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Eigen中四元数、欧拉角、旋转矩阵、旋转向量之间的转换

旋转向量 1，初始化旋转向量：旋转角为alpha，旋转轴为(x,y,z) Eigen::AngleAxisd rotation_vector(alpha,Vector3d(x,y,z)) 2，旋转向量转旋转矩阵...::Quaterniond quaternion(rotation_vector); 旋转矩阵 1，初始化旋转矩阵 Eigen::Matrix3d rotation_matrix; rotation_matrix...<<x_00,x_01,x_02,x_10,x_11,x_12,x_20,x_21,x_22; 2，旋转矩阵转旋转向量 Eigen::AngleAxisd rotation_vector(rotation_matrix...UnitZ())); Eigen::AngleAxisd rotation_vector; rotation_vector=yawAngle*pitchAngle*rollAngle; 3，欧拉角转旋转矩阵...rotation_vector(quaternion); Eigen::AngleAxisd rotation_vector; rotation_vector=quaternion; 3，四元数转旋转矩阵

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第4章-变换-4.2-特殊矩阵变换和运算

这两个坐标系向上向量选择之间的区别只是90度旋转（可能还有一个反射），但不知道假设哪个会导致问题。在本卷中，除非另有说明，否则我们使用y-up的世界方向。...当进行旋转从而失去一个自由度时，就会发生这种情况。例如，假设变换的顺序是x/y/z。考虑仅围绕y轴旋转π/2，进行第二次旋转。这样做会旋转局部z轴以与原始x轴对齐，因此围绕z的最终旋转是多余的。...例如，可能与某个变换对象关联的只不过是一个级联矩阵。从级联矩阵中反推各种变换的任务称为矩阵分解。反推一组转换的原因有很多。用途包括：仅提取对象的缩放因子。查找特定系统所需的转换。...然后我们将此基与标准基对齐，以便与x轴对齐。在这个标准基中进行绕x轴的旋转，最后我们变换回原来的坐标基。为了计算，我们需要找到两个与和彼此正交的轴。...无论采用哪种技术，这三个向量都用于创建旋转矩阵： image.png 该矩阵将向量转换为x 轴，将转换为y轴，将转换为z轴。

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第4章-变换-4.1-基础变换

上面给出的轴旋转矩阵可用于一系列三个变换以执行任意轴旋转。此过程在第4.2.1节中讨论。4.2.4节介绍了直接绕任意轴旋转。所有旋转矩阵的行列式都是1并且是正交的。...的一个或三个分量的负值给出了一种反射矩阵，也称为镜像矩阵。如果只有两个比例因子是，那么我们将旋转弧度。需要说明的是，与反射矩阵级联的旋转矩阵也是反射矩阵。...因此，具有方程4.17中矩阵的外观： image.png 的逆计算为。因此，要计算逆，左上角3×3 的矩阵被转置，T的平移值改变符号。这两个新矩阵以相反的顺序相乘以获得逆矩阵。...在我们将构建的相机变换矩阵中，其想法是首先平移所有内容，使相机位置位于原点，然后更改基，使与对齐，与对齐，与对齐。...旋转矩阵的定义是它的转置是它的逆矩阵。代入法线变换，两个转置（或两个逆）给出原始旋转矩阵。综上所述，在这些情况下，原始变换本身也可以直接用于变换法线。最后，完全重新规范化产生的法线并不总是必要的。

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快速完整的基于点云闭环检测的激光SLAM系统

本文的主贡献是：研究出来一个快速的闭环检测的方法来检测两个关键帧的相似度把闭环检测，地图对齐，位姿优化集成到LOAM中。...这两个策略对于地图对齐都很重要。对于新来的胞体，通过其各个组成部分(中心坐标)的XOR操作来得到其哈希索引值。然后将计算出的哈希索引添加到地图H的哈希表中。...首先利用平面特征的方向向量来计算协方差矩阵利用特征值分解协方差矩阵利用特征向量得到旋转矩阵算法二：计算关键帧的2D分布输入关键帧F 输入2D线特征的分布和面特征的分布H_L，H_P 开始设置H_L...（2）地图对齐及优化成功检测到闭环后，执行地图对齐以计算两个关键帧之间的相对位姿。地图对齐问题可以看作是目标点云和源点云之间的配准。...对齐后，如果边缘/平面特征上的点的平均距离足够接近边缘/平面特征（距离小于0。1m）则我们将这两张地图对齐。（3）位姿图优化一旦两个关键帧对齐，执行位姿图优化。

