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最全二分图总结（最大匹配、最大权匹配、点覆盖、独立集、路径覆盖，带证明和例题）

设G=(V,E)是一个无向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的子集(A,B)，并且图中的每条边（i，j）所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A,j in B)，则称图G为一个二分图...简而言之，就是顶点集V可分割为两个互不相交的子集，并且图中每条边依附的两个顶点都分属于这两个互不相交的子集，两个子集内的顶点不相邻。（简单说就是把一个图的顶点分成两个集合，且集合内的点不邻接） 2....最小路径点覆盖定义：在一个有向无环图中（DAG）用最少的不相交的简单路径覆盖所有的点。...image.png 如上图（左）的最小路径覆盖为：1->2->5, 3, 4（因为不能相交，所有路径数为3），我们很轻松的可以发现一个性质：每条路径的出度和入度都不超过1（因为不能相交） – 定理：拆点构造二分图...– 最小路径可重复点覆盖：在一个有向无环图中（DAG）用最少的可相交的简单路径覆盖所有的点。 – 方法：先对DAG求一次传递闭包，然后当作求最小路径点覆盖。

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动态规划电路布线问题（Java代码实现）

电路布线问题分析 --- 电路布线的官方解释我就不加赘述了，通俗的讲，就是求最大不相交子集，也就是尽可能多的在线路不相交的情况下的布线情况。...N(i, j)的最大不相交子集为 MNS(i,j)。...Size(i,j) = |MNS(i,j)|（最大不相交子集线路的条数） - N(i,j): 上端接线柱从1到i，下端接线柱从1到j，在这个范围内的接线情况。...比如上述图中，如果是 N(4, 6), 那么能够出现的线只有两条，即{4->2, 3->4}，那么Size(4,6) = 1 1....这种情况下，MNS(i,j) - {(i,Π(i))}是N(i-1, Π(i)-1) 的最大不相交子集。 3.

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【图论】简单概念及公式入门 ( 完全图 | 二部图 | 连通图 | 欧拉回路 | 哈密顿圈 | 平面图 | 欧拉定理 )

] 八、欧拉定理九、哈密顿圈 ( 闭路 / 圈 ) [ 遍历图中所有的顶点 | 每个顶点只经过一次 ] 十、哈密顿圈相关定理十一、平面图十二、面的次数与边数定理 ( 面次数之和...一、完全图完全图概念 : 1.条件 1 : G 为 n (n \geq 1) 阶无向简单图 ; 2.条件 2 : 若 G 中每个顶点均与其余的 n-1 个顶点相邻 ; 3.结论...: 则称 G 为 n 阶无向完全图 , 记做 K_n ; G 的顶点集是 V(G) , 其顶点个数为 |V(G)| , 则称 G 为 n 阶图 ; ---- 二...八、欧拉定理欧拉定理 : 无向图存在欧拉回路的充要条件 : ① 图是连通的 ; ② 图中没有度数是奇数的顶点 ; 与顶点 v 关联的边数之和 ( 环算 2 条边 ) 就是该顶点的度...---- 十一、平面图平面图定义 : 1.条件 : G= 是一个无向图 ; 2.行为 : 将 G 的所有的节点和边画在平面上 , 使任何两条边除了端点外没有

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一文学会链表快慢指针解题技巧

举例：给定 head->1->2->3->4->5->NULL, K=3,右旋后即为 head->3->4->5-->1->2->NULL 分析：这道题其实是对求倒序第 K 个位置的的一个变形，主要思路如下...，相信下面这道题不是什么难事，限于篇幅关系，这里不展开，大家可以自己试试输入一个链表，删除该链表中的倒数第 k 个结点小试牛刀之二判断两个单链表是否相交及找到第一个交点,要求空间复杂度 O(1)。...,这是快慢指针最常见的用法判断链表是否有环，如果有，找到环的入口位置（下图中的 2），要求空间复杂度为O(1) ?...假设上图中的 7 为快慢指针相遇的结点，不难分析出相遇时慢指针走了 L + S 步，快指针呢，它走得比慢指针更快，它除了走了 L + S 步外，还额外在环里绕了 n 圈，所以快指针走了 L+S+nR...，怎么求环的长度？

