岭回归 岭回归主要想解决的就是多元线性回归中的共线性问题，通过一定策略选择合适的变量参与回归。...当X的某些列之间的线性相关性比较大时， 的行列式接近于0，也就是接近奇异， 当 接近奇异矩阵时，计算 的 逆 误差会很大，怎么办呢。...当行列式接近0时，我们为其主对角元素都加一个正数k,让其成为奇异矩阵的几率大大降低： —–随着k的增大，B(k)中各元素bi(k)的绝对值均趋于不断变小，它们相对于正确值bi的偏差也越来越大。...附：岭回归选择变量的原则： （1）在岭回归中设计矩阵X已经中心化和标准化了，这样可以直接比较标准化岭回归系数癿大小。可以剔除掉标准化岭回归系数比较稳定且绝对值很小癿自变量。...）亦然能踩着巨人的肩膀走的更快，那为什么不呢。。。
非线性回归中有种特殊的类型--逻辑回归，和线性回归不同的是，它属于“分类”的问题，这是由于它适用曲线拟合的方式来解决分类问题，所以也被称为回归。...假如我们用X(m×n)来表示特征的矩阵，回归系数用 θ(n×1)来表示，预测结果由Y=Xθ获得。在实际应用中，我们通常认为能带来最小平方误差的θ就是我们所要寻找的回归系数向量。...平方误差指的是预测值与真实值的差的平方，这种方法就称为“最小二乘法”。所以回归问题转化为如何求最小平方误差，即目标函数为： ?...局部加权线性回归适用“核函数”来赋予权值，最常用的高斯核，它的权重为： ? 可以看到高斯核中涉及到一个参数k，如何选择合适的k成为了关键的问题。图2可以看到参数k和权重的关系： ?...是满秩矩阵，即矩阵有逆矩阵，而如果 ? 矩阵中有某些矩阵共线，也就是 ? 的行列式为0，则这种情况就不能求出回归系数。 岭回归中通过引入λI来使回归矩阵可解，则回归系数的矩阵变为： ?
我们会看到通常的回归模型。 我们的目标是得到β的最小二乘估计值，由以下公式给出 其中p×p矩阵(XTX)-1是关键! 为了能够计算出XTX的逆，它必须是满秩p。我们检查一下。...k <- 4 #任意选择k=4 Vk 矩阵 Zk 矩阵 # 在经典的线性回归中使用这些分数 由于...在后面的阶段，我们将研究如何选择预测误差最小的成分数。...4 练习:岭回归的验证 在最小平方回归中，估计函数的最小化 可以得到解 。 对于岭回归所使用的惩罚性最小二乘法准则，你要最小化 ，可以得到解 。 其中II是p×p的识别矩阵。...但是我们自己的函数在后面的lasso和ridge岭回归中会派上用场。
首先说一下回归的由来：回归是由达尔文的表兄弟Francis Galton发明的。...一个最常用的方法就是寻找误差最小的w，误差可以用预测的y值和真实的y值的差值表示，由于正负差值的差异，可以选用平方误差，也就是对预测的y值和真实的y值的平方求和，用矩阵可表示为：(y - xw)T(y...，核函数可以看成是求解点与点之间的相似度，在此可以采用核函数，相应的根据预测点与附近点之间的相似程度赋予一定的权重，在此选用最常用的高斯核,则权重可以表示为：w(i,i) = exp(|x(i) - x...三 岭回归 1.概述 为了解决上述问题，统计学家引入了“岭回归”的概念。简单说来，岭回归就是在矩阵XTX上加上一个λr,从而使得矩阵非奇异，从而能对XTX + λx求逆。...岭回归就是用了单位矩阵乘以常量λ，因为只I贯穿了整个对角线，其余元素为0，形象的就是在0构成的平面上有一条1组成的“岭”，这就是岭回归中岭的由来。
我们会看到通常的回归模型。 我们的目标是得到β的最小二乘估计值，由以下公式给出 其中p×p矩阵(XTX)-1是关键! 为了能够计算出XTX的逆，它必须是满秩p。我们检查一下。...k <- 4 #任意选择k=4 Vk 矩阵 Zk 矩阵 # 在经典的线性回归中使用这些分数 由于X和Y是中心化的...在后面的阶段，我们将研究如何选择预测误差最小的成分数。...4 练习:岭回归的验证 在最小平方回归中，估计函数的最小化 可以得到解 。 对于岭回归所使用的惩罚性最小二乘法准则，你要最小化 ，可以得到解 。 其中II是p×p的识别矩阵。...但是我们自己的函数在后面的lasso和ridge岭回归中会派上用场。
