//万能头文件 #include #include //算法库 ACM using namespace std; //背包容器 int wei
一般的求解器都是有针对性地对某一类问题进行求解，相较之下，能解决这么多种问题的OR-Tools简直堪称全能王。...OR-Tools集合了各种先进的优化算法，它所包含的求解器主要分为约束规划、线性和整数规划、车辆路径规划以及图论算法这四个基本求解器，能够按照优化问题的类型，提供相对应的不同类和接口。...其中背包问题还可细分为多维背包问题(多维度物理量限制)和多背包问题(多个背包)。...OR-Tools为典型的背包问题提供了专门的背包问题求解器(knapsack solver)，而多背包问题和装箱问题需要使用通用的混合整数规划求解器(MIP)来求解。...主要有员工排班和车间作业调度(JSP)这两种调度问题。员工排班是组织在时间表和人员配置要求约束下为员工创建合理的工作安排。而车间作业问题是一种常见的在多台机器上处理多个作业的调度问题。
背包问题是一类经典的动态规划问题，目标是在给定约束（如总重量或价格）的条件下，找到最大化价值的物品组合。背包问题可以分为两种：0-1背包问题和完全背包问题。0-1背包问题：每个物品只能选择一次。...完全背包问题：每个物品可以选择多次。满减优惠的凑单问题可以看作是一个变种的背包问题，在一定的预算约束下，选择商品使得总价值最大化且满足满减条件。...背包算法的原理与理论背包问题是经典的组合优化问题，主要有以下几种情况：0-1背包问题：给定n种物品，每种物品都有自己的重量和价值。目标是在不超过背包容量的前提下，选择某些物品使得总价值最大化。...计算概念和动态规划公式为了计算背包问题，我们通常会使用动态规划的方法。动态规划是一种将问题分解为更小子问题并逐步解决的策略。对于背包问题，我们通过构建一个二维数组dp，逐步计算每个阶段的最优解。...目标：我们需要计算dp[n][W] ，即在考虑所有物品时，背包容量为W时的最大价值。满减设计算法的引入在满减优惠的场景中，我们可以将“凑满减”的问题抽象为类似背包问题的动态规划求解过程。
你也先可以尝试做做，也欢迎你向我留言补充，你觉得与背包相关的 DP 类型题目 ~ 背包问题本质 背包问题是「动态规划」中十分经典的一类问题，背包问题本质上属于组合优化的「 完全问题」。...如果你不了解什么是「 完全问题」，没有关系，丝毫不影响你求解背包问题。 你可以将「 完全问题」简单理解为「无法直接求解」的问题。...如果按照常见的「背包问题」的题型来抽象模型的话，「背包问题」大概是对应这样的一类问题： 泛指一类「给定价值与成本」，同时「限定决策规则」，在这样的条件下，如何实现价值最大化的问题。...这样做的空间复杂度和「滚动数组」优化的空间复杂度是一样的。但仍然具有意义，而且这样的「一维空间」优化，是求解其他背包问题的基础，需要重点掌握。...理解「一维空间优化解法」十分重要，这是我们之后学习其他背包问题的基础。 其他背包问题一定程度上都能转化成「01背包」来进行求解，或是根据「01背包」的转移方程来稍作修改进行求解。
求解原问题：根据子问题的解，通过状态转移方程得到原问题的解。...迭代计算：根据状态转移方程和边界状态，通过迭代计算dp数组的值，从dp[3]开始计算，一直计算到dp[n]。 求解原问题：最终得到dp[n]即为爬到第n级楼梯的不同爬法总数。...举一反三 动态背包 思想总结 这类应用于一类优化问题，其中需要在给定的一组选择中做出最优决策，以获得最大的收益或最小的成本可以通过以下步骤来思考和解决： 定义状态：首先，需要明确问题的状态。...也就是说，如何根据已知的状态来计算下一个状态。状态转移方程通常是通过观察问题的特点和约束条件得出的。 处理边界情况：在动态规划中，边界情况通常是最简单的子问题，其解是已知的或可以直接计算的。...对于动态背包问题，边界情况可能是背包容量为0或没有物品可选时的情况。 填充状态表格：根据定义的状态和状态转移方程，可以创建一个二维表格或数组来存储中间结果。
事实上，在考虑0-1背包问题时，应比较选择该物品和不选择该物品所导致的最终方案，然后再作出最好选择。由此就导出许多互相重叠的子问题。这正是该问题可用动态规划算法求解的另一重要特征。...这要求原问题和子问题 问题规模不同，问题性质相同 对于 0-1 背包问题和背包问题的解法 0-1 背包问题不能用贪心算法求解，但可以使用动态规划或搜索算法求解，而背包 问题则可以用贪心算法求解 具有最优子结构的算法有...使用回溯法进行状态空间树裁剪分支时一般有两个标准：约束条件和目标函数的界，N皇后问题和0/1背包问题正好是两种不同的类型，其中同时使用约束条件和目标函数的界进行裁剪的是 0/1背包问题 ，只使用约束条件进行裁剪的是...（1）求解目标不同：回溯法的求解目标是找出解空间树中满足约束条件的所有解，而分支限界法的求解目标则是找出满足约束条件的一个解，或是在满足约束条件的解中找出在某种意义下的最优解。...算法分析的目的 1）对算法某些特定输入，估算该算法所需的内存空间和运行时间。 2）为了建立衡量算法优劣的标准，用比较同一类问题的不同算法。
