Proj.NET ( http://projnet.codeplex.com/)是一个.NET下开源的空间参照和投影引擎，遵循OGC相关标准。...负责人(Coordinators )是D_Guidi 和SharpGIS，开发者(Developers)还有codekaizen、rstuven等，这些人也是.NET下其他的开源系统如GeoAPI.NET...Proj.NET支持基准面转换，地理坐标系，投影坐标系，地心坐标系，可在多种.NET框架下使用，并支持SilverLight。...它可进行点对点之间的坐标变换，同时也可以把坐标系转换为 Well-Known Text (WKT) 和 XML。...能够方便的支持shapefile、grid及其它栅格/影像数据的读写，在图形渲染方面，提供了较多实用的接口，开发人员可充分定制地图的渲染效果。支持数据的投影处理以及一些常用的分析功能。
图像渲染过程 一般将一个3D图像显示在2D的平面上需要三个步骤的距阵变换，我们称之为MVP，即模型（Model）, 观察(View)以及投影(Projection)。...模型：将要显示的3D物体从模型坐标系变成世界坐标系。 观察：将3D物体从世界坐标系变换成从人眼角度看到物体的坐标系。 投影：就是将3D坐标系换成2D坐标系。也就是3D物理如何在2D平面上展示。...依次类推，就得到了右边的结果。 距阵的平移 有个 4x4 的距阵，如下： 平移距阵 其中，X、Y、Z是点的位移增量。...距阵的旋转 旋转矩阵比较复杂，绕 X 轴旋转使用的距阵： 绕X轴旋转 绕 Y 轴旋转使用的距阵： 绕Y轴旋转 绕 Z 轴旋转使用的距阵： 绕Y轴旋转 累积距阵变换 前面已经学习了如何旋转、平移和缩放向量...距阵的正投影 正投影矩阵也比较复杂，我们这里直接给出，大家可以在网上查找相关资料，自己推导出这个距阵： 正投影距阵 小结 上面介绍了三维图型学中需要的一些数学基础知识。
然而，通常采用的简化方法是将倾斜度设为零（γ=0），比例因子等于1，即αu=αv=1。构成旋转和平移矩阵的六个外部参数是对应于每个正交轴的三个旋转和三个平移。当内外参数确定后，对摄像机进行标定。...外参计算 世界坐标系和摄像机坐标系之间的旋转用矩阵R表示，考虑到两个消失点V1和V2在世界参考系的两个正交轴的方向上，以Ow为中心，所有平行线在一个消失点相交，我们可以建立一个矢量关系 ?...与世界系统具有相同的方向。因此，新坐标系和相机坐标系之间的旋转与世界坐标系和相机坐标系之间的旋转相同。向量X′c，Yc′，Z′c为： ? 最终的旋转矩阵R可得： ?...平移向量的分量可以通过叠加多对图像和场景点的方程（26）来计算，并使用奇异值分解来求解得到。寻找三个消失点需要至少六个点，放置在场景中三个相互正交的轴上，这些点也可以用于计算平移向量。...图像误差计算为参考点和重新投影点之间的距离。比较了摄像机的内参数αu和αv以及外部参数，即摄像机与世界参考系之间的旋转和平移。
考虑三种基本的变换：平移、旋转和缩放。 OpenGL对模型进行旋转、平移和缩放。...「变换」的含义就是，将点的初始位置的坐标P映射到平移、旋转、缩放后的位置坐标P’，即： 齐次坐标由来： 平移变换，变换后点坐标等于初始位置点坐标加上一个平移向量；而旋转变换和缩放变换，变换后点坐标等于初始位置点坐标乘以一个变换矩阵...齐次坐标这天才的发明，允许平移变换也表示成初始位置点坐标左乘一个变换矩阵的形式。齐次坐标使用4个分量来表示三维空间中的点，前三个分量和普通坐标一样，第四个分量为1。...