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二分图匹配详解

把有向图的所有节点i拆为左边点集的i和右边点集的i’，如果有向图中有i到j的有向边，那么添加一条二分图的i到j’的无向边。...最终如果新二分图的最大匹配数m==有向图的节点数n，那么说明该有向图的所有节点能被正好1个或多个不相交(没有公共节点)的有向环覆盖。 ...本问题解法：把有向图的所有节点i拆为左边点集的i和右边点集的i’，如果有向图中有i到j的有向边，那么添加一条二分图的i到j’的无向边。...然后：将二分图的所有边看成是从XiXi到YjYj的一条有向边，容量为1。求最大匹配就是求ss 到tt 的最大流。最大流图中从XiXi 到YjYj 有流量的边就是匹配集合中的一条边。...具体证明参考：百度百科:Konig定理二分图的最小顶点覆盖最大独立集最大团有向图中应用二分匹配求有向图最小路径覆盖：对于有向图的最小路径覆盖，先拆点，将每个点分为两个点，左边是1-n个点

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图论--最大团问题

一、定义一个无向图 G=(V，E)，V 是点集，E 是边集。取 V 的一个子集 U，若对于 U 中任意两个点 u 和 v，有边 (u,v)∈E，那么称 U 是 G 的一个完全子图。...简单来说，极大团是增加任一顶点都不再符合定义的团，最大团是图中含顶点数最多的极大团，最大独立集是除去图中的团后的点集，而最大团问题就是在一个无向图中找出一个点数最多的完全图。...二、常用结论 1、最大团点的数量=补图中最大独立集点的数量 2、二分图中，最大独立集点的数量+最小覆盖点的数量=整个图点的数量 3、二分图中，最小覆盖点的数量=最大匹配的数量 4、图的染色问题中，最少需要的颜色的数量...对于弦图来说，求最大团一般使用 MCS 算法，而对于一般图来说，常使用 Bron-Kerbosch 算法【Bron-Kerbosch 算法】 Bron-Kerbosch 算法用于计算图中的最大的全连通分量...3、一般无向图最大独立集的题目：POJ 1419 Graph Coloring 4、来一个染色问题：POJ 1129 Channel Allocation

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C++ 图进阶系列之剖析二分图的染色算法和匈牙利算法

前言二分图又称作二部图或称为偶图，是图论中的一种特殊类型，有广泛的应用场景。什么是二分图？二分图一般指无向图。看待问题要有哲学思想，有二分图也可以是有向图。...二分图的特点：理论而言，图中至少有一个环，如果图中无环，则图退化成树。在研究树和图时，一般会把树问题当成图问题的子类。二分图中不能有奇数个顶点组成的环。如何验证二分图中的环不能是奇数个顶点？...要求选出一些边，所有边中没有公共顶点的边称为匹配边，求最多匹配边的算法为最大匹配算法。如下图，标记为红色的边为匹配边，蓝色边为不匹配边。且最大匹配数为 3。...求二分图最大匹配边的算法：用增广路求最大匹配（称作匈牙利算法，匈牙利数学家Edmonds于1965年提出）。转换成网络流模型。本文仅讲解匈牙利算法，网络流算法有兴趣者可自行了解。...未匹配边的数量比匹配边的数量多1，这个原由应该很好理解。匈牙利算法的核心思想：枚举所有未匹配点，找增广路径。直到找不到增广路径。如下描述匈牙利算法的流程：找出如下图结构的最大匹配。