背包问题第四讲——混合背包问题 背包问题是一类经典的组合优化问题，通常涉及在限定容量的背包中选择物品，以最大化某种价值或利益。...混合背包问题 混合背包问题是一类组合优化问题，它结合了01背包问题、完全背包问题和多重背包问题的特点。...在混合背包问题中，有多种物品和一个固定容量的背包，每种物品有自己的重量和价值，并且每种物品可能有使用次数的限制。...可以采用动态规划的方法，类似于多重背包问题，但需要考虑不同物品的数量限制。一种常见的方法是将每种物品拆分成多个子物品，其中每个子物品对应放入背包的数量。...然后，可以使用类似于多重背包问题的解法来处理这个扩展后的问题。 总体而言，解决混合背包问题需要综合考虑每种物品的多重性和数量限制，选择适当的方法进行求解。
多阶段决策过程,是指这样的一类特殊的活动过程,问题可以按时间顺序分解互联系的阶段，在每-个阶段都要作出决策,全部过程的决策是-个决策序列。...二、能采用动态规划求解的问题的一般要具有3个性质： 最优化原理：如果问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的，就称该问题具有最优子结构，即满足最优化原理。...a.0/1背包 有N种物品（每种物品1件）和一个容量为V的背包。放入第 i 种物品耗费的空间是Ci，得到 的价值是Wi。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。...本题可转化为动态规划算法求解最长公共子序列问题，然后用总字符串长度减去最长子序列长度，便得出问题的答案。 先将给定的初始字符串S1反过来排列，设为S2，求S1和S2的最长公共子序列便可。...III 带限制条件的背包 zoj 3638 Fruit Ninja 背包的转化成组合数学 hdu 3092 Least common multiple 转化成完全背包问题 poj 1015 Jury
背包问题第二讲——多重背包问题 背包问题是一类经典的组合优化问题，通常涉及在限定容量的背包中选择物品，以最大化某种价值或利益。...二进制优化解法 多重背包问题的二进制优化是一种常用的优化方法，它将多个相同的物品拆分成若干份，每份数量为2^k个。这样，问题就转化为了一个0/1背包问题，可以用0/1背包问题的解法来处理。...2.转化为0/1背包问题： 将每个拆分后的子物品视为一个新的物品，其重量和价值分别为原物品的重量和价值乘以拆分的数量。这样，问题就被转化为一个0/1背包问题。...3.求解0/1背包问题： 使用动态规划等方法来解决新的0/1背包问题。 4.合并解： 将得到的解合并起来，得到原多重背包问题的解。...这种方法的优点在于将多重背包问题转化为了0/1背包问题，利用了0/1背包问题的解法，同时减小了问题规模。这对于规模较大的问题可以提高求解效率。
还是前面的0-1背包问题，分别添加和不添加重复计算判断语句，查看效果 #include #define MaxWeight 9 //背包承载极限 using namespace...动态规划求解0-1背包 把整个求解过程分为n个阶段，每个阶段会决策一个物品是否放到背包中。...复杂度 上面就是一种用动态规划解决问题的思路。把问题分解为多个阶段，每个阶段对应一个决策。...4. 0-1背包升级版（带价值） 每个物品对应着一种价值，不超过背包载重极限，求可装入背包的最大总价值。...5. 0-1背包升级版（带价值）DP解法 把整个求解过程分为n个阶段，每个阶段会决策一个物品是否放到背包中。 每个阶段决策完之后，背包中的物品的总重量以及总价值，会有多种情况。
背包问题第八讲——背包问题求方案数 背包问题是一类经典的组合优化问题，通常涉及在限定容量的背包中选择物品，以最大化某种价值或利益。...背包问题求方案数 背包问题是一个组合优化问题，其中背包可以是01背包问题、完全背包问题、多重背包问题等。每种背包问题都有不同的求解方法。这里博主将分别介绍这三种背包问题的基本概念和求解方案数的方法。...求解方案数： 01背包问题的方案数通常不是直接求解的目标，因为可能非常巨大，而且求解最大价值更有意义。...给定一组物品，每种物品都有自己的重量、价值和一个数量限制，在不超过背包容量的前提下，选择物品的组合使得总价值最大。 求解方案数： 多重背包问题可以通过动态规划或贪心算法求解。...给定一组物品，每种物品都有一个重量和价值，在不超过背包容量的前提下，选择物品的组合使得总价值最大。 求解方案数： 完全背包问题的方案数可以通过动态规划求解。
