概率论简史 1.1. 酝酿（16世纪前后） 1.2. 创立（古典概率论时期）（17-18世纪） 1.3....发展（分析概率论）（18世纪末-19世纪末） 1.3.1 概率的古典定义 1.3.2 概率的古典定义的缺陷 2. 贝特朗悖论 2.1. 问题 2.2. 求解 2.3....创立（古典概率论时期）（17-18世纪） 从17世纪中期概率论的产生到18世纪末，约一个半世纪的时间里，概率论主要以计算各种古典概率问题为中心发展着，因而将其称为古典概率时期；由于这个时期的概率论主要以组合论为工具...“正态分布”以及“最小二乘法”的理论对于用概率论研究天文观测、大地测量和物理观测的结果起了重大作用，使概率论的发展进入了一个新的时期——分析概率时期。...；首次明确给出了概率的古典定义；在概率论中引入了差分方程、母函数等强有力的分析工具，从而实现了概率论由单纯的组合计算到分析方法的过渡。
统计、概率、数据挖掘，这几个词经常伴随出现，尤其是统计和概率两个概念，几乎就像自然界的伴生矿一样分不了家，有很多出版社都出版过叫做《概率统计》的书籍。...我们这本书本身也不准备从学术的角度给统计和概率做严格的区分，在平时工作中我们用的统计大多为计数功能，例如使用SQL语言对数据库的某些字段进行计数（count）、求和（sum）、求平均（avg）等。...而概率的应用大多则是根据样本的数量以及占比得到“可能性”和“分布比例”等描述数值。当然，概率的用法远其实不止这些，在数据挖掘中同样用到大量概率相关的算法，我们后面会有相当的篇幅进行说明。
统计学一般分统计描述及统计推断两部分。...统计描述是通过图表或数学方法，对数据资料进行整理后描述数据的客观规律，而统计推断则是使用从总体中随机抽取的数据样本，用样本数据总结的规律去对总体的未知特征进行推断。...本章主要学习统计推断常见的概念及相关基础内容。 1. 概率(probability) 概率衡量一个随机事件发生在所有事件的集合里占的比重，是对随机事件发生的可能性的度量。...通常不直接用密度计算分位数，在R中，统计函数名前面加上q，表示分位数函数。qbeta( )返回?分布的分位数。 将样本的观测值从最小到最大排序，取中位数，就是样本中位数。...统计推断目标是用样本估计总体，样本中位数将估计总体中位数；样本均值将估计总体均值；样本标准差将估计总体标准差，等等。 2.
本文记录了三个概率统计相关的小题目，以回顾一些概率统计的知识。 正如笔者在前文《公众号一岁啦》中所说，近期在复习概率统计相关的知识。...机缘巧合，笔者遇到了几个比较有意思的题目，和朋友们分享一下： 这几个题目都是和概率统计相关，本来都是可以推演出精确的解，但是有意思的是，笔者从一位网友处得知这类题目可以用 R 来做模拟求得一个近似解。...所有实验的结果中符合我们要求的结果的次数除以总次数就是我们想要的概率值。 要想让模拟的结果接近真实值，模拟的总次数要足够多。...题目二：球投盒子 假设10个球随机投入16个盒子中，请问每个盒子的球数都小于等于1的概率是多少？ 这个问题的精确解是： ?...从图中可以看出，当n达到8以后，概率已经趋于稳定了。
每个数据科学家一旦开始研究统计模型，就会遇到马尔可夫链和马尔可夫过程这两个术语。本文将以一种易于理解的方式解释马尔可夫过程的基本概念。...因此，这是所有统计学家必须知道的话题。 天气、赌博、股价、人类行为等都是马尔可夫过程。 ? 文章主旨 本文旨在解释以下关键主题： 什么是马尔可夫过程？ 什么是马尔可夫链？...转移概率 第二部分是转移概率。转移概率是一个概率表。表中的每个条目i，j都告诉我们对象从状态i转换到状态j的概率。 因此，所有需要等于或大于0的状态都有一个相关的概率。另外，概率值之和需要为1。...因此，如果一个马尔可夫链的统计分布是平稳的，那么它意味着分布不会随着时间的推移而改变。 因此，如果转移矩阵是P，概率分布是π，那么马尔可夫链的平稳分布是π=π*P 这是一个非常重要的概念。...它告诉我们，无论具有平稳概率分布的系统在开始时在哪里，随着时间的推移，系统在一个状态下花费的时间量将与其概率分布近似。 而且，链的概率总是和它开始的概率一样。