我们会看到通常的回归模型。 我们的目标是得到β的最小二乘估计值，由以下公式给出 其中p×p矩阵(XTX)-1是关键! 为了能够计算出XTX的逆，它必须是满秩p。我们检查一下。...k <- 4 #任意选择k=4 Vk 矩阵 Zk 矩阵 # 在经典的线性回归中使用这些分数 由于X和Y是中心化的...在后面的阶段，我们将研究如何选择预测误差最小的成分数。...4 练习:岭回归的验证 在最小平方回归中，估计函数的最小化 可以得到解 。 对于岭回归所使用的惩罚性最小二乘法准则，你要最小化 ，可以得到解 。 其中II是p×p的识别矩阵。...我们随后会看到，如何选择γ，使预测误差最小。 6 练习: Lasso 回归 Lasso 回归也是惩罚性回归的一种形式，但我们没有像最小二乘法和岭回归那样的β^的分析解。
本文介绍线性回归模型，从梯度下降和最小二乘的角度来求解线性回归问题，以概率的方式解释了线性回归为什么采用平方损失，然后介绍了线性回归中常用的两种范数来解决过拟合和矩阵不可逆的情况，分别对应岭回归和Lasso...当然，岭回归，lasso回归的最根本的目的不是解决不可逆问题，而是防止过拟合。 B、概率解释 损失函数与最小二乘法采用最小化平方和的概率解释。假设模型预测值与真实值的误差为， ? 那么预测值 ?...假设每个样本的误差 ? 独立同分布均值为0，方差为σ的高斯分布 ? ,所以有： ? 即表示 ? 满足以均值为 ? ,方差为 ? 的高斯分布。 ? 由最大似然估计有： ?...正则项一般采用一，二范数，使得模型更具有泛化性，同时可以解决线性回归中不可逆情况。 ? 其迭代优化函数如下： ? 另外从最小二乘的角度来看，通过引入二范正则项，使其主对角线元素来强制矩阵可逆。...Lasso 回归 /** 下面的岭回归函数只是在一般的线性回归函数的基础上在对角线上引入了岭的概念，不仅有解决矩阵不可逆的线性，同样也有正则项的目的， 采用常用的二范数就得到了直接引入lam的形式。
本文介绍线性回归模型，从梯度下降和最小二乘的角度来求解线性回归问题，以概率的方式解释了线性回归为什么采用平方损失，然后介绍了线性回归中常用的两种范数来解决过拟合和矩阵不可逆的情况，分别对应岭回归和Lasso...当然，岭回归，lasso回归的最根本的目的不是解决不可逆问题，而是防止过拟合。 B、概率解释 损失函数与最小二乘法采用最小化平方和的概率解释。假设模型预测值与真实值的误差为 ? 那么预测值 ?...假设每个样本的误差 ? 独立同分布均值为0，方差为σ的高斯分布 ? ,所以有： ? 即表示 ? 满足以均值为 ? ,方差为 ? 的高斯分布。 ? 由最大似然估计有： ?...正则项一般采用一，二范数，使得模型更具有泛化性，同时可以解决线性回归中不可逆情况。 ? 其迭代优化函数如下： ? 另外从最小二乘的角度来看，通过引入二范正则项，使其主对角线元素来强制矩阵可逆。...Lasso回归 /** 下面的岭回归函数只是在一般的线性回归函数的基础上在对角线上引入了岭的概念，不仅有解决矩阵不可逆的线性，同样也有正则项的目的， 采用常用的二范数就得到了直接引入lam的形式。
要确定w和b，使得均方误差最小化： ? 用均方误差最小化来进行模型求解的方法称为“最小二乘法”。在线性回归中，最小二乘法就是试图找到一条直线，使所有样本到直线上的欧式距离之和最小。...但是当XX^T不是满秩矩阵时，会求出多个w，选择哪一个解作为输出将由学习算法的归纳偏好决定，常见的做法是引入正则化。...，因为它求得是具有最小均方误差的无偏估计，如果模型欠拟合将不能取得最好的预测效果。...LWLR使用“核”来对附近的点赋予更高的权重，核的类型可以自由选择，最常用的就是高斯核，高斯核对应的权重如下： ? 这样就构成了一个只包含对角元素的权重矩阵，点x与x(i)越近，w(i,i)越大。...使得矩阵非奇异，从而能够进行求逆，矩阵I大小为mxm，对角线上元素为1，其他元素全为0。岭回归的计算公式为： ?
