求解迭代二次方程会产生噪声

是因为在迭代过程中存在数值计算误差和舍入误差，这些误差会逐步累积并引入噪声。具体来说，迭代二次方程的求解过程中，可能会使用数值逼近方法，如牛顿迭代法或二分法等。这些方法在每一次迭代中都会对当前的解进行修正，但由于计算机的存储精度有限，无法精确表示所有的小数，因此会产生舍入误差。

此外，迭代过程中可能会出现数值计算误差，例如在计算二次方程的根时，可能会出现除以零的情况或者计算平方根时产生负数。这些计算误差也会导致迭代过程中的噪声。

为了减小迭代二次方程产生的噪声，可以采取以下措施：

使用更高精度的数据类型进行计算，如使用双精度浮点数（double）代替单精度浮点数（float）。
对迭代过程进行优化，选择更稳定和收敛速度更快的迭代方法。
对输入数据进行预处理，如对二次方程的系数进行归一化处理，避免系数过大或过小导致计算误差。
增加迭代次数，通过增加迭代次数来提高计算的精度。

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梯度下降法

梯度下降法本文主要是为了讲解梯度下降法的原理和实践，至于什么是梯度下降法，他能做什么，相信百度一下你就都知道了，所以下面进入正题从一元二次方程开始梯度下降法主要是用来求解某个方程的最小值...，这里我们以凹一元二次方程 为例。...损失函数和梯度函数这里我们首先明确两个概念：目标函数：指导我们求解最值的函数，一般来说又可以叫做损失函数：一般情况下，当我们希望损失最小的时候，目标函数会指导我们去求最小值，所以叫损失函数...后记本文讲的并不如何易懂和通俗，不过因为一元二次的梯度应该是相对很容易的，所以这里也就不啰嗦了，梯度下降其实也不外呼这个原理，只是可能损失函数会不太一样，那么梯度函数也就跟着不太一样了...批量梯度下降法对于多元二次方程，因为多元会使得批量梯度下降法的梯度函数计算的非常缓慢，所以可以采用随机梯度下降，并且随机梯度下降不容易陷入局部最优解的的陷阱，所谓的随机梯度就是每次计算梯度的时候随机选取一个样本进行迭代来实现

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华裔教授发现二次方程「极简」解法：丢掉公式，全球教科书可能都要改了

机器之心报道作者：李泽南不论你对数学是否感冒，全世界上过中学的人都会遇到这样一个挑战：背下二次方程的求解公式，然后学会如何使用它。...这篇文章提出了一种二次方程的「极简」推导方式，这种方法在计算上是轻量级的，其概念也是顺应自然的，很有可能会让全球初中生的二次方程求解过程变得从此不再困难。...当然对于绝大多数人来说，二次方程求解公式是今天代数第一阶段课程的标准部分。...由一元二次方程求根公式可知 ? 和高中、大学期间我们会学到的很多数学公式相比，这一方法虽然算得上简单，但它依赖于另一种基本的数学技巧「配方法」，而远非直觉。 ?...罗博深找到了一个令人惊讶的二次方程推导方式，由此还产生了一种求解一般二次方程式的高效、自然且易于记忆的算法。

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LeetCode 69 题

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程序与数学：牛顿迭代法与平方根近似计算

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用 Mathematica 求解多项式

你会记得一元二次方程有两个通解： Solve[a x^2 + b x + c == 0, x] 这样的表达式被称为不尽根式. 最常见的应用是在几何上. 圆、抛物线和双曲线通常由二次多项式指定。...不管怎样，求解二次方程： Solve[%] {{x -> 1/2 (-4 - Sqrt[6])}, {x -> 1/2 (-4 + Sqrt[6])}} 或者近似 N@% {{x -> -3.22474...一般情况下的四次方程会让人有点抓狂，如果不怕的话就按住 shift return 键试试吧....说服自己，每个可求解的六次方程都可以降次到具有二次不尽根系数的三次方程或具有三次不尽根系数的二次方程. 但谁会想要求解这样一个方程呢？几何再次派上用场了....如果我们注意到这一点，我们只是用y来代替 x ^ 3 - x ^ 2 - 2 ，对得到的二次方程求 y，然后求解关于 x 的三次方程，用 y 表示。我们是怎么注意到这一点的？