矩阵有一个性质： 考虑一个点，先进行了一次平移变换，又进行了一次旋转变换，结合上面矩阵的性质，可知变换后的点P’为：旋转矩阵和平移矩阵的乘积R·T也是一个4×4的矩阵，这个矩阵代表了一次平移变换和一次旋转变换效果的叠加...实际上，投影矩阵先把顶点坐标转化到规范立方体坐标系(Xc-Yc-Zc)中，也就是将四棱锥台体空间映射到规范立方体中。规范立方体是x，y，z都处在区间[-1,1]之间的边长为2的立方体，如下所示。
=> 1.预备知识 => 1.1.平面旋转 首先看一下平面坐标系之间的转换。 两个平面坐标系 Oxy 和 Ox'y' 之间的夹角是 a 。如下图所示： ?...---- => 1.2.2.点在不同三维坐标系下的转换(坐标系之间没有平移) 有了基元旋转的基础，如果一个点在两个坐标系之中，而且两个坐标系共用一个原点，这样空间点在两个坐标系之间转换存在一个旋转矩阵R...假如两个坐标轴之间的变换关系为，坐标系1 先绕 Oz 轴旋转， 再绕 Oy 轴旋转， 最后绕 Ox 轴旋转，最终得到了坐标系2，则 旋转矩阵R 为这三个 基元旋转矩阵 依次 左乘 。 ? ?...---- => 1.2.3.点在不同三维坐标系下的转换(坐标系可能存在平移) 如果两个坐标系之间不共 原点 ，就是说明这两个坐标系之间除了 旋转向量，还存在 平移向量 。 ?...---- => 2.四个坐标系 在视觉测量中，需要进行的一个重要预备工作是定义四个坐标系的意义，即 摄像机坐标系 、 图像物理坐标系 、 像素坐标系 和 世界坐标系（参考坐标系） 。
1）旋转矩阵 1、坐标系间的欧式变换 欧式变换：相机运动是一个刚体运动，他保证了同一个向量在各个不同的坐标系下的长度和夹角都不会发生变化，这种变化称之为欧式变换。...R矩阵，描述了旋转前后同一个向量的坐标变换之间的关系，称之为旋转矩阵（行列式为1的正交矩阵） 旋转矩阵可以描述相机的旋转。 a’=Ra+t，其中t表示平移，这是一个完整的欧式变换。...其中：a为世界坐标系的向量a，经过一次旋转和一次平移t之后，得到了a’。平移只需要把旋转之后的坐标加上这个平移量就行。 2、外积： ?...欧拉角提供了一种非常直观的方式来描述旋转，它使用三个分离的转角，即将一个旋转分解成三次饶不同轴的旋转。...一个四元数有一个实部和三个虚部: ? 三个虚部满足以下关系式： ? 由于他的这种形式的特殊性，人们也常用一个标量和一个向量来表示四元数 ?
左右手系之间可以进行相互转换，只需要让任意一轴反转，其他轴保持不变即可。对于开发者来说，使用左手系和右手系都是一样的，不会影响底层的数学运算，只会在视觉上有一些差别。...我们将纯位移、纯旋转和纯缩放的变换矩阵叫做基础变换矩阵，而能够表示全部变换的齐次坐标下的 矩阵则可以这样分解： 用于表示旋转和缩放， 用于表示平移， 是零矩阵平移对一个点进行平移变换：\begin...M_{3×3}旋转矩阵是正交矩阵（注意，这里说的是非齐次坐标下的矩阵，也就是只有 的部分），而且多个旋转矩阵之间的串联同样是正交的。...如果我们想让物体以某个点为中心，绕三个轴旋转，那么我们可以先向物体平移，使得旋转点与原点重合，再进行旋转。...，假如有几百万个点都需要应用同样的平移、缩放、旋转矩阵，用提前合成的一个矩阵要比分别使用三个矩阵计算要快得多。
