YbtOJ 915「欧拉函数」欧拉欧拉 题目链接：YbtOJ #915 小 A 有两个正整数 n,k。...由于小 A 特别喜欢欧拉，他定义一个序列 a 的权值 F(a)=\phi(\operatorname{lcm}(a_1,a_2,\cdots,a_k))。...题目即求： \prod_{i_1=1}^n\prod_{i_2=1}^n\cdots\prod_{i_n=1}^n\phi(\operatorname{lcm}(i_1,i_2,\cdots,i_n)) 把欧拉函数拆开...，不妨以每个质数 显然有 p^c\operatorname{lcm} 且 p^{c+1}\operatorname{lcm}。...我们又知道： \phi(p^c)=(p-1)p^{c-1} 考虑 (p-1) 的贡献，由于若 \exists j\in [1,n], pi_j，则该贡献就会被乘上，于是它的总贡献为：(p-1)^{n^k
#include int oula(int n)//欧拉函数 用于 求得 小于正整数 n 且与 n {int res=n; int i; for(i=2;i*i<=...n,i,j; scanf("%d",&n); for(i=1;i<=n;i++) printf("%d ",i) ; printf("\n"); for(i=1;i<=n;i++)//非线性欧拉...printf("%d ",oula(i)) ; printf("\n"); int a[100];a[1]=1; for(i=2;i<=n;i++)//初始 线性 欧拉函数 a[i]=i; for
大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君 欧拉函数： 就是对于一个正整数n，小于n且和n互质的正整数（包括1）的个数，记作φ(n) 。...欧拉函数的通式：φ(n)=n*(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)*(1-1/p4)……(1-1/pn) 其中p1, p2……pn为n的所有质因数，n是不为0的整数。...打表求欧拉函数： 听说这样比较快。。。。 void euler() { for(int i=2;i<maxn;i++){ if(!...E[j])E[j]=j; E[j]=E[j]/i*(i-1); } } } 当然，还有百度百科版的：( 欧拉筛素数同时求欧拉函数) void...phi[ i*prime[j] ] = phi[i] * (prime[j]-1); } } } } 欧拉函数的一些性质
实现功能：求出1-N的欧拉函数，然后应对若干个询问操作 其实就是个素数判定+欧拉函数性质的二合一 代码如下，我觉得应高不难懂，只要你知道欧拉函数的性质 var i,j,k,l,m,n:longint
输入N，输出phi(N) 这样的单个值欧拉函数程序一般见于部分数论题，以及有时候求逆元且取模的数不是质数的情况(逆元：A/B=A*Bphi(p)-1 (mod p)，一般常见题中p是质数，phi(p)-
#include <stdio.h> #include <string.h> #include <algorithm> using namespace std...
欧拉函数是求小于 x 并且和 x互质 的数的个数 通式：φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn) 其中 p1, p2……pn 为 x 的所有质因数...比如 12=223】 定理： 若 n 是素数 p 的 k 次幂，φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)，因为除了 p 的倍数外，其他数都跟 n 互质 欧拉函数是积性函数——若 m...phi[b]) */ int m[n],phi[n],p[n],nump; //m[i] 标记 i 是否为素数，0 为素数，1 不为素数；p 是存放素数的数组；nump 是当前素数个数；phi[i] 为欧拉函数...，我们要求出数 Ni 的欧拉函数值不小于 Ai。...给定一个数的欧拉函数值ψ(N)，我们怎么样才能求得最小的 N? 我们知道，一个素数 P 的欧拉函数值ψ(P)=P-1。
定义 欧拉函数ϕ(n)是不超过n且和n互质的正整数的个数。...下面直观地看看欧拉函数： n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 φ(n) 1 1 2 2 4 2 6 4 6 4 10 4 12 6 8 定理 定理0 算术函数f...定理3 若m、n互质，ϕ(mn)=ϕ(m)ϕ(n)，所以欧拉函数是积性函数。 因为mn互质，和m互质的数乘上和n互质的数就会和mn互质。...对于素数p，ϕ(p)=p−1，大于2的素数是奇数，那么它的欧拉函数就是偶数。...∑d|nϕ(d)表示所有n的约数的欧拉函数值求和，Cd是gcd(n,x)==d的x(1≤x≤n)的集合，d不同的Cd集合不相交。