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所以，一旦采用 A 转置的处理，求解的系数x’仅仅是原方程Ax=b的最佳估计，此时将投影过程中产生的法向量e认为是误差，被从原始b中减去，得到投影向量p。...再对 F^{32} ， F^{16} …采取相同的操作，逐步迭代，得到快速傅里叶变换FFT使得n阶矩阵相乘的操作从 n^2 下降到n*log2(n)，改进巨大。...为验证正定的准确性，可以将前者使用二次方程显示表达，然后配方，可将二次方程表示为n个平方项的和，若x非零，A必正定。...另外，从微积分求解最小值的角度来看，由于其海森矩阵正定，利用梯度等于0可求得最小值，若最小值>=0，原矩阵A必正定，并且二次方程一定是一个开口向上的碗形曲面，每一个横切面均为椭图形，其中椭图形各长短轴长度即为...然后再去掉一些代表噪声或者不重要的基向量所对应坐标，实现特征选取。最后再反推至原始基上实现图像压缩。

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学界 | 小改进，大飞跃：深度学习中的最小牛顿求解器

其次，由于随机抽样，任何黑塞矩阵的估计都必然产生噪声和病态的条件数，因而经典的求逆方法如共轭梯度对于黑塞矩阵是不稳健的。...反之，我们将牛顿更新，即 H−1J 的计算看成是求解一个能通过梯度下降法求解的线性系统。通过交叉求解步骤和参数更新步骤，求解这个线性系统的成本会随着时间推移被摊销。...左：不同求解器的 Stochastic Rosenbrock 函数轨迹（较深的阴影区域表示较高的函数值）。右：针对轨迹图绘制的损失函数与迭代数之间的关系。 ? 表 1：在小数据集上优化器的比较。...对于每一个优化器，我们展示了解决问题所需迭代数的平均值 ± 标准差。对于随机 Rosenbrock 函数，U[λ1, λ2] 表示来自 U[λ1, λ2] 的噪声（详见 4.1）。 ?...我们的方法解决了现有二阶求解器长期存在的问题，即在每次迭代时需要对黑塞矩阵的近似精确求逆或使用共轭梯度法，而这个过程既昂贵又对噪声敏感。

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基于偏差矩阵的3D SLAM位姿图优化算法

针对PGO噪声数据集初始化，首先提出一种新的PGO目标公式——CN（chordal with noise）模型，此模型考虑噪声影响下产生的旋转偏差，将偏差矩阵设为参数；其次，提出ORDM（optimize...实验证明，ORDM算法在面对PGO噪声数据集时，较为鲁棒，具有一定的可伸缩性；与迭代初始化算法相比，可对应较差的初始化场景。...PGO的主体算法是将非凸的最大似然估计问题转化为非线性最小二乘问题[4]，并采用高斯牛顿[5-7]、列文伯格-马尔夸特[8-10]等方式求解。其中，SLAM经典的图优化框架g2o[6]也采用迭代算法。...在低噪声和无噪声数据集中，也可直接作为PGO的优化算法。本文贡献如下：1）考虑噪声产生的旋转偏差，将偏差矩阵设为参数，建立新的PGO目标函数模型——CN模型。...\Psi_i由上述可知，ORDM算法采用封闭解式（24）求解参数，无需迭代，相比于迭代优化算法，对初值要求不高。

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【笔记】《Surface-from-Gradients: ...》的思路

下图就是实际上的迭代流程的表现 ?...最简单的解决方法是直接在迭代中让其顶点与其投影点值相等, 但是这种方法有个问题, 就是会导致迭代速度变得很慢因为这个约束太强了....这个矩阵是应用在前面的z向量和p向量上的, 拆开来尝试一下就知道这实际上完成了求顶点中心和做差得到向量的过程有了这个矩阵后, 对于这个约束我们可以写出下面这个代价函数, 这个求和计算了所有小面片在重建过程中面片角度产生的误差...写成Ax=b后, 对于这样的一个大型方程组, 我们通过下面的式子可以求解出x的取值, 从矩阵的尺寸中我们可以很明显的明白x是点数 X 1 的向量, 储存了求解后这次迭代的顶点深度值z. ?...面对噪声时也能得到较好较稳定的重建效果, (b)是不处理噪声的重建, (c)是有处理噪声的重建 ?

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数据结构与算法基础-(3)

，递归时间复杂度 O(2^n) 等，但是这些复杂度通常不会出现在实际应用中，因为它们的执行时间会随着输入规模的增加而急剧增长，算法的效率非常低下。...当我们在解决一个问题时，我们选择的算法通常都需要是多项式级的复杂度，非多项式级的复杂度需要的时间太多，往往会超时，除非是数据规模非常小。 2....非确定性算法：设A是求解问题B的一个解决算法，它将问题分解成两部分，分别为猜测阶段和验证阶段，其中猜测阶段：在这个阶段，对问题的一个特定的输入实例x产生一个任意字符串y，在算法的每一次运行时，y的值可能不同...①检查在猜测阶段产生的y是否是合适的形式，如果不是，则算法停下来并得到no； ② 如果y是合适的形式，则验证它是否是问题的解，如果是，则算法停下来并得到yes，否则算法停下来并得到no...再例如《算法导论》中有一个例子：现在有两个问题：求解一个一元一次方程和求解一个一元二次方程。那么我们说，前者可以规约为后者，意即知道如何解一个一元二次方程那么一定能解出一元一次方程。