之后我们定义硬币朝上的概率p=0.5 用scipy.bernoulli.pmf 求离散函数，输入数组和概率就可以求得两个概率。 ? 通过plt.plot，输入X为数组，Y为概率。...1次的概率是多少（注意和伯努利进行区分） ?...在任意相同的时间范围内，事件发生的概率相同 3. 你想知道某个时间范围内，发生某件事情k次的概率有多大。 ? ? ? 2、连续概率分布 正态分布和幂律分布： ? 求正态分布： ? ?...如果要求大于Z的概率，可以求1-(小于Z)的概率 如果要求a和b之间的，可以求小于b-小于a的概率 3、总体和样本 ? ? 我们可以看到样本构成了整体。...样本偏见：样本不足（以偏概全） 幸存者偏差：我们通常关注显而易见的样本，忽略了没有机会出现的样本 概率偏差：心理概率和客观概率的不吻合 信息茧房：个性化推荐造成的，我们看到的只是我们喜欢的。
我们知道，两个孩子的性别是独立事件，其中有一个为女孩的概率等于1减去两个都是男孩的概率，两个都是男孩的概率等于 ? 所以至少有一个女孩的概率等于3/4。同理，两个都为女孩的概率是1/4。...那么对于另一个孩子而言，它就从条件概率的约束当中恢复了过来，它从条件概率又变成了自然概率，那么自然，剩下一个孩子是女孩的概率成了 1/2 。 我们遇见一个女孩的概率是: ?...我们遇见一个女孩的条件下，两个都是女孩的概率是 ? 这里潜在的信息是，我们在公园遇见一个孩子，他是男是女的概率是不同的。我们遇见了女孩，会改变剩下一个孩子是女孩的概率。...也就是说，遇见了女孩这个信息，提升了两个孩子都是女孩的概率，降低了另一个孩子是男孩的概率。两者一增一减，最后刚好都等于1/2。...请问剩下一个是女孩的概率是多少？1/2。如果他说喜欢吃糖的是女孩，剩下一个孩子是女孩的概率是多少？1/2。
每一个结果可能出现也可能不出现，对于每个事件而言出现的可能性就是概率。而分布，就是衡量一个概率有多大。 伯努利分布 明确了分布的概念之后，我们先从最简单的伯努利分布开始。...那么，显然，如果假设它发生的概率是p，那么它不发生的概率就是1-p。这就是伯努利分布。...我们假设硬币正面朝上的概率是p，忽略中间朝上的情况，那么反面朝上的概率是q=(1-p)。我们重复抛n次硬币，其中有k项正面朝上的事件，就是二项分布。...以上的这5种都是两次正面朝上的情况，都满足要求，所以我们在计算概率的时候，需要乘上可能会导致两个正面朝上的种数。也就是说我们知道某一种P(X=2)的情况发生的概率是 ?...最终的概率就是组合数乘上单个组合的概率： ? 我们对比它和二项分布的公式，会发现，其实二项分布就是多项分布的一种特殊情况。而伯努利分布就是二项分布中n=1的特殊情况。
从文本分类到概率图模型，其基本分类都是贝叶斯公式。 期望、方差、协方差等主要反映数据的统计特征。机器学习的一个很大应用就是数据挖掘等，因此这些基本的统计概念也是很有必要掌握。...7.期望（Expectation） 在概率论和统计学中，数学期望是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。期望是最基本的数学特征之一，反映随机变量平均值的大小。...其数学期望被定义为： 假设x是一个连续型随机变量，其概率密度函数为f(x)，其数学期望被定义为： 8.方差（Variance） 在概率论和统计学中，样本方差，是各个样本数据分别与其平均数之差的平方和的平均数...Distribution）（离散型） 在概率论和统计学中，几何分布是离散型概率分布，数学符号为X\sim G(p)。...-p)^{n-k} 期望：E(X)=n p 方差：D(X)=n p(1-p) 4）泊松分布（Poisson Distribution）（离散型） 在概率论和统计学中，泊松分布是一种统计与概率学里常见到的离散概率分布
02 概率学派和贝叶斯学派 【统计学名人录】托马斯·贝叶斯 简单的理解的话： 频率学派：研究的是事件本身，所以研究者只能反复试验去逼近它从而得到结果。...07 期望、方差、协方差和相关系数 在概率论和统计学中，数学期望是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。它是最基本的数学特征之一，反映随机变量平均值的大小。...方差：概率中，方差用来衡量随机变量与其数学期望之间的偏离程度；统计中的方差为样本方差，是各个样本数据分别与其平均数之差的平方和的平均数。数学表达式如下： ?...协方差：在概率论和统计学中，协方差被用于衡量两个随机变量X和Y之间的总体误差。数学定义式为： ? 相关系数：相关关系是一种非确定性的关系，相关系数是研究变量之间线性相关程度的量。...均匀分布 在概率论和统计学中，均匀分布也叫矩形分布，它是对称概率分布，在相同长度间隔的分布概率是等可能的。