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匈牙利算法详解_匈牙利算法加上最大值

若能将无向图G=(V,E)的顶点V划分为两个交集为空的顶点集，并且任意边的两个端点都分属于两个集合，则称图G为一个为二分图。...可以看到，在上面的二分图中，每条边的端点都分别处于点集X和Y中。 2. 匹配图G的一个匹配是由一组没有公共端点的不是圈的边构成的集合。...最优匹配最优匹配又称为带权最大匹配，是指在带有权值边的二分图中，求一个匹配使得匹配边上的权值和最大。一般X和Y集合顶点个数相同，最优匹配也是一个完备匹配，即每个顶点都被匹配。...，是指用尽量少的不相交简单路径覆盖二分图中的所有顶点。...二分图的最小路径覆盖数=|V|-二分图的最大匹配数； 7. 最大独立集最大独立集是指寻找一个点集，使得其中任意两点在图中无对应边。

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【41期】盘点那些必问的数据结构算法题之链表

如链表1是 1->3->4->NULL，链表2是 2->5->6->7->8->NULL，则合并后的链表为 1->2->3->4->5->6->7->8->NULL。...当然，找相交结点还有更好的方法。解2：两个链表如果相交，那么它们从相交后的节点一定都是相同的。...解2：更好的一种方法是 Floyd判圈算法，该算法最早由罗伯特.弗洛伊德发明。...如果原来链表非空，则找到第一个大于该结点值的结点，并插入到该结点的前面。如果插入的结点值最大，则插入在尾部。...一个直观的想法是，假定链表长度为L，则倒数第K个结点就是顺数的 L-K+1 个结点。如链表长度为3，倒数第2个，就是顺数的第2个结点。这样需要遍历链表2次，一次求长度，一次找结点。

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图的最短路径算法

确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。...确定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。全局最短路径问题：求图中所有的最短路径。适合使用Floyd-Warshall算法。...常用算法 Dijkstra最短路算法（单源最短路）图片例子和史料来自：http://blog.51cto.com/ahalei/1387799 算法介绍：迪科斯彻算法使用了广度优先搜索解决赋权有向图或者无向图的单源最短路径问题...该算法常用于路由算法或者作为其他图算法的一个子模块。指定一个起始点（源点）到其余各个顶点的最短路径，也叫做“单源最短路径”。例如求下图中的1号顶点到2、3、4、5、6号顶点的最短路径。 ?...N：节点数量通过上面的代码我们可以看出，我们实现的Dijkstra最短路算法的时间复杂度是O(N^2)。

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盘点那些必问的数据结构算法题之链表

当然，找相交结点还有更好的方法。解2：两个链表如果相交，那么它们从相交后的节点一定都是相同的。.../** * 链表相交判断，如果相交返回相交的结点，否则返回NULL。...解2：更好的一种方法是 Floyd判圈算法，该算法最早由罗伯特.弗洛伊德发明。...如果原来链表非空，则找到第一个大于该结点值的结点，并插入到该结点的前面。如果插入的结点值最大，则插入在尾部。...一个直观的想法是，假定链表长度为L，则倒数第K个结点就是顺数的 L-K+1 个结点。如链表长度为3，倒数第2个，就是顺数的第2个结点。这样需要遍历链表2次，一次求长度，一次找结点。

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启动优化 - 有向无环图

重要概念有向无环图（Directed Acyclic Graph, DAG）是有向图的一种，字面意思的理解就是图中没有环。常常被用来表示事件之间的驱动依赖关系，管理任务之间的调度。...若结果 list 与所有节点数量相等，则证明不存在环。...否则，存在环实例讲解下图所示的有向无环图，采用入度表的方法获取拓扑排序过程。...O(n+e) DFS 算法从上面的入度表法，我们可以知道，要得到有向无环图的拓扑排序，我们的关键点要找到入度为 0 的顶点。...小结有向无环图的拓扑排序其实并不难，难度中等。通常，我们一般使用 BFS 算法来解决，DFS 算法比较少用。