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【笔记】《Laplacian Surface Editing》的思路

进一步写出这个Ai的排列如下式, 同样只要手动用三个点测试一下就会明白这个矩阵乘上向量(si,hi,ti)的效果就和每个点单独与矩阵Ti计算相同: ?...对于这两个特殊情况, 解决方法很类似: 旋转角度过大的情况, 在实际进行旋转矩阵计算前先使用作者另一篇文章Differential coordinates for interactive mesh...而我们计算旋转矩阵的方法是首先对齐两个对应顶点处的法线, 然后选择两个顶点所连接着的一个对应邻接点, 用邻接点的边投影到顶点的切平面上, 以此作为另一个向量对齐旋转, 这样就对齐了顶点平面的坐标系....而一直说到了两个表面的对应顶点, 在实际使用中由于我们要迁移的表面的拓扑结构各不相同, 我们必须对表面进行处理并一一查找两个表面之间的对应关系...., 也就是如何生成合适的三角剖分来让两个部分顺畅地连接在一起首先我们需要将两个所选区域放到想要连接的位置, 如何我们需要调整到合适的尺寸并在需要的时候进行重采样以让两者的顶点数量接近.

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Unity 水、流体、波纹基础系列（二）——方向流体（Directional Flow）

图案以与沿V轴的对齐的流相对应。默认值是向上流动的，由于图案在相反的方向上也是对称的，所以看起来一致。 ? ?...（滑动波纹模式） 2.2 纹理旋转要旋转UV坐标，我们需要一个2D旋转矩阵，如“渲染1，矩阵”教程中所述。如果流向量 [x， y]具有单位长度，则它表示单位圆上的一个点。...当我们需要顺时针旋转时，我们必须翻转sinθ的符号，这得到我们最终的旋转矩阵 ? 。因为我们的流体贴图不包含单位长度的向量，所以我们必须首先对其进行归一化。...然后通过float2x2构造函数使用该方向向量构造矩阵。使用mul函数将该矩阵与原始UV坐标相乘。完成之后，应应用时间偏移和平铺。 ? 让我们通过使用流体矢量[1，1]来测试这是否有效。...由于DirectionalFlowUV负责旋转，因此有意义的是它还为我们提供了用于向量旋转的矩阵。通过向其添加输出参数来实现。在这种情况下，我们确实需要适当的顺时针旋转矩阵。 ?

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激光视觉惯导融合的slam系统

LIO直接把当前的扫描点和增量构建的地图对齐，地图点也会辅助基于直接法的VIO系统进行图像对齐。为了进一步提高vio系统的鲁棒性和准确性，作者提出了一种新的方法来剔除边缘或者在视觉中遮挡的地图点。...状态估计：系统利用紧耦合的ESIKF来进行状态估计，首选需要知道两个运算的定义：其中Exp和Log表示旋转矩阵和旋转向量之间的基于罗德里格斯公式的映射关系。...：这个约束是把当前的点利用先验的位姿投影到地图上，找到最近的平面后投影点应该在平面上，所以两个点相减得到的向量为平面上的向量，和平面的法向量垂直，点乘为0。...基于迭代的卡尔曼滤波器更新：通过公式3我们可以得到先验的状态和协方差的值，先验的分布可以表示为：当视觉和激光的观测来的时候我们可以进行量测更新以得到状态量后验的结果：上式为非凸的函数，可以基于高斯牛顿的方法优化求解最小值...为了解决这个问题，作者针对最近的雷达扫描的每个点基于哈希表查找这些体素。如果相机FoV和雷达大致对齐，则落在相机FoV中的地图点很可能包含在这些体素中。

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人脸对齐：ASM (主动形状模型)算法

导语：人脸对齐领域较早但是非常重要的ASM算法介绍主动形状模型发表在95年，已经是比较老的模型了，但是该算法是以后很多人脸对齐算法的基础，对理解人脸对齐领域算法有益，所以做了些研究。...3 去除刚性变换首先对所有样本去中心话，即各维度减去均值找到一个旋转、缩放，变换之后，使得变换后的形状向量与标准形状最接近旋转与缩放一共是两个自由度，所以在线性变换矩阵中只有a，b两个未知数，...对齐效果上图中每个特征点是一种颜色。这样，我们得到了每个样本对齐之后形状向量。把这些形状向量作为线性形状模型的输入。...同时，规定了两个profile的相似度计算公式。为后面搜索时提供比较依据。profile的方向可以选择为前后两个特征点的连线的法向量。这样，我们建立了每个特征点的局部梯度模型--高斯分布模型。...下面我们看调整步骤初始位置，x为mean shape， M为旋转缩放矩阵， Xc为平移向量。

