成圆： 这里我们使用的是【matplotlib】生成的，但是我用的是中文的title，故而里需要单独加上两句话： plt.rcParams['font.sans-serif...我们使用axis('equal')可以是轴向的x轴与y轴都相等，这样才能画出一个更好的圆。...axis('equal') 下面是我们以r=2作为半径，a,b=(0.,0.)为圆心坐标的方式进行圆的绘制，我这里使用了两种方法进行计算，相对来说难度都不大，但是一个是使用con与sin进行绘制的，...# 1.圆半径 r = 2.0 # 2.圆心坐标 a, b = (0., 0.) # ========================================== # 方法一：参数方程 theta...============================ # 方法二：标准方程 x = np.arange(a - r, a + r, 0.01) y = b + np.sqrt(r ** 2 - (x
但是，AG1的语言无法表达线性方程、点/线/圆的移动，也无法处理「求角度...」这样的常见问题。...例如，如果两条线a和b相交于点X，而我们想证明X在某个圆ω上，AG1可能会难以处理这种情况。 AG2通过允许使用具有不同名称但坐标相同的点来解决这个问题。...考虑一个证明两条直线a和b的交点X在圆ω上的例子。 AG2可以通过以下步骤实现：首先，创建一个新的点 X'，该点是a和ω的交点；接下来，证明X'位于b上。...更大、更复杂的图和更好的数据分布 AG2探索的随机图大小是AG1的两倍，从而可以提取更复杂的问题。 生成的定理在复杂性上提高了一倍，包括更多的点和前提。生成的证明步骤最多增加了10倍。...更多类型的定理 除了生成证明经典陈述（如「AB = CD」）的定理外，AG2的数据生成算法还生成「轨迹」类型的问题，例如 「当X在直线/圆Y上移动时，Z在固定直线/圆T上移动」。
判断线段、折线、矩形、多边形是否在圆内： 因为圆是凸集，所以只要判断是否每个顶点都在圆内即可。 判断圆是否在圆内： 设两圆为O1,O2，半径分别为r1, r2，要判断O2是否在O1内。...设线段的两端点为pt1和pt2，斜率为：k = ( pt2.y - pt1. y ) / (pt2.x - pt1.x );该直线方程为：y = k* ( x - pt1.x) + pt1.y。...设圆方程为:(x - O.x ) ^2 + ( y - O.y ) ^2 = r ^2，联立两方程组可以解出直线PO和圆的交点，取其中离P点较近的交点即可。 ...求线段或直线与折线、矩形、多边形的交点： 分别求与每条边的交点即可。 求线段或直线与圆的交点: 设圆心为O，圆半径为r，直线（或线段）L上的两点为P1,P2。 1....如果L平行于X轴，做法与L平行于Y轴的情况类似； 4. 如果L既不平行X轴也不平行Y轴，可以求出L的斜率K，然后列出L的点斜式方程，和圆方程联立即可求解出L和圆的两个交点； 5.
设 P0、P1 为手指在屏幕上滑动时前后相邻的 2 个点（注意屏幕坐标需要进行归一化转换为纹理坐标），r 为圆的半径，同时也用于控制矩形的宽度。...上述原理图中，点 P1、P2 和半径 r 为已知信息，我们需要求出矩形的四个点 V0、V1、V2、V3 的坐标，便于去构建矩形网格，而两个圆的圆心和半径信息已知，只需要以圆心为顶点构建三角形即可。...为求得直线 V0V1 的方程，可以利用 2 个直线 P0P1 和 V0V1 相交的关系，即向量 V0P0 和向量 P0P1 的点乘值为 0 。...求出直线 V0V1 的方程后，直线 V0V1 与以 P0 为圆心 r 为半径圆的 2 个交点，就是点 V0 和 V1 的坐标，在数学上就是求解二元二次方程。...2 OpenGL 实现刮刮卡 OpenGL 实现刮刮卡效果的关键在于利用滑动轨迹构建网格，我们在 GLSurfaceView 类的 onTouchEvent 回调方法中获得滑动轨迹传入 Native
1000) # 参数方程的范围 x = np.cos(3*t) y = np.sin(2*t) # 参数式 plt.plot(x, y, color='blue...接下来绘制圆的参数方程 #半径 r = 2.0 # 圆心 a, b = (0., 0.)...#参数方程 theta = np.arange(0, 2*np.pi, 0.01) x = a + r * np.cos(theta) y = b + r * np.sin(theta) ?...另外一种绘制圆形的方法~ import numpy as np from matplotlib import pyplot as plt r=2.0 a,b=0.0,0.0 # 标准方程 x = np.arange...import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt x = np.arange(0, 100) # 首先就是生成点列，x fig = plt.figure
(x1, y1, x2, y2) { // 绘制生成的两条曲线 let line1 = this....y1 rx = x1 + this.random(-2, 2)// 在横坐标附近找一个随机点 ry = y1 + yo * this.random(0, 1)// 在线段上找一个随机点...ry = ((rx - x1) * (y2 - y1)) / (x2 - x1) + y1// 通过两点式求出直线方程 ry += this.random(-2, 2)// 纵坐标加一点随机值...关于交点的计算，首先我们交点的y坐标是已知的，就是扫描线的y坐标，那么只要求出x，知道线段的两个端点坐标，那么可以求出直线方程，然后再计算，但是有一种更简单的方法，就是利用边的相关性，也就是知道了线段上的某一点...，其相邻的点可以轻松的根据该点求出，下面是推导过程： // 设直线方程 y = kx + b // 设两点：c(x3, y3)，d点的y坐标为c点y坐标+1，d（x4, y3 + 1），那么要求出x4
片元不等同于像素，像素是屏幕上的最小可见单位，它代表了屏幕上的一个点。...GLSL矢量数据提供了多种分量选择器，这里以vec4 v为例, 其余vec2和vec3同理: v.x 和 v.s 以及 v.r ， v0 表达的是同一个分量v.y 和 v.t 以及 v.g ， v1 表达的是同一个分量...由于GLSL不能像其他编程语言一样直接输出文本，我们将在画布上绘制一个圆来代替。或许你会想知道，在ShaderToy中，由于无法编写顶点着色器来处理顶点数据，我们如何绘制一个圆呢？...这里给出了常用2D SDF的示例，感兴趣可以自行查阅https://iquilezles.org/articles/distfunctions2d/接下来推导一下圆的SDF，我们都知道圆的一般方程，如下图所示...:将上述方程改写成下面这种形式y^2 + x^2 - 4代入点的坐标信息，我们可以很轻松的判断这个点和圆的位置信息，当>0时，表示点在圆外，当在圆内，=0则在圆上。
整式的加法和减法 同类项：含有相同字母部分和次数的项。 加法：合并同类项，系数相加。例如，3x + 2x = 5x。 减法：合并同类项，系数相减。例如，4y - 2y = 2y。...方程的解、解集的概念 解：使方程成立的数值。解集：方程的所有解的集合。 示例：对于方程3y + 1 = 7，解集为{2}。...点的坐标、中点、距离的计算 坐标：用有序数对 (x, y) 表示一个点在平面直角坐标系中的位置，其中 x 为横坐标，y 为纵坐标。 中点：连接两点的线段的中点，横、纵坐标分别取两点坐标的平均值。...距离：两点之间的距离可以通过勾股定理计算，即 √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)。...第二十四章 圆 圆的基本概念与性质 圆：平面上所有到圆心距离相等的点构成的图形。 性质：半径、直径、弦、弧、切线的关系。 圆的周长与面积的计算 周长：圆的周长等于其半径乘以2π，或者直径乘以π。
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