一、概述 背包问题是一类比较 特殊的动态规划 问题，这篇文章的侧重点会在答案的推导过程上，我们还是会使用之前提到的解动态规划问题的四个步骤来思考这类问题。...二、问题雏形 首先我们来看看这样一个问题： 有 N 件物品和一个容量为 V 的背包。第 i 件物品的体积是 C[i]，价值是 W[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。...求出最大总价值 话不多说，我们还是按之前的分析四步骤来看看这个问题： 问题拆解 我们要求解的问题是 “背包能装入物品的最大价值”，这个问题的结果受到两个因素的影响，就是背包的大小，以及物品的属性（包括大小和价值...还有一类背包问题，物品可以被选多次或者 0 次，这类问题我们称为 完全背包问题，这类背包问题和 01 背包问题很类似，略微的不同在于，在完全背包问题中，状态 dp[i][j] 依赖的是 dp[i - 1...，理解了模版问题，也就理解了一类问题，算是学习性价比很高的一类动态规划问题。
+) //遍历每一类物品 for(int j=wei[i];j一类物品选了几件。...背包情况的dp[k]和dp[k-weight[i]]+value[i]的最大值 dp[k]=max( dp[k],dp[k-weight[i]]+value[i] ）; } 二进制优化...优化原因： 多重背包转换成 01 背包问题就是多了个初始化，把它的件数C 用 分解成若干个件数的集合，这里面数字可以组合成任意小于等于C 的件数，而且不会重复，之所以叫二进制分解，是因为这样分解可...，虽然有重复但总是能把 13 以内所有的数都考虑到了，基于这种 思想去把多件物品转换为，多种一件物品，就可用01 背包求解了。...cnt++; c[i]-=j; } if(c[i]>0){ alue[cnt]=c[i]*v[i]; weight[cnt]=c[i]*w[i]; cnt++; } } 01背包求解
硬币找零问题是一种经典的背包问题。 顾名思义，就是你去商店买完东西，售货员会给你用若干枚硬币找钱，如何使用这些硬币完成找零。...问题一：组成当前值所需最少的硬币数目 给定不同面额的硬币 coins 和一个总金额 amount。编写一个函数来计算可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。...解决方案 使用完全背包求解。 将不同面额的硬币抽象为成不同的物品，面额为物品的重量，amount为最大容量，每个物品的价值均为一，如此该问题就可以转化为求解恰好装满背包能获得最低的价值问题。...转移方程如下： dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - coins[i]] + 1) 具体推导感兴趣的朋友可以看我以前写的这篇博客：零一背包和完全背包 baseline...“物品”的组合问题，并且组合时对于“物品”的选择有约束，可以将该问题转化为背包问题求解。
，通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式求解复杂问题的方法。...最优子结构性质为动态规划算法解决问题提供了重要线索。 子问题重叠性质：子问题重叠性质是指在用递归算法自顶向下对问题进行求解时，每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题会被重复计算多次。...zoj 3769 Diablo III 带限制条件的背包 zoj 3638 Fruit Ninja 背包的转化成组合数学 hdu 3092 Least common multiple 转化成完全背包问题...》 《浅析竞赛中一类数学期望问题的解决方法》 《有关概率和期望问题的研究》 一般来说概率正着推，期望逆着推。...期望可以分解成多个子期望的加权和，权为子期望发生的概率，即 E(aA+bB+…) = aE(A) + bE(B) +… ural 1776 Anniversiry Firework 比较基础 hdu