本文我们需要探讨的是该约束算法中的一个细节，问题是这样定义的，给定坐标系XYZ下的两个已知三角形 和三角形 ，以三角形 构造一个平面 ，将 平移到三角形 的质心位置，作为新坐标系的...理论推导 坐标系OXYZ和O'X'Y'Z'之间的变换，只有平移和旋转，没有伸缩。那么关于平移的部分，我们只需要考虑两个原点位置之间的向量差即可。...第三个向量 到这一步为止，其实我们还是没有计算出 和 的值，因此我们第三个向量，在前两个向量的基础之上，用叉乘的方法再构造一个X'轴的向量，即 ，旋转矩阵计算方法为： \vec{O'X'}=...当然，需要注意的是，这个变换只是一个旋转变换，由于坐标系发生了平移，所以需要有一个固定的参考点，才能够精确的得到某一个给定的点的坐标变换。...如果是常规思路，可以先根据两个三角形之间的相对位置去计算一下在新坐标系下两个三角形的新的顶点坐标，从而可以取三个点来构造一个坐标变换矩阵，进而推广到所有向量在这两个坐标系之间的变换关系。
因此, 旋转矩阵, 平移矩阵求得: 2.P3P P3P问题是已知三个3D目标点与其2D投影之间的对应关系，来确定标定相机的位姿问题。...，其他P3P方法，如迭代解法、几何解法和分类法，也有同样的问题。...3.RPnP 文章[3]：A Robust O(n) Solution to the Perspective-n-Point Problem 下面来看一下，如何建立新的正交坐标系，以及如何求解正交坐标系到相机坐标系之间...3.1确定旋转轴 当确定旋转轴时，只需求解剩余的旋转和三个平移参数，减少了未知变量的数量，来提高方程组的数值精度。...3.2求解旋转角和平移矢量的方程 相机坐标系与新坐标系绕之间的旋转矩阵： 其中, 3.3获取相机的位姿 再获取到相机坐标系与新坐标系绕之间的旋转和平移矩阵，进而可直接相机坐标系与世界坐标系绕之间旋转和平移矩阵
同理，第二列和第三列分别是刚体坐标系的O`Y`轴和O`Z`轴在基坐标系的三个轴方向上的分量。...平移变换 平移变换较为简单，比如坐标系j相对坐标系i的x、y、z分别平移10,-20,30，用齐次矩阵表示如下： 其中，矩阵位置可以交换，因为这是三个相互独立的变量，交换后不影响结果。...需要解释的是，我们把上述的平移变换和旋转变换称为变换算子。 根据上述原则，则例2中，两个变换都是绕坐标系i的变换，是绕固定坐标系的变换，变换算子应该左乘。...平移+旋转变换 这里平移变换算子可以直接加到旋转变换算子里（试试就知道了，平移与旋转是相对独立的）。...这就好比刚体坐标系j与固定坐标系i最开始完全重合，然后刚体j沿坐标系i的X、Y、Z方向分别移动距离x，y和z，并且绕坐标系i的X轴、Y轴、Z轴分别旋转rx、ry和rz。
因此，在图像拼接或者三维重建中，就需要使用外参来求几幅图像之间的相对运动，从而将其注册到同一个坐标系下面来 内参：下面给出了内参矩阵，需要注意的是，真实的镜头还会有径向和切向畸变，而这些畸变是属于相机的内参的...旋转矩阵和平移矩阵共同描述了如何把点从世界坐标系转换到摄像机坐标系 旋转矩阵：描述了世界坐标系的坐标轴相对于摄像机坐标轴的方向 平移矩阵：描述了在摄像机坐标系下，空间原点的位置 标定中的世界坐标系 由于摄像机可安放在环境中的任意位置...摄像机坐标系与世界坐标系之间的关系可以用旋转矩阵与平移向量来描述。...摄像机坐标系和世界坐标系之间的关系可用旋转矩阵R与平移向量t来描述。...由此，空间中一点P在世界坐标系和摄像机坐标系下的齐次坐标分别为和且存在如下关系： 其中R是3×3正交单位矩阵，t是3维平移向量，，M1是两个坐标系之间的联系矩阵。 摄像机坐标系: ?