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论文精读系列：rotated-binary-neural-network（RBNN）

论文中一共提出了4个新的技术：首先是提出了一个角度对齐方案（angle alignment scheme），通过学习一个旋转矩阵，在每一个训练的epoch前将将全精度权重向量旋转到其二元超立方体的几何顶点上...为了降低时间和空间的复杂度，论文中没有直接学习一个大的旋转矩阵，而是介绍了一个 bi-rotation formulation 来学习两个较小的矩阵作为代替。...所以，学习两个较小的矩阵，可以很好地重构一个大的旋转矩阵。...Conclusion 在本文中，分析了角度偏差对二元神经网络量化误差的影响，并提出了旋转二元神经网络（RBNN），以实现在每个训练epoch开始前旋转权重向量，使旋转后的向量与其二值化后的向量之间的角度对齐...我们还引入了一个涉及两个较小旋转矩阵的方案 bi-rotation，以减少学习大旋转矩阵的复杂度。

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学习PCL库：PCL中的配准模块介绍

）对齐，并估计它们之间的旋转和平移变换，以使它们最匹配，以便它们在相同坐标系下对齐。...pcl::registration::TransformationEstimation 类来估算将源点云变换为与目标点云对齐所需的刚性变换矩阵这个类主要基于以下情况之一来进行变换矩阵的估算：对应向量...该类的主要作用是估计两个数据集之间的刚性变换，包括平移（x，y）和旋转（theta），使它们在平面上对齐。...这个功能主要用于求解两个点云之间的刚体变换（旋转和平移），以使它们最佳地对齐。...pcl::registration::TransformationEstimationSVD它用于通过奇异值分解（SVD）来估计点云之间的刚体变换，以实现点云配准，这个类的主要作用是计算变换矩阵，将两个点云之间的对应点对齐到一个共同的坐标系中

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自动驾驶视觉融合-相机校准与激光点云投影

在两个欧几里得坐标系之间来回移动是一种非线性操作, 但是一旦我们处于齐次坐标系中, 投影变换将变为线性, 因此可以表示为简单的矩阵向量乘法. 两个坐标系之间的转换如下图所示....有了齐次坐标系的帮助, 我们可以用矩阵向量的形式表示投影方程了: 上述方程从左到右依次是齐次坐标系的相机投影几何转换矩阵/ 相机内参数矩阵K/ 齐次坐标点相机内参数以矩阵形式排列, 可以方便地以紧凑的方式表示针孔相机模型的属性...合在一起就是3D旋转公式. 齐次坐标的优点之一是, 它们可以通过级联几个矩阵-矢量乘法来轻松组合多个变换. 平移矩阵T和旋转矩阵R一起被称为外参矩阵....R：3x3旋转矩阵 T：3x1平移向量为了执行到图像像素平面的投影, 我们还需要有关内参数的信息, 它们储存在calib_cam_to_cam.txt中. calib_time: 09-Jan-2012...纠正旋转矩阵（使图像平面共面）即以立体方式对齐两个立体相机的摄像头（KITTI车辆中有两个Point Grey摄像头） P_rect_xx：3x4 矫正后的投影矩阵, 包含上述的相机内参矩阵K.