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事件相机特征跟踪-概率数据关联法

其中表示噪声，表示数据关联，是一个从{1,2,…n}到{1,2,…m}的映射。这个式子理解为：一个事件点由一个相关联的事件源+噪声产生。...我们假设一个事件源由于噪声，产生的事件点坐标具有一定的范围，范围大小和协方差相关；同时我们假设事件源的运动速度，那么在时空窗中某一个事件源产生的斜柱体内的所有事件点均有可能是这个事件源产生。 ?...从而不断迭代，直到（7）的误差足够小停止，认为得到了最优的速度。那么（7）式如何求解？文章将其变成了最小二乘问题，令（7）式为0，变为以下形式： ? 最优解Y满足： ? 从而求得最佳速度v。...数据关联是概率形式的，并且在实际计算时并没有显式地给出关联性，而是在迭代优化中不断更新概率；2. 求解速度的方法虽然推送中没有展开，但采用的最小二乘思想值得学习；3....但也存在一定的问题，我认为在计算数据关联时计算了滑窗中所有的事件点两两之间的关联概率，计算复杂度较高，同时采用EM算法是迭代求解，或许无法实现实时处理。参考文献： [1].

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OpenCV单应性矩阵发现参数估算方法详解

，收到各种因素的影响，会额外产生很多特征点或者干扰点，如果正确的剔除这些干扰点，得到正确匹配的点，利用正确匹配点计算出H才是比较稳定的方式。...02 RANSAC 最小二乘方法在描述子匹配输出的点对质量很好，理想情况下是图像没有噪声污染与像素迁移与光线恒定，但是实际情况下图像特别容易受到光线、噪声导致像素迁移，从而产生额外的多余描述子匹配，这些点对可以分为...：选择求解模型要求的最少要求的随机点对根据选择随机点对求解/拟合模型得到参数根据模型参数，对所有点对做评估，分为outlier跟inlier 如果所有inlier的数目超过预定义的阈值，则使用所有...但是它是对高斯噪声敏感算法。...在OpenCV中如果无法正确估算参数H，会返回空Mat对象。单应性矩阵应用图像透视变换与对象匹配 ? 图像拼接 ?

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SLAM实习生面试基础知识点总结

为什么要引入李群李代数旋转矩阵自身是带有约束的，正交且行列式为1，他们作为优化变量时，会引入额外的约束，使得优化变的困难，通过李群李代数的转换关系，把位姿估计变成无约束的优化问题。...单目视觉slam中尺寸漂移是怎么产生的单目相机根据一张图片无法得出一张图片中物体的实际大小，同理也就无法得出运动的尺度大小，这是产生尺度漂移的根源。...非线性优化每迭代一次，状态估计发生改变，我们会重新对新的估计点做泰勒展开，可以把EKF看做只有一次迭代的BA ? 16....sobel算子：一阶导数算子，引入局部平均运算，对噪声具有平滑作用，抗噪声能力强，计算量较大，但定位精度不高，得到的边缘比较粗，适用于精度要求不高的场合。...： ①选择线性方程求解器（PCG/Cspare/Choldmod） ②选择一个blockslover ③选择迭代方式（GN/LM/Dogleg）实现过程：选择节点和边节点：g2o :: VertexSE3Expmap

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【AIGC】数理工科研究：深入解析数值分析法

解析解与数值解：解析解：是指通过数学公式直接求得的精确解，如二次方程的公式解。数值解：则是通过算法和计算近似得到的解，用于解决无法解析求解或求解复杂度较高的数学问题。...迭代与逼近解释：许多数值方法依赖于迭代，通过逐步逼近的方式，从初始猜测开始，不断接近真实解。例子：在使用牛顿法求解非线性方程时，迭代从一个初始猜测出发，逐步修正至解符合精度要求。 5....例子：在计算圆的面积时，使用不同的多边形逼近圆会产生不同的误差。通过误差分析可以知道所需的逼近精度。 6. 验证与校准解释：使用已知的解或实验数据来验证数值解的准确性，确保模型和结果的可信度。...例子：在大数据分析中，可能会引入并行计算或更优的数据结构以提高处理速度。这些步骤构成了数值分析法的基本框架，涵盖了从问题识别到数值解求解的完整过程。...例子：使用泰勒级数来近似计算 sin(x) 在 x = π/6 附近的值，这会产生一个近似解以及与真实值之间的误差。 2. 离散化解释：将连续的数学描述转化为离散形式，便于计算机求解。