一、背包问题 01背包是在M件物品取出若干件放在空间为W的背包里，每件物品的体积为W1，W2至Wn，与之相对应的价值为P1,P2至Pn。01背包是背包问题中最简单的问题。...01背包的约束条件是给定几种物品，每种物品有且只有一个，并且有权值和体积两个属性。在01背包问题中，因为每种物品只有一个，对于每个物品只需要考虑选与不选两种情况。...二、求解思路 当遇到这样的问题，我们可以换一种角度去思考，假设在一个100m3的房子里面，现在要将房子装满，同时要保证放入的物品个数最多以及装入的东西最重，现在身边有铁球和棉花，请问大家是放铁球进去好呢还是放棉花进去好呢...但是由于物品不可分割，无法保证能将背包刚好装满，最后闲置的容量无法将单位重量价值更高的物品放入，此时要是可以将单位重量价值相对低的物品放入，反而会让背包的总价值和单位重量的价值更高。...因此通过贪心算法求解01背包的问题可能得不到问题的最优解，得到的是近似最优解的解。 创建一个物品对象，分别存在价值、重量以及单位重量价值三种属性。
BackTracking Algorithm Notes 1.定义 在那些涉及寻找一组解的问题或者求满足某些约束条件的最优解的问题中，有许多问题可以用回溯法来求解。...通常，所求解的问题需要求取一个使某一规范函数P(x1,…,xn)取极大值（或取极小值或满足该规范函数条件）的向量。有时还要找出满足规范函数P的所有向量。...约束条件分为两类：显式约束和隐式约束。显示约束是限定每个x只从一个给定的集合上取值。隐式约束描述了xi必须彼此相关的情况，规定解空间中那些实际上满足规范函数的元组。...隐式约束条件则是要求没有两个Xi是相同的且相应的Wi的和数是M。(为了避免产生同一个子集重复的情况,如(1,4,2)和(1,2,4))，附加另一个隐式约束条件:Xi+1大于Xi,i在1~n之间。...e、0/1背包问题 定义不解释，这个问题解决的方案很多，可以用动归、贪心算法，这里使用回溯法求解。
咱今天就来聊聊 并且 假定屏幕前的你只有大一刚学完谭浩强红本本的水平 从背包问题说起 所谓算法嘛，肯定是要用来求解问题的。...· 决策：顾名思义就是根据目标所作出的决策，比如在这里就是决定选取哪些物品装进我们的背包。 · 约束：那么何又为约束呢？...就是说再进行决策时必须遵循的条件，比如上面的背包问题，我们所选取的物品总的重量不能超过背包的容量。要是没有容量的约束，小学生才做选择呢，我全都要！...Benchmark就是求解问题算例的一个基准，比如在刚刚的背包问题算例中，最优解很容易看得出是选取第3个物品（注：本文所有序数都是从1开始，不存在什么第0个的情况。）...return best_sol 代码的实现方式是先按照价值给物品排个序 然后从价值高的开始 在满足容量约束的前提下往背包里装就行了 现在依然是和最优的benchmark进行对比，看看效果如何：
背包问题 背包问题（Knapsack Problem）是一类经典的组合优化问题，在计算机科学和数学中有广泛应用。...分数背包问题：每个物品可以分割，即可以选择物品的一部分。 多重背包问题：每个物品有多个副本，可以选择多个相同的物品。 多维背包问题：背包有多个限制条件，例如容量和体积等。...下面是解决背包问题的一般步骤： 确定问题的约束条件：背包的容量限制和物品的重量和价值。 定义状态：将问题拆解为多个子问题，定义状态为背包的容量和可选择的物品。...具体选择哪种方法取决于问题的约束条件和需要优化的目标。...希望这篇博客能帮助你理解0/1背包问题的基本原理和解法，同时激发你对动态规划和算法设计的进一步兴趣和探索。未来的学习中，不妨尝试更多的变种背包问题和动态规划问题，以不断提升自己的算法技能和编程水平。
重叠子问题：在求解过程中，某些问题会被多次求解。 动态规划的一个经典例子是背包问题，即给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价值，在限定的总重量内，选择某些物品装入背包，使得背包内物品的总价值最大。...没有约束条件 动态规划适用于解决哪类问题？ A. 仅含有最优子结构的问题 B. 仅含有重叠子问题的问题 C. 含有最优子结构和重叠子问题的问题 D....正数或零 背包问题在动态规划中的解法通常采用哪种策略？ A. 贪心算法 B. 分而治之 C. 记忆化搜索 D. 递归解法 在线性规划中，非负约束的目的是什么？ A. 确保解是正值 B....A 和 B 线性规划的标准形式不包括哪一项？ A. 最大化目标函数 B. 约束条件为不等式 C. 约束条件为等式 D. 所有变量都有非负约束 哪一种情况下最适合使用动态规划来解决问题？...动态规划解决背包问题通常采用记忆化搜索策略，以避免重复计算相同的子问题。 答案: B。非负约束确保所有的决策变量值不为负，这是现实问题中的常见要求。 答案: D。
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