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如何通过图像消失点计算相机的位姿？

，世界坐标系中的点（Xw，Yw，Zw）T 通过旋转矩阵R（更精确地说，R∈SO（3））和平移向量t映射到相机坐标系中的点∈R3×3 再介绍旋转的偏航角（yaw）、俯仰角(pitch)和滚动(roll)...如下图所示：如果我们将滚动角（roll）的余弦和正弦分别定义为cp和cr，则滚动旋转矩阵为定义俯仰角(pitch)的余弦和正弦为cp和sp，偏航角(yaw)的余弦和正弦为cy和sy，俯仰和偏航旋转矩阵为...然后旋转矩阵的列始终是长度为1的向量（单位向量），因此∥r3∥=1.因此，λ等于最终得到r3 表达式用于相机位姿估计的消失点方法的思想如下：首先确定图像中的消失点（u，v），因为该点是车道线相交的点...当然，r3只是旋转矩阵三列中的一列，但正如计算结果r3显示的，其包含足够的信息来确定旋转的偏航角和俯仰角，如果我们假设滚动角为零（当然是近似值），我们是可以计算整个旋转矩阵的。...我们对r3进行进一步的推导和分解根据横滚、俯仰和偏航矩阵表达相机的旋转矩阵此旋转矩阵的第三列为如果我们确定图像中的消失点（u，v），我们就知道p∞=（u，v，1）T，因此我们可以计算r3=（Rxz

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论文共读之点云匹配

通过计算兴趣点并与局部参考帧（LRF）对齐以实现旋转不变性，3D点云描述符在3DMatch基准数据集上实现了94：9％的平均召回率。...因此，进一步处理的先决条件是将这些单独的点云片段在公共坐标系中对齐，以获得完整场景的一个大点云。...该立方体贴片（边界框兴趣点通过颜色编码），以兴趣点为中心并与估计值对齐LRF被转换为SDV体素网格并馈送到网络。...更正式地说，考虑两个重叠的点云并以矩阵形式表示为P和Q，设置为 ?...其中K 属于P^|Q'|表示置换矩阵，如果p_i等于q_j，则k_ij=1，否则为0,上式中的1表示单位向量。

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【笔记】《游戏编程算法与技巧》1-6

非单位向量投影到单位向量方向上的投影长度投影长度: \vec{a} \cdot \vec{b} 单位向量点乘为0时两个向量垂直, 为1时两个向量平行且同向, -1时平行且反向....两个向量间的夹角可以由两个向量点乘后arccos得到二维向量可以简单判断旋转的方向, 先将向量的z设为0扩展为3维, 然后起点向量叉乘终点向量, 得到的叉乘向量z为正时代表顺时针, z为逆代表逆时针...这里都按照行向量表示 3D中3x3矩阵只能表示向量的线性变换(旋转, 缩放, 错切), 但是无法表示非常常用的平移变换(非线性), 因此引入了一维(w)表示平移, 称为仿射变换....大多数时候三维旋转使用xyz三个轴固定下的轴对齐欧拉角旋转矩阵连乘得到....即物体是先q后p旋转时, 乘法四元数是pq 四元数可以很轻松地取逆, 只要将向量分量取反即可, 这两个四元数互为共轭两个旋转间的插值可以直接用四元数线性插值或球面插值等其他插值得到, 计算方便效果好

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基于消失点的相机自标定（1）

外参计算世界坐标系和摄像机坐标系之间的旋转用矩阵R表示，考虑到两个消失点V1和V2在世界参考系的两个正交轴的方向上，以Ow为中心，所有平行线在一个消失点相交，我们可以建立一个矢量关系 ?...因此，新坐标系和相机坐标系之间的旋转与世界坐标系和相机坐标系之间的旋转相同。向量X′c，Yc′，Z′c为： ? 最终的旋转矩阵R可得： ? 相机校准的最后一步是计算平移向量t。...由于旋转矩阵R已知，我们可以将线段与其在相机坐标系中的图像对齐： ? 现实世界的线段由相机通过投影变换成像，产生两个图像点pi1px和pi2px，以像素表示。...考虑到投影矩阵的分解，如等式（2）所示，可得： ? 考虑到无穷远处齐次点与平移向量相乘的影响，我们得到： ? 使用相机矩阵K，旋转矩阵R可以写成 ?...利用旋转矩阵的正交性，并将其应用于前两列，我们得到 ? 那么焦距可以计算如下 ? 外参计算外部参数是旋转矩阵R和平移向量t的一部分。如果确定了尺度因子λi，则可以计算方程中给出的旋转矩阵。