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图机器学习入门：基本概念介绍

一个图有一组结点N和边E, n是顶点的数目，m是边的数目。连接的两个节点被定义为相邻(节点1相邻或邻接4)。当我们称网络的大小N时，通常指的是节点的数量(链路或边的数量通常称为L)。...有向与无向图可以是无向图或有向图: 无向图:边是无向的，关系是对称的。画边的顺序并不重要。有向图:边是有向的(也称为有向图)，顶点之间的边可以有方向，可以用箭头表示(也称为弧线)。...可以看到在矩阵的对角线上没有1意味着没有自环(节点与自身相连) 对于一个节点i计算一个节点的边(或它的度)，沿着行或列求和: 无向图中的总边数是每个节点的度之和(也可以是邻接矩阵中的值之和): 因为在无向图中...完全图通常用于理解图论中的一些复杂问题(连通性例子等)。图的最大密度是一个完全图中可能关系的总数。...连通图是指所有顶点都可以通过一条路径连接起来的图。不连通图是指有两个或多个连通分量的图最大的隔离的节点子集被称为“孤岛”（island）。

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一文搞懂面试链表题

求单链表的中间节点题目描述：求单链表的中间节点，如果链表的长度为偶数，返回中间两个节点的任意一个，若为奇数，则返回中间节点。...例如，链表1->2->3->3->4->4->5 处理后为 1->2->5 [剑指offer] 删除链表中重复的结点 13....判断两个无环单链表是否相交题目描述：给出两个无环单链表解题思路：方法一最直接的方法是判断 A 链表的每个节点是否在 B 链表中，但是这种方法的时间复杂度为 O(Length(A) * Length...两个链表相交扩展：求两个无环单链表的第一个相交点题目描述：找到两个无环单链表第一个相交点，如果不相交返回空，要求在线性时间复杂度和常量空间复杂度内完成。...两个链表相交扩展：判断两个有环单链表是否相交题目描述：上面的问题是针对无环链表的，如果是链表有环呢？

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图的最短路径算法

确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。...确定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。全局最短路径问题：求图中所有的最短路径。适合使用Floyd-Warshall算法。...常用算法 Dijkstra最短路算法（单源最短路）图片例子和史料来自：http://blog.51cto.com/ahalei/1387799 算法介绍：迪科斯彻算法使用了广度优先搜索解决赋权有向图或者无向图的单源最短路径问题...该算法常用于路由算法或者作为其他图算法的一个子模块。指定一个起始点（源点）到其余各个顶点的最短路径，也叫做“单源最短路径”。例如求下图中的1号顶点到2、3、4、5、6号顶点的最短路径。 ?...因为1->2->3->1->2->3->…->1->2->3这样路径中，每绕一次1->-2>3这样的环，最短路就会减少1，永远找不到最短路。其实如果一个图中带有“负权回路”那么这个图则没有最短路。

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【计算理论】计算复杂性 ( NP 完全问题 | 顶点覆盖问题 | 哈密顿路径问题 | 旅行商问题 | 子集和问题 )

G , \rm G 的点集覆盖定义 : 找到无向图 \rm G 的点集子集 \rm V , 使得无向图 \rm G 中的任何一条边 , 都与点集子集 \rm V 的至少一个节点是接触的...| G 是无向图 , 包含 k 个节点的点集覆盖 \} 其中 \rm k 个节点的点集覆盖就是无向图中有 \rm k 个点的点集子集 , 满足点集覆盖要求 ; 点集覆盖是 \rm NP...哈密顿圈 , 经过所有顶点的道路称为哈密顿道路 , 又称为哈密顿路径 ; 哈密顿路径问题就是找到无向图中的哈密顿路径 ; 涉及到的其它概念 : … 途径 : 顶点和边的交替出现的序列...与哈密顿圈 ; 哈密顿路径问题是 \rm NP 完全的 ; 无向图中哈密顿路径是否存在 , 该问题也是 \rm NP 完全的 ; 前者是求出具体的哈密顿路径 , 后者求哈密顿路径是否存在...; 三、旅行商问题 ---- 旅行商问题 : 无向图中 , 每条边都有一个权重 , 求是否有一条哈密顿路径的权重之和 , 不超过给定的自然数 \rm W ; 旅行商问题是 \rm NP 完全的