本文继续介绍一些和概率统计相关的模拟。 前文《R-概率统计与模拟》介绍了一些用 R 进行概率模拟的实验，本文继续上次的工作，并在此过程中回顾一些相关的概率统计知识。...小结 从前文到本文，我们共通过八个小题目回顾了一些概率统计相关的知识，并尝试用 R 去做一些模拟，希望能对朋友们有所帮助。如果文中有任何错误，期望大家能指正！
⌛️本文状态：已完结✔️ 翻到一年前自己的日志中记载到“要深入理解好大数定律和中心极限定理，这是数理统计的灵魂。”感觉还挺叼的，翻出来复习一下。...果然这段被张宇形容为Paper Tiger~ ---- 概率论不是研究随机现象的，它是研究随机现象背后的客观规律性，我们找的不是不确定，我们找的是不确定背后的确定性。...——from 张宇 大数定律与中心极限定理 ¶一、依概率收敛 ¶1.1 概念和理解(记住公式) 设\lbrace{X_n}\rbrace为一随机变量序列。目标：X为一随机变量（或a为常数）。...平均值在大样本的情况下，随机变量的均值依概率收敛到一个客观存在的数。这反映了平均值的稳定性。 ¶2.2 伯努利大数定律 一句话总结 ：频率，收敛于概率。...设u_n是n重伯努利试验中事件A发生的次数，在每次试验中A发生的概率为p，则 \dfrac{u_n}{n}\xrightarrow{P}p。
作者：TeddyZhang，公众号：算法工程师之路 Day 18, 概率统计知识点走起~ 1 编程题 【剑指Offer】数组中的逆序对 在数组中的两个数字，如果前面一个数字大于后面的数字，则这两个数字组成一个逆序对...pHead1 : p2->next); } return p1; } }; 2 概念题 【概率统计】两个人抛硬币，规定第一个抛出正面的人必须穿女装，请问先抛的人穿女装的概率多大...【概率统计】将7723810的各位数字打乱排序,可组成的不同的7位自然数的个数是? 首先我们对7个数进行全排列，但是其中7重复了一次，因此，实际中的个数为7!/2。...= 2160 【概率统计】若串S=′software′,其子串的数目是多少？...【概率统计】某地每天有流星雨的概率是相等的，一个人每天晚上都去观察，发现一个月能够看到流星的概率是91%，请问半个月中能够看到流星的概率是多少？
Day 25, 概率统计知识点走起~ 1 编程题 【剑指Offer】数组中重复的数 在一个长度为n的数组里的所有数字都在0到n-1的范围内。数组中某些数字是重复的，但不知道有几个数字是重复的。...*A[n-1] res *= A[i]; } return b; } }; 2 概念题 【概率统计】所有人口中，某癌症的患病率为0.008...（计算过程四舍五入保留4位小数） 这其实很类似于TP和FP的概念，其中TP为化验为癌症且确实患有癌症的概率为：0.00898%，FP为化验为癌症但却没有癌症的概率为：0.9923%，因此化验为癌症的总概率为...最后总的概率为0.00898% / (0.00898%+0.992*3%)。 【概率统计】参加支付宝夜谈分享的同学共有50人，现设有甲、乙、丙三个夜谈主题。...【概率统计】20个阿里巴巴B2B技术部的员工被安排为4排，每排5个人，我们任意选其中4人送给他们一人一本《effective c++》，那么我们选出的4人都在不同排的概率为？
统计系列（二）常见的概率分布 离散概率分布 伯努利分布 背景：抛一次硬币，正面朝上的概率 定义：一次试验中，只有两种结果，成功（X=1）概率为p，失败（X=0）概率为1-p。定义为伯努利试验。...数学描述 图片 二项分布 背景 扔10次硬币，有3次正面朝上的概率 上了一学期的课，有10次迟到的概率 定义：n次伯努利试验中，成功k次的概率 数学描述 图片 多项分布 背景 掷10次骰子，...有3次6的概率 踢10场足球，A球队赢7负1平2的概率 定义：假设每次试验的结果有k种，且每种结果的概率为p1,p2,...pk。...数学描述： 图片 两个特例 图片 贝塔分布 背景：棒球运动员击球率的概率分布 定义：定义(0,1)区间的连续概率分布，可以看做一个概率的概率分布。...所以了解各概率分布的应用场景和内在关联，有助于提高对概率分布的理解。