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主成分分析

这种表示基于上述简单表示的两个标准。PCA学习一种比原始输入维数更低的表示。它也学会了一种元素之间彼此没有线性相关的表示。这是学习表示中元素统计独立标准的第一步。...我们已知设计矩阵X的主成分由的特征向量给定。从这个角度，我们有主成分分析也可以通过奇异值分解(SVD)得到。具体来说，它们是X的右奇异向量。...为了说明这点，假设W是奇异值分级的右奇异向量。...以W作为特征向量基，我么可以得到原来的特征向量方程： SVD有助于说明PCA后的是对角的。...在PCA中，这个消除是通过寻找输入空间的一个旋转(由W确定)，使得方差的主坐标和z相关的新表示空间的基对齐。

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双目匹配

在对内参进行标定时，我们已经得到两个相机的旋转矩阵和平移向量，再通过左右相机的内外参数，通过立体标定对左右两幅图像进行立体校准和对齐，最后确定两个相机的相对位置。...由于经过了立体校正后，匹配点是在同一行上的，所以可以在两张图的同一行中查找匹配点，通过匹配点得到每个点的视差d（下文提及）。...经过标定，我们已经得到了两个图像平面对应的旋转矩阵和平移向量(R,T) ，为了得到校正后图像，我们使用Bouguet校正算法。...接下来使用Bouguet算法进行处理：校正的第一步是使两个图像平面平行，可以根据旋转矩阵和平移向量(R,T) 对其进行旋转操作，Bouguet算法将旋转矩阵R拆分成两个旋转矩阵r_r \ r_l，分别对两个图像平面进行旋转...distCoeffs1/distCoeffs1：两个摄像机的畸变参数 imageSize：图像大小 R、T：旋转矩阵和平移向量 R1/R2：上述两个旋转矩阵R_r \ R_l P1/P2：上述两个投影矩阵

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从几何角度理解矩阵

以级矩阵为例，它实现了的线性变换，例如用下述的矩阵对向量进行变换，即：以图示的方式，如下图所示，A 部分表示向量是的标准正交基的线性组合，B 部分表示经过转换之后的向量...前面曾经使用过的矩阵也是剪切矩阵。正交矩阵正交矩阵是行向量和列向量正交的方阵，且行向量和列向量都是单位向量。以表示矩阵的第列向量。...根据正交定义，如果两个向量的点积等于，则这两个向量正交。...用几何的方式表示，如下图所示，将一个向量投影到另一个向量方向上，如果两个向量不正交，投影的长度就是两个向量点积的结果（如下图 A 所示），下图中 B 显示两个向量正交，则投影的长度为，即两个向量点积结果为...下面以实现旋转变换的矩阵为例，对其进行奇异值分解。利用三角函数的知识，可知：。下图中假设，演示了上述三个矩阵分别对最左侧的原始向量所实现的旋转变换。

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基础矩阵，本质矩阵，单应性矩阵讲解

两视图的对极几何可以理解为图像平面与以基线为轴的平面束相交的几何关系，其中主要有几种概念：（1）基线（base line）:两个相机中心的连线CC'称为基线。...（3）对极平面（epipolar plane）:过基线的平面都称之为对极平面，其中两个相机的中心C和C',三维点X，以及三维点在两个相机成像点xx'这五点必定在同一对极平面上，当三维点X变化时，对极平面绕着基线旋转...由于t×x2是向量t和向量x2的叉积，同时垂直于向量t和向量x2，所以左边的式子为0得到： ? 将x1,x2替掉 ?...上式是对极约束的一种表示，该式子中仅包含像点，相机的旋转和平移，中间的矩阵就是基础矩阵F： ?...、对齐以及在SLAM中估计两个相机间的运动。

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APAP论文阅读笔记

理想情况下，两组的方法应联合使用，以获得最佳结果。 Shum和Szeliski[15]首先执行光束调整，以优化所有视图的旋转和焦距。...DLT估计H的9个元素为当约束| | h | |=1时，其中矩阵A∈ R2N×9是通过对所有i垂直叠加ai得到的。该解就是A的最小有效右奇异向量。...2.2 移动DLT 当视图I和I’不完全因旋转而不同或不属于平面场景时，使用基本投影扭曲不可避免地会在对齐中产生重影效果。...（7）中的问题可以写成矩阵形式其中权重矩阵W∗∈ R2N×2N组成如下： diag()在给定向量的情况下创建对角矩阵。...给定两个以上的图像，我们首先选择一个中心图像来初始化全景。然后，我们通过APAP将其他图像逐渐扭曲到全景图上。关于结果，请参考补充材料，我们只是简单地将像素平均值与之混合，以突出所建议扭曲的准确性。

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