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带你认识各种图(易懂)

若任意两顶点都是连通的，则图就是连通图。不连通图有向则称为强连通图。...连通分量强调：要是子图；子图是连通的；连通子图含有极大顶点数；极大顶点数就是最大连通子图上的顶点数量。具有极大顶点数的连通子图包含依附于这些顶点的所有边。...无向图中的极大连通子图称为连通分量，有向的则称为强连通分量。非连通图的连通分量。它的连通分量有向但是非强连通图的(极大)强连通分量。它的强连通分量。连通生成树。...所谓的连通图的生成树是一个极小的连通子图，它含有图中全部的n个顶点，但只有足以构成一个树的n-1条边。无向图的连通生成树。...一个有向图的生成森林由若干棵有向树组成，含有图中全部顶点，但只有足以构成若干棵不相交的有向树的弧例如：一下三张图，图1是一棵有向图。

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代码随想录day02--链表

示例: 输入: 1->2->3->4->5->NULL 输出: 5->4->3->2->1->NULL 代码 /** * Definition for singly-linked list....题目地址：链表相交给你两个单链表的头节点 headA 和 headB ，请你找出并返回两个单链表相交的起始节点。...简单来说，就是求两个链表交点节点的指针。这里要注意，交点不是数值相等，而是指针相等。代码 /** * Definition for singly-linked list....如果链表无环，则返回 null。为了表示给定链表中的环，使用整数 pos 来表示链表尾连接到链表中的位置（索引从 0 开始）。如果 pos 是 -1，则在该链表中没有环。...如图所示：那么相遇时： slow指针走过的节点数为: x + y， fast指针走过的节点数：x + y + n (y + z)，n为fast指针在环内走了n圈才遇到slow指针，（y+z）为一圈内节点的个数

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二分图详解

设G=(V,E)是一个无向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的子集(A,B)，并且图中的每条边（i，j）所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A,j in B)，则称图G为一个二分图...简而言之，就是顶点集V可分割为两个互不相交的子集，并且图中每条边依附的两个顶点都分属于这两个互不相交的子集，两个子集内的顶点不相邻。...如果一个匹配中，图中的每个顶点都和图中某条边相关联，则称此匹配为完全匹配，也称作完备匹配。...因为接下来要讲的匈牙利算法就是去寻找增广路而求出最大匹配数的(一句废话)，对于求二分图最大匹配的算法可以用网络流去跑一个最大流求解，还可以用二分图的常见算法匈牙利算法(Hungarian Algorithm...路径上的点一定是一个在X边，一个在Y边，交错出现。 3. 起点和终点都是目前还没有配对的点。 4. 未匹配边的数量比匹配边的数量多1。

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Android 启动优化（一） - 有向无环图

重要概念有向无环图（Directed Acyclic Graph, DAG）是有向图的一种，字面意思的理解就是图中没有环。常常被用来表示事件之间的驱动依赖关系，管理任务之间的调度。 ?...若存在一条从顶点 A 到顶点 B 的路径，那么在序列中顶点 A 出现在顶点 B 的前面由于有这个特点，因此常常用有向无环图的数据结构用来解决依赖关系。...若结果 list 与所有节点数量相等，则证明不存在环。...O(n+e) DFS 算法从上面的入度表法，我们可以知道，要得到有向无环图的拓扑排序，我们的关键点要找到入度为 0 的顶点。...小结有向无环图的拓扑排序其实并不难，难度中等。通常，我们一般使用 BFS 算法来解决，DFS 算法比较少用。

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