本文介绍线性回归模型，从梯度下降和最小二乘的角度来求解线性回归问题，以概率的方式解释了线性回归为什么采用平方损失，然后介绍了线性回归中常用的两种范数来解决过拟合和矩阵不可逆的情况，分别对应岭回归和Lasso...当然，岭回归，lasso回归的最根本的目的不是解决不可逆问题，而是防止过拟合。 B、概率解释 损失函数与最小二乘法采用最小化平方和的概率解释。假设模型预测值与真实值的误差为 ? ，那么预测值 ?...假设每个样本的误差 ? 独立同分布均值为0，方差为σ的高斯分布 ? ,所以有： ? 即表示 ? 满足以均值为 ? ,方差为 ? 的高斯分布。 ? 由最大似然估计有： ?...正则项一般采用一，二范数，使得模型更具有泛化性，同时可以解决线性回归中不可逆情况。 ? 其迭代优化函数如下： ?...Lasso回归 /** 下面的岭回归函数只是在一般的线性回归函数的基础上在对角线上引入了岭的概念，不仅有解决矩阵不可逆的线性，同样也有正则项的目的， 采用常用的二范数就得到了直接引入lam的形式。
作者 | 文杰 编辑 | yuquanle 本文介绍线性回归模型，从梯度下降和最小二乘的角度来求解线性回归问题，以概率的方式解释了线性回归为什么采用平方损失，然后介绍了线性回归中常用的两种范数来解决过拟合和矩阵不可逆的情况...当然，岭回归，lasso回归的最根本的目的不是解决不可逆问题，而是防止过拟合。 B、概率解释 损失函数与最小二乘法采用最小化平方和的概率解释。假设模型预测值与真实值的误差为 ? ，那么预测值 ?...假设每个样本的误差 ? 独立同分布均值为0，方差为σ的高斯分布 ? ,所以有： ? 即表示 ? 满足以均值为 ? ,方差为 ? 的高斯分布。 ? 由最大似然估计有： ?...正则项一般采用一，二范数，使得模型更具有泛化性，同时可以解决线性回归中不可逆情况。 ? 其迭代优化函数如下： ?...Lasso回归 /** 下面的岭回归函数只是在一般的线性回归函数的基础上在对角线上引入了岭的概念，不仅有解决矩阵不可逆的线性，同样也有正则项的目的， 采用常用的二范数就得到了直接引入lam的形式。
其求解理论也十分简单：既然是是求最小误差平方和，另其导数为0即可得出回归系数。 ? 矩阵X为（m，n+1）矩阵（m表示样本数、n表示一个样本的特征数），y为（m，1）列向量。...上述公式中包含XTX, 也就是需要对矩阵求逆，因此这个方程只在逆矩阵存在的时候适用。然而，矩阵的逆可能并不存在，后面“岭回归”会讨论处理方法。...在该算法中，我们给待预测点附近的每个点赋予一定的权重.于是公式变为: ? ，W是（m,m）矩阵，m表示样本数。 LWLR使用 “核”（与支持向量机中的核类似）来对附近的点赋予更高的权重。...简单说来，岭回归就是对矩阵XTX进行适当的修正，变为 ? (I是单位矩阵,对角线为1,其他为0)从而使得矩阵非奇异，进而能对式子求逆。在这种情况下，回归系数的计算公式将变成： ?...为了使用岭回归和缩减技术，首先需要对特征做标准化处理，使各特征值的取值尺度范围相同，从而保证各特征值的影响力是相同的。 如何设置 λ 的值？
一元线性方程的公式应该是非常熟悉的： 如果将输入数据都存放在矩阵X中，而回归系数都存放在向量中，这样就可以得到矩阵形式的表达式： 现在的问题是如何找到，我们已经知道了如何度量一个分类器的性能，而回归模型的性能通常使用度量方法是...“均方误差”，我们可以利用这个公式找到误差最小时的，这里的误差是指预测值与真实值之间的差值。...岭回归 现实生活中往往不是满秩矩阵，例如在数据集中可能遇到非常多的特征，其数目甚至超过了样本个数，导致X的列数多于行数，此时显然不满秩，为了解决这个问题，就引入了岭回归(ridge regression...岭回归的思想非常简单，就是通过引入一个矩阵，并且将这个单位矩阵和相加，从而将转化成一个可逆矩阵，进而可以对求逆，在这种情况下回归系数表达式就可以写成： 这里是一个单位矩阵，即主对角线上元素为1，其余元素都为...针对现实任务中总出现的不可逆矩阵，缩减技术中的岭回归可以很好的解决该问题，它的主要思想就是通过消除多余的特征降低预测误差。 End