解：用欧拉函数求解 φ(n)，一般被称为欧拉函数。其定义为：小于n的正整数中与n互质的数的个数。 ...= φ(n) * p， 若p为不为n的约数，则φ(n*p) = φ(n) * (p-1) 根据这两条，当我们得到一个 n 时，可以枚举质数 p 来递推的求解φ(n*p) 因此我们只需要在欧拉筛代码的基础上做一个小改动...，就可以得到递推求解φ(n)的算法： isPrime[] = true primeList = [] phi = [] // phi[n]表示n的欧拉函数 primeCount = 0 For i...primeCount = primeCount + 1 primeList[ primeCount ] = i phi[i] = i - 1 // 质数的欧拉函数为...){ int l,r,min=N-1; cin >> l >> r; for(int i=0;i<=r;i++){ ou[i]=i; } //求欧拉函数
欧拉函数 一、欧拉函数引入 二、欧拉函数的定义 三、欧拉函数一些公式，性质 四、三种求解方法 五、 题目 一、月月给华华出题 二、Poj2407（套用模板，简单题） 三、Poj2478（模板求和问题...什么是欧拉函数 任意给定正整数n，请问在小于等于n的正整数之中，有多少个与n构成互质关系。 计算这个值的方法叫做欧拉函数，用φ(n)表示。...二、欧拉函数的定义 定义： 欧拉函数φ(n)是一个定义在正整数集上得函数，φ(n)的值等于序列0，1，2，…，n-1中与n互素的数的个数。...三、欧拉函数一些公式，性质 p为质数,n为大于0自然数 φ( p)=p-1 欧拉函数是积性函数,但不是完全积性函数。...欧拉函数，欧拉定理，欧拉降幂 五、 题目 一、月月给华华出题 牛客：月月给华华出题 题目描述 因为月月是个信息学高手，所以她也给华华出了一题，让他求： ∑Ni=1igcd(i,N)∑i=1Nigcd
欧拉函数定义 欧拉函数 表示的是小于等于 且和 互质的正整数的个数。（易知 ） 2....欧拉函数公式 对于任意整数 ，若其质因数分解结果为 ，则欧拉函数公式为 ϕ(n)=n(1−1p1)(1−1p2)⋯(1−1pn)\begin{array}{c} \phi(n) = n(1-{...欧拉函数性质 （1）欧拉函数为积性函数。...{array} ϕ(p)=p−1 （6）对于质数 ， 的欧拉函数公式为 ϕ(pk)=(p−1)pk−1\begin{array}{c} \phi(p^k) = (p-1)p^{k-1} \...end{array} ϕ(pk)=(p−1)pk−1 （7）小于等于 且整除 的所有正整数的欧拉函数值之和等于 ，即 n=∑d∣nϕ(d)\begin{array}{c} n = \
欧拉函数 我们用 表示欧拉函数 定义： 表示对于整数n,小于等于n中与n互质的数的个数 性质 1....为积性函数 证明： 此处证明需要用到下面计算方法1中的内容，建议先看后面再回过头来看这里 假设存在p,q，且 将n,p,q进行质因数分解 那么...因为 显然 这种方法也是常见的证明一个函数是积性函数的方法 2. 3.1到n中与n互质的数的和为 计算方法 计算单值欧拉函数 假设我们需要计算 分情况讨论 1.当...} if(N>1) ans=ans/N*(N-1); printf("%d\n",ans); } return 0; } 线性筛 因为欧拉函数是积性函数...因此可以使用线性筛法 性质1 若p为素数，则 证明： 在1-p中，只有 性质2 若 且p为素数 则 这一步同时利用了性质1和欧拉函数的积性 性质3 若 ，且p为素数，
欧拉定理 定义 图片 证明 欧拉定理的证明与费马小定理的证明类似，需要以下引理。 图片 tips 此引理的证明使用反证法即可。 下证欧拉定理。...图片 欧拉函数 定义 上面所提及的 图片 即为欧拉函数，表示小于m且与m互素的正整数的个数。 其有以下计算公式。 图片 证明 欧拉函数可由由积性函数的性质得出。 证明所需要引理。...引理2 对一切正整数n, 有 图片 图片 实现 给定整数n，求得其欧拉函数的一个实现如下。...// 求单个整数的欧拉函数 int Euler(int x) { int ans = x, m = (int)sqrt(x*1.0)+1; for(int i = 2; i < m; +...有些题目也需要转化为带有欧拉函数的公式。
如 欧拉函数 1. 定义 什么是欧拉函数？ 任意给定正整数n，请问在小于等于n的正整数之中，有多少个与n构成互质关系？（比如，在1到8之中，有多少个数与8构成互质关系？）...计算这个值的方法就叫做欧拉函数，用φ(n)表示。在1到8之中，与8形成互质关系的是1、3、5、7，所以 φ(n) = 4。 2. 计算 欧拉函数计算公式 这个p是什么呢？...一个正整数 n 可以通过分解质因数得到 例如n = 100我们就可以写成 100 = 2^2 * 5^2 欧拉值 φ(n) = 100 * (1- 1/2) * (1 - 1/5) 那么知道了这个公式...} } if (n > 1) { ans = ans / n * (n-1); } return ans; } 由于本文主要目的是讲如何计算，欧拉函数公式的推导过程可以参考维基百科...：欧拉函数 发布者：全栈程序员栈长，转载请注明出处：https://javaforall.cn/172050.html原文链接：https://javaforall.cn