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针对高分辨率雷达和相机的无标定板的像素级外参自标定方法

传统的激光雷达如velodybe这种采用重复扫描和机械结构造成点云稀疏且噪声很大，这样可能导致代价函数产生不稳定的结果。固态激光雷达例如livox可以很好的利用非重复性扫描的特性产生稠密的点云。...在前景物体反射率高的情况下，第一个脉冲的信号将占主导地位，使光束中心线偏离前景物体，这也会导致前景物体的错点超出实际边缘。...同样的，di是深度测量的结果，他也受一个零均值的高斯噪声δdi的影响，真值可以表示为：把这个结果和上边由于电机编码器噪声引入的误差结合起来可以得到：因此：该噪声模型将用于产生一致的外部校准。...此外，公式9就是一个关于外参的残差方程，其中包含测量量，激光点，视觉线特征和一些未知的噪声量。这个非线性的方程可以迭代的求解。这里其实就是外参给的扰动，我们不断的寻找让残差下降的方向迭代求解。...其中外参可以由下式更新：利用公式16和更新的公式，我们就可以迭代的求解真实的外参了。迭代的终止条件是变化量小于某个阈值。 3）标定的不确定度：除了估计外参，我们也可以得到外参的不确定度。

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Stable diffusion采样器详解

这个过程会重复多次（通常是十几次），每一步都会生成一个新的采样图像。这些采样图像逐渐从随机噪声转变为越来越清晰的图像。...经过多次迭代后，最终得到的图像是一个干净的、去噪后的图像，它反映了文本提示中描述的内容。下面是一个实际的采样过程。采样器逐渐产生越来越干净的图像。...随着去噪过程的进行，噪声表会逐步降低每个采样步骤中的噪声水平。这种降低是按照预定的计划进行的，旨在逐渐从噪声中提取出有意义的图像特征。...DPM 和 DPM++DPM(扩散概率模型求解器)和 DPM++ 是专为 2022 年发布的扩散模型设计的新采样器。它们表示具有类似体系结构的求解器系列。...时间花费2倍的是因为他们用的是2阶求解器。二阶求解器虽然更准确，但需要对去U-Net进行两次评估,所以它们花费的时间大概是2倍。

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35. 去卷积：怎么把模糊的图像变清晰？

衍射，这是因为光的波动性导致的，只要光通过光圈就会产生衍射 ? 我们可以认为这种效应是空间不变的，即空间中任何一点在任意一个像平面上都会呈现同样的缺陷——即你用相机拍出的照片永远是不够清晰的。...其中最最经典的方法之一，莫过于1942年发表的维纳滤波(Wiener Filter)，它把图像和噪声都看做是随机过程，并把去卷积的问题看作是一个最大似然问题去求解。...再看看不同噪声水平对维纳滤波的影响，可以看到维纳滤波对不同噪声水平的图像都能恢复出较好的X，当然如果图像b中噪声较高，那么恢复的图像中的噪声也会较高。 ?...五、更多非盲去卷积的方法除了这种直接求解的去卷积方式，还有一类方式是通过迭代的方式得到结果。...这种迭代的方式通常能够比直接求解的方式得到更好的结果，其中最最经典的莫过于Richardson和Lucy独立在1972和1974年提出的Richardson-Lucy方法，这是一种非线性的方法。

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MATLAB非线性可视化（引2）牛顿迭代分形

接着上次的Mandelbrot集，这次再介绍一个牛顿迭代中的非线性现象。牛顿迭代法是一种非常简单的求解根的方法，利用该点处导数的信息，通过每一次的迭代，使得点逐渐向解靠近。...牛顿迭代法的公式为：我们以复数平面中，简单的二次方程为例：在[-2,2]区间内，绘制出每一个点牛顿迭代过程的轨迹，如下图：可以看到，方程的根只有x=1和x=-1两个，在短短几步之内，整个平面的点都可以快速收敛到这两个根...此后，当继续增加多项式的阶次，会诞生出越来越复杂的分形图案。比如下图为p=6时的图案混沌中，3是个很神奇的数字，很多系统当数量大于3时，就会出现混沌。...下图是x^2*sin(x)-1=0方程的牛顿迭代根的分布图：后面附上程序： %牛顿迭代法程序 clear; close all res=1024;xc=0;yc=0; xoom=1; x0=xc-...基于牛顿迭代图形的丝绸提花织物纹理设计方法[D]. 浙江理工大学, 2011.

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针对高分辨率雷达和相机的无标定板的像素级外参自标定方法

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