将普通矩阵分解为奇异向量和奇异值，对于一个m x n的矩阵A，其奇异值分解可以表示为： A = UΣV^T 其中，U是一个m x m的正交矩阵，Σ 是一个m x n的矩阵，其对角线上的元素称为奇异值，...Σ对角线上的元素被称为A的奇异值。 U的列向量：左奇异向量 V的列向量：右奇异向量 对角阵不是方阵，这说法头一次见，如何确定Σ的元素？...如何求解V？ 求解 A^TA 的特征值 \lambda ，进而求得特征向量 μ，组成矩阵 V 。 如果A是正定矩阵可以进行特征值分解，奇异值分解又是怎样的结果？...计算 A^+ 的实际算法基于以下公式： A^+ = VΣ^+U^T （奇异值分解） Σ+ 由 Σ 转置得到。 广义逆矩阵有什么用？...最小二乘问题：在机器学习中，最小二乘问题是一种常见的问题，例如在线性回归中，目标是最小化预测值与实际值之间的误差。在这种情况下，可以使用广义逆矩阵来求解最小二乘问题，从而提高模型的拟合效果。
最小二乘法 最小二乘法，大家都很熟悉，用在解决一超定方程 ? 。最小“二”乘的“二”体现在准则上——令误差的平方和最小，等价于 ? 最小二乘解为(非奇异) ?...对于稳定性分析，或者说数值稳定性，《矩阵分析与应用》p342进行了详细的讨论。 ---- （矩阵）数值稳定性 研究矩阵 ? ，其中 ? 或 ? 发生扰动时，解向量如何发生变化？...由此可见，影响解向量变化的重要参数是 ? ，我们将其记为条件数，记作 ? 这就是矩阵的条件数的定义，由上式易知，条件数刻画了误差经过矩阵后扩大为解向量误差的程度。...当系数矩阵一个很小扰动只会引起解向量很小变化的时候，我们将矩阵称为是“良态”的，反之称为是“病态”的。...误差对方程解的影响和 ? 的条件数的平方成反比，这显然是我们不愿意看到的。采用正则化方法实际求解的是 ? ，由上可知条件数下降了（从2-范数来看，分子分母同时加上了 ? ）。
到底什么是正则化呢？本篇我们将由浅入深详细解读什么是正则化，以及LASSO回归和岭回归的介绍。 在正式开始之前，我们先了解几个相关基本概念。 ▍什么是过拟合？...现在，我们的训练优化算法是一个由两项内容组成的函数：一个是损失项，用于衡量模型与数据的拟合度，另一个是正则化项，用于衡量模型复杂度。...▍L2正则化：岭回归 岭回归的提出 我们在之前通过最小二乘法推导出多元线性回归的求解公式： ? 这个公式有一个问题：X不能为奇异矩阵，否则无法求解矩阵的逆。...岭回归的提出恰好可以很好的解决这个问题，它的思路是：在原先的β的最小二乘估计中加一个小扰动λI，这样就可以保证矩阵的逆可以求解，使得问题稳定。公式如下： ?...这个区别可以从二维图中更好地观察出来：岭回归中两个图形（没有棱角）的交点永远不会落在两个轴上，而LASSO回归中，正则化的几何图形是有棱角的，可以很好的让交点落在某一个轴上。 ?
如果特征比样本点还多(n > m)，也就是说输入数据的矩阵 x 不是满秩矩阵。非满秩矩阵求逆时会出现问题。 为了解决这个问题，我们引入了 岭回归（ridge regression） 这种缩减方法。...接着是 lasso法，最后介绍 前向逐步回归。 4.1、岭回归 简单来说，岭回归就是在矩阵 上加一个 λI 从而使得矩阵非奇异，进而能对 求逆。...为了解决这个问题，我们下边讲一下：岭回归，这是我们要讲的第一种缩减方法。...λ值，使得矩阵非奇异 Returns： 经过岭回归公式计算得到的回归系数 ''' xTx = xMat.T*xMat # 岭回归就是在矩阵...从下图开看，从左到右就表示了核逐渐减小的过程。 一般认为，上述两种误差由三个部分组成: 偏差、测量误差和随机噪声。
作为正则化方法的一种，除了LASSO，还有另外一种模型值得我们学习和关注，那就是岭回归（ridge regression）。今天，我们将简要介绍什么是岭回归，它能做什么和不能做什么。...岭回归的优点是可以提高预测精度，但由于它不能使任何变量的系数等于零，很难满足减少变量个数的要求，因此在模型的可解释性方面会存在一些问题。为了解决这个问题，我们可以使用之前提到的LASSO回归。...此外，岭回归更常用于处理线性回归中的共线性问题。通常认为共线性会导致过度拟合，并且参数估计会非常大。因此，在回归系数β的最小二乘的目标函数中加入惩罚函数可以解决这个问题。...要做的第一件事是使用print（）函数，该函数显示非零回归系数的值，解释百分比偏差或相应的lambda值。...1 ## [100,] 9 8.389e-01 0.03951 以第100行为例，可以看出非零回归系数，即模型中包含的特征数为9。在岭回归中，这个数字是常数。
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