计算这个值的方法就叫做欧拉函数，以φ(n)表示。在1到8之中，与8形成互质关系的是1、3、5、7，所以 φ(n) = 4。 φ(n) 的计算方法并不复杂，但是为了得到最后那个公式，需要一步步讨论。...第四种情况 如果n可以分解成两个互质的整数之积， n = p1 × p2 则 φ(n) = φ(p1p2) = φ(p1)φ(p2) 即积的欧拉函数等于各个因子的欧拉函数之积。...这一条的证明要用到“中国剩余定理”，这里就不展开了，只简单说一下思路：如果a与p1互质(a<p1)，b与p2互质(b<p2)，c与p1p2互质(c<p1p2)，则c与数对 (a,b) 是一一对应关系。...根据第4条的结论，得到 再根据第3条的结论，得到 也就等于 这就是欧拉函数的通用计算公式。...比如，1323的欧拉函数，计算过程如下： 发布者：全栈程序员栈长，转载请注明出处：https://javaforall.cn/172052.html原文链接：https://javaforall.cn
欧拉函数 欧拉函数， \varphi(n) ， \leq n 的与 n 互质的数的个数。...有： \varphi(n) = n \times \prod \limits _{i=1}^{s} \dfrac{p_i - 1}{p_i} 证明： 已知欧拉函数是积性函数。...积性函数 积性函数： \forall a,b,\gcd(a,b) = 1 ， \varphi(a\times b) = \varphi(a) \times \varphi(b) 证明： 可以利用中国剩余定理证明欧拉函数的积性...欧拉筛可以用于筛积性函数。...可以使用扩展欧拉函数减小指数，以简化计算。 先用质因数分解的方法求出 \varphi(m) ，时间复杂度 O(\sqrt{m}) . 随后边读边模，最后用快速幂求解即可。
2333333333333333333333333333333333333333333333333 样例输出 Sample Output 165120 172 2304 10 8 数据范围及提示 Data Size & Hint 1<n<9223372036854775807 n欧拉函数的性质...（以下性质中p为素数） n1、 n2、 n3、 n n根据以上性质可以得出欧拉函数的线性筛法。...algorithm> 6 #define lli long long int 7 using namespace std; 8 void read(lli &n) 9 { 10 char c=...'+';lli x=0;bool flag=0; 11 while(c'9') 12 {c=getchar();if(c=='-')flag=1;} 13 while...(c>='0'&&c<='9') 14 {x=x*10+(c-48);c=getchar();} 15 flag==1?
性质 （以下只列举我们需要用到的一些性质） 我们用phi(N)表示欧拉函数。 当N为质数时，显然phi(N)=N-1。 2.根据算数基本定理，N=p1C1*p2C2*…*pkCk 。...2的证明： 根据欧拉函数通式， phi(N)=N*(p1-1)/p1*(p2-1)/p2*…*(pk-1)/pk， phi(N/p1)=N/p1*(p2-1)/p2*…*(pk-1)/...直接法 模板题链接：欧拉函数 代码实现： int Euler(int x) { int res=x;for(int i=2;i<=x/i;i++) { if(x%i==0...（可参考本人博客：数论——质数筛法），由于它在筛选的同时也求出了每个数的最小质因子，故而在其基础上求出欧拉函数即可。...模板题链接：筛法求欧拉函数 代码如下： typedef long long ll; const int N = 1000010; int n; int prime[N],cnt,v[N]; int phi
什么是欧拉函数 欧拉函数是小于x的整数中与x互质的数的个数，一般用φ(x)表示。特殊的，φ(1)=1。...欧拉函数性质的粗略证明 1.因为p是质数，所以1到n-1都与n互质。...求欧拉函数 埃拉托斯特尼筛求欧拉函数 观察欧拉函数的公式，φ(x)=x ∏ i = 1 n ( 1 − 1 p i ) \prod_{i=1}^n{(1-\frac{1}{p_i})} ∏i=1n(1...那要求1~n所有数的欧拉函数呢？可以用埃拉托斯特尼筛的思想，每次找到一个质数，就把它的倍数更新掉。...} 总结 有关欧拉函数的性质，只需做个了解，而求欧拉函数的代码，却是一定要会写的。
欧拉函数是计算在1-n中n的质因数的个数； φ（x）=x*(p1-1)/p1*(p2-1)/p2*(p3-1)/p3…*(pn-1)/pn 其中p1,p2,p3…是x的质因数； 若x是质数: φ(x...具体的证明和其他介绍就不多说了=.= 下面开始介绍算法。 暴力求一个欧拉值 嗯，没错很暴力。...1); while(x%i==0) x/=i; } } if(x>1) res=res/x*(x-1); return res; } 打欧拉函数表...maxn 100000000 using namespace std; int n,tot,p[maxn],m[maxn],phi[maxn];//p-->质数，m-->i的最小质因数，phi-->欧拉值...m[i])//i是质数 { p[tot++]=m[i]=i;//i加入质数表，更新i的最小质因数为i phi[i]=i-1;//i的欧拉函数值
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