但是这里会有一个问题，那就是像素坐标系是以像素为单位的，而图像坐标系是以mm为单位的，它们之间存在一个转换关系。...对于旋转因子，我们可以将刚体在三维空间的三维旋转看作是三个方向上的二维旋转：(有关三维旋转的内容可以参考机械臂运动学整理 中的旋转矩阵与转角) 上式中的第一个式子表示相机坐标系围绕相机坐标系的自己的Z轴逆时针进行旋转了...)\)；第三个式子表示相机坐标系围绕相机坐标系的自己的X轴逆时针进行旋转了β角得到了P点在新的相机坐标系中的坐标\((X_W,Y_W,Z_W)\)。...以上是旋转的部分，那么对于平移因子，我们可以把刚体在三维空间的三维平移分解到三个方向上的一维向量平移： 上面的式子中，\(t_0\)为相机坐标系沿着相机坐标系自己的X轴移动的距离； \(t_1\)为相机坐标系沿着相机坐标系自己的...最后一个式子就是该变换的矩阵运算表示。 整合旋转与平移就有 其中\(R_c\)是3*3的旋转矩阵，T是3*1的平移向量。
CSS3中有一个很重要的点，就是形变。他分为移动，缩放、旋转和倾斜。在Canvas中，形变都是基于坐标做的，所以，并没有直接的API支持倾斜，其它几种都是有独立的API来支持，命名和CSS是一样的。...通过上面我们可以看到，平移（形变）移动的是坐标系，移动以后会以新的坐标系进行绘图，当多次平移（形变）以后每次都会以上一次的坐标系为准。...需要注意的是缩放的值大于1的时候是放大，0~1之间是缩小，1和原来是一样大的。...可以看到旋转是基于坐标的原点的，如果不希望按照原点旋转的话，可以先平移再旋转。另外旋转也是根据弧度来旋转的而不是角度。...两者的区别是后者始终以最初的坐标做为参照，而transform以上次变换后的坐标做为参照（类似于前面的三个API）。
旋转矩阵和平移变量 向量在三维坐标的旋转可以通过\vec{b}=R\vec{a}实现，其中R为针对三个坐标轴的旋转矩阵的乘积：R=R_zR_yR_x，即分别绕x、y、z轴旋转α、β、θ的角度。...其中图像坐标系与相机坐标系的XY平面平行，它们之间的距离为焦距f，相机坐标系的原点为焦点，Z轴为光轴。...为了将世界坐标系的坐标(x,y,z)转换为像素坐标系的坐标(u,v)，我们可以经过以下的转换： 1、世界坐标系->相机坐标系 我们想要得到X_w\rightarrow X_c的转换，可以直接通过平移与旋转实现...，根据矩阵知识，可以通过X_w=MX_c完成转换，我们将其变换矩阵由一个旋转矩阵和平移向量组合成的齐次坐标矩阵M来表示： 变换矩阵M=\begin{bmatrix} R &0\ 0_3^T & t \...我们还是拿针孔成像来说明，成像过程如图：针孔面（相机坐标系）在图像平面（图像坐标系）和物点平面（棋盘平面）之间，所成图像为倒立实像。
在动力学中，比如人的胳膊就有好几个关节，且不同的关节有不同的旋转轴，如果是路飞的话，关节之间的长度还是不固定的。...这里，每一个关节都存在一个自身坐标系，其中旋转可以是绕三个轴，平移则是沿着三个轴，每个坐标系存在6个自由度。问题就有点复杂了，每个人对每个关节可能会定义不同的坐标系方向，这会直接决定求解该问题的难度。...(1)确定第二个关节的 ? ， ? 有两个选择，这里选择向右，根据右手坐标系确定 ? ? (2)同理，依次确定第三个关节的 ? 、 ? 和 ? ，第四个关节的的 ? 、 ? 和 ? ?...(3)第四个关节的特殊点在于它有两个旋转轴，因此，我们需要在对其建立另一个坐标系，确定对应的 ? 、 ? 和 ? ? 根据上图确定最后一个关节的坐标轴 ?...和 ? ? 如上，我们确定了每一个节点的坐标系，但这还不够，我们需要确定相邻坐标系之间的旋转和平移参数。参数计算规则如下： 确定辅助点 ? 位置，是轴 ? 和轴 ? ，如果没有相交，则是轴 ?
从三维坐标（世界坐标系）到二维坐标（图像坐标系）又可以分为三个步骤： 从世界坐标转换到相机坐标； 从相机坐标转换到图像坐标； 从图像坐标转换到像素坐标。...使用此摄像机将捕获房间的图像，因此，我们对连接到此摄像机的3D坐标系感兴趣，并且需要找到 3D 世界坐标与 3D 摄像机坐标之间的关系。...外部参数 相机坐标系可以通过平移和旋转达到与世界坐标系重合的效果，因此可以说世界坐标系和摄影机坐标系通过旋转和平移关联，这其中有六个参数（3个用于旋转，3个用于平移）称为相机的外部参数。...将旋转和平移都用矩阵乘法表示，旋转矩阵为 R (9个参数，自由度为3)，平移向量 t，那么坐标值可以通过以下公式关联： 图片 有时，上面的表达式以更紧凑的形式编写。...将 3×1 平移向量作为列附加在 3×3 旋转矩阵的末尾，以获得称为外部矩阵（相机外参）的 3×4 矩阵。