来源：专知本文为书籍介绍，建议阅读5分钟本书旨在为数学、物理科学、工程和相关领域的学生介绍概率论和数理统计。 本书旨在为数学、物理科学、工程和相关领域的学生介绍概率论和数理统计。...它基于作者25年的概率教学经验，旨在帮助学生克服学习该学科的常见困难。这本书的重点是对理论的解释，主要是用了许多例子。在可能的情况下，提供所述结果的证明。所有章节都以一个简短的问题列表结束。...这本教科书非常适合概率论的第一课。内容:概率、条件概率和独立随机变量及其分布、随机变量的运算、期望值、方差和协方差、随机分布向量、极限定理、数理统计附录书目索引。
概率这里我就列几条性质，然后把上课老师给我们讲的做古典概型题的两种思路讲一下就带过了，后面的条件概率和贝叶斯公式才是正题。 一、概率性质 1. 2.P( 3....(概率的加法公式) #5. ##5....二、古典概型（“一把抓”与“一个一个取”的区别） 若试验满足： 1.样本空间S中样本点有限（有限性） 2.出现每一个样本点的概率相等（等可能性） 称这种试验为等可能概型（古典概型）...虽然他们样本空间不同，但是概率肯定是相同的。下面我就把这两种取法的概率都算一遍 “一个一个取” ，仔细看这个式子，为什么多了个 ？...而“一个一个取”这种方法什么时候都受用，利用这种方法算概率的时候，首先脑补出几个盒子，然后分盒子，分盒子的这个过程自然就会将不同的情况包含进去。
条件概率 事物A独立发生的概率为 ? ，事物B独立发生的概率为 ? ，那么有： ? 表示事物B发生之后事物A发生的概率； ?...表示事物A发生之后事物B发生的概率； 全概率 我们可以将公式写成全量的形式： ? 表示全量相互排斥且性质关联的事物，即： ? ， ? 那么可以得到 ? ,这就是全概率公式。...全概率公式的意义在于：无法知道一个事物独立发生的概率，但是我们可以将其在各种条件下发生的概率进行累加获得。 全概率的例子 例1，已知某种疾病的发病率是0.001，即1000人中会有1个人得病。...发生的概率，需要将整个样本空间中其他概率事件也加入到其中来。 似然函数 似然函数个人理解是一种更加“公式化”的条件概率表达式，因为他书写的形式和条件概率相比并没有太大区别—— ? ,只是解读方式不同。...已知并且固定，那么表示这个是一个概率计算模型，表示：不同的样本 ? 在固定的模型参数 ? 的概率值。 如果 ? 已经并且固定，表示这是一个似然计算模型（统计模型），表示不同的样本用于求解模型参数 ?
概率论与数理统计 卡方分布_概率论与数理统计方差的性质概率论与数理统计——卡方分布的期望与方差E(X)=nD(X)=2n 若X为随机变量，且X满足X∼χ2(n)X\sim\chi^2(n)X∼χ2(n...今天说一说概率论与数理统计 卡方分布_概率论与数理统计方差的性质,希望能够帮助大家进步!!!...概率论与数理统计——卡方分布的期望与方差 E(X)=n D(X)=2n 若X为随机变量，且X满足 X ∼ χ 2 ( n ) X\sim \chi ^2(n) X∼χ2(n)，则期望E(X)=
其实在这之前，已经有两篇文章重点介绍过概率论的部分知识：协方差&贝叶斯统计的知识。...这篇笔记只是记录了花书中的重点，并不是通俗的解释相关概率论只是，想了解更多内容，下面是传送门： 【通俗理解】协方差 【通俗理解】贝叶斯统计 【机器学习】朴素贝叶斯算法分析 随机变量 随机变量（random...联合概率分布（joint probability distribution）：多个变量的概率分布。...概率密度函数p(x)并没有直接对特定的状态给出概率，而是给出落在面积为δx的无限小的区域内的概率为p(x)δx。 如果一个函数p是x的PDF，必须满足如下性质。...∫p(x)dx=1： 边缘概率（marginal probability）：定义在一组变量联合概率分布中，其中一个子集的的概率分布，称为边缘概率分布。
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