我们可以将外积的形式写成矩阵乘以向量的形式，即：a的反对称矩阵左乘b 反对称矩阵 ，满足 欧式变换 两个坐标系之间的变换，可以被解释成旋转加上平移。...旋转矩阵 ：旋转矩阵可以表示向量的旋转，其本质是两个坐标系基底之间的内积构成的矩阵 SO(n) 是特殊正交群， 这个集合包含所有n维的旋转矩阵，行列式为1，并且都是正交矩阵。...正交矩阵，即 平移可以用一个向量 来表示 整个欧式变换，可以理解成： 齐次坐标和变换矩阵 为了将平移和旋转融合成一个式子，我们将欧式变换写成如下形式： 其中，我们扩展了向量...Rodrigues's Formula 是将旋转矩阵 , 变换成旋转轴 和旋转角 的形式: 更进一步地，我们可以使用旋转矩阵的迹，来计算旋转角： 四元数 旋转矩阵用9个变量来描述三个自由度的旋转...比如，对于复数向量 , 代表实数轴上的一个向量 , 代表虚轴正方向的一个向量，即逆时针旋转90度 四元数可以表示为，一个实部 + 三个虚部： 三个虚部满足： 我们可以将四元数记作实部和虚部的向量表示
坐标系之间的转换关系说明： ●baseHtool：表示机械手坐标系到基础坐标系的转换关系，可以由机器人系统中得出。...六个自由度 ●三个位置：x、y、z（第六轴法兰盘圆心相对于原点的偏移量） ●三个角：Rx、Ry、Rz（第六轴法兰盘的轴线角度，由初始姿态即竖直向上绕x轴旋转Rx度，再绕Y轴旋转Ry度，再绕Z轴旋转Rz度得到...； ●第三个参数corners，用于存储检测到的内角点图像坐标位置，一般用元素是Point2f的向量来表示：vector image_points_buf; ●第四个参数flage：用于定义棋盘图上内角点查找的不同处理方式...网上有源代码可以下载：经典手眼标定算法C++代码 文献3采用的是李群的理论，将AX=XB转化成最小二乘问题； 文献4采用的时对偶四元数的知识，用对偶四元数表达旋转和平移，从而进行统一计算； 着四种算法精度差不多...具体实现文献3的算法，下面具体介绍 对数：乘法变加法 李群李代数 ? 利用李群知识求解AX=XB ? 采用“两步法”求解上述方程，先解算旋转矩阵，再求得平移向量。 求解旋转矩阵 ? ? ?
Datawhale干货 寄语：本文将对传统图像算法的数据增广方式进行学习，以最常用的平移和旋转为例，帮助大家梳理几何变换的概念和应用，并对其在OpenCV的框架下进行了实现。...因此，对于旋转和偏移，就需要3步（3次变换）： 将输入原图图像坐标转换为笛卡尔坐标系； 进行旋转计算。旋转矩阵前面已经给出了； 将旋转后的图像的笛卡尔坐标转回图像坐标。...那么，图像坐标系与笛卡尔坐标系转换关系是什么呢？先看下图： ? 在图像中我们的坐标系通常是AB和AC方向的,原点为A，而笛卡尔直角坐标系是DE和DF方向的，原点为D。...第二个参数，OutputArray类型的dst，函数调用后的运算结果存在这里，需和源图片有一样的尺寸和类型。 第三个参数，InputArray类型的M，2×3的变换矩阵。...第二个参数，double类型的angle，旋转角度。角度为正值表示向逆时针旋转（坐标原点是左上角）。 第三个参数，double类型的scale，缩放系数。
通过摄像机内参加上一组点的物方坐标和像方坐标，可以得到摄像机的外参，通常是三个旋转参数，三个平移参数。...旋转矩阵可以看成是这样的一个三维空间，一个X轴(1,0,0)、Y轴(0,1,0)、Z轴(0,0,1)标准笛卡尔坐标系经过旋转变换后形成的坐标系空间，旋转矩阵的三个列向量X、Y、Z轴的轴向量。...为了实时知道摄像头是否旋转了以及具体的旋转量，我们假设摄像头SDK一定会提供旋转参数，通常是是类似于“左右旋转-160度到+160度，上下旋转-75度到+75度”之间这样描述的数值。...其实高空摄像头可能会搭配专门的移动和旋转的装置，也就是所谓的“云台”，可以通过电机驱动实现摄像头的移动、旋转、倾斜和俯仰。这样的话，外参的平移量也需要我们自己进行标定了。...在平移参数为0，旋转参数为0的位置标定外参，假设得到的结果是平移量决定的平移矩阵 T_a ，旋转量决定的旋转矩阵 R_a 。
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