前言 数值分析中，龙格－库塔法（Runge-Kutta methods）是用于非线性常微分方程的解的重要的一类隐式或显式迭代法。这些技术由数学家卡尔·龙格和马丁·威尔海姆·库塔于1900年左右发明。...龙格-库塔(Runge-Kutta)方法是一种在工程上应用广泛的高精度单步算法，其中包括著名的欧拉法，用于数值求解微分方程。由于此算法精度高，采取措施对误差进行抑制，所以其实现原理也较复杂。...在各种龙格－库塔法当中有一个方法十分常用，以至于经常被称为“RK4”或者就是“龙格－库塔法”。该方法主要是在已知方程导数和初值信息，利用计算机仿真时应用，省去求解微分方程的复杂过程。...，其y值用k3决定。...当四个斜率取平均时，中点的斜率有更大的权值： RK4法是四阶方法，也就是说每步的误差是h阶，而总积累误差为h阶。 注意上述公式对于标量或者向量函数（y可以是向量）都适用。
龙格库塔法的基本原理 该算法是构建在数学支持的基础之上的。...对于一阶精度的拉格朗日中值定理有： 对于微分方程：y’=f(x,y) y(i+1)=y(i)+h*K1 K1=f(xi,yi) 当用点xi处的斜率近似值K1与右端点xi+1处的斜率K2的算术平均值作为平均斜率...经数学推导、求解，可以得出四阶龙格－库塔公式，也就是在工程中应用广泛的经典龙格－库塔算法： y(i+1)=y(i)+h*( K1+ 2*K2 +2*K3+ K4)/6 K1=f(x(i),y(i))...K2=f(x(i)+h/2,y(i)+h*K1/2) K3=f(x(i)+h/2,y(i)+h*K2/2) K4=f(x(i)+h,y(i)+h*K3) 通常所说的龙格-库塔法是指四阶而言的，...我们可以仿二阶、三阶的情形推导出常用的标准四阶龙格-库塔法公式 参考：http://blog.csdn.net/u013007900/article 版权声明：本文内容由互联网用户自发贡献，该文观点仅代表作者本人
前期是分享了matlab下面实现四阶龙格库塔（Runge-Kutta）求解微分方程，这期分享一下C++、C、Java、Python下面的四阶龙格库塔（Runge-Kutta）求解微分方程。...前文传送门：matlab代码实现四阶龙格库塔求解微分方程 C++方法 #include using namespace std; // "dy/dx = (x -
RK45求解器，又称为Dormand-Prince求解器。这是比较精确的求解器，可以快速地求解微分方程，但是，需要消耗一些内存。...在matlab simulink中默认条件下，系统自动选择RK45求解器。用户可以根据实际问题，选择合适的求解器。...Dopri54是Dormand / Prince龙格-库塔的一种方法，Dopri54由龙格-库塔简单法构成，阶为5和4。因此，五阶龙格-库塔法是利用一步向前+四阶龙格-库塔法估计误差。...本文分享一个简单例子来从m代码实现RK45求解器，matlab也可以用自带的ode45函数来求解微分方程:Matlab通过ode系列函数求解微分方程 假定y'=y，y(0) = 1，很明显结果的理论解为
在先前的仿真代码中，一般采用以dsolve函数求解车辆运动学微分方程的方式作为被控的车辆模型，形如： Xref=dsolve('Dx-v_actual*cos(z)=0','Dy-v_actual*sin...eval(Xref.x); State_Initial(2,1)=eval(Xref.y); State_Initial(3,1)=eval(Xref.z); 但是由于dsolve函数的求解功能有限...，当微分方程更加复杂时，可能无法获得数值解。...所以也有同行采用经欧拉法或四阶龙格库塔法离散化后的运动学、动力学模型作为被控的车辆模型进行仿真。不过上述离散方法均会降低模型精度，造成仿真结果失真。...而且当采用动力学模型时，模型较为复杂，采用离散模型进行迭代需要很大的代码量，在编写程序时容易出现错误，影响工作效率。 通过Simulink建模可以避免上述问题。
机械臂关节的角度和角速度的求解构成了标准的常微分方程组的初值问题。考虑到实际控制系统，因此需要采用定步长数值积分进行计算。...龙格-库塔(Runge-Kutta)方法是一种在工程上应用广泛的高精度单步算法。由于此算法精度高，采取措施对误差进行抑制，所以其实现原理也较复杂。该算法是构建在数学支持的基础之上的。...通常所说的龙格-库塔法是指四阶而言的，我们可以仿二阶、三阶的情形推导出常用的标准四阶龙格-库塔法公式。...龙格-库塔法具有精度高，收敛，稳定（在一定条件下），计算过程中可以改变步长，不需要计算高阶导数等优点，但仍需计算 在一些点上的值，如四阶龙格-库塔法每计算一步需要计算四次 的值，这给实际计算带来一定的复杂性...对于该类问题我们可以采用4阶龙格库塔积分方法求解。
本篇将介绍用matlab求解常微分方程的数值解和解析解，并非是一种完整的模型，仅仅是一些算法。由于数学原理过于复杂，故不探究背后的数学原理，仅将matlab求解的相关函数加以记录。...1.Matlab求常微分方程的数值解 1.1非刚性常微分方程的数值解法： 功能函数：ode45，ode23，ode113 例：用RK方法（四阶龙格—库塔方法）求解方程 f=-2y+2x^2+2*x...（ii）用鼠标点一下工具栏上的“PDE"按钮，在弹出的对话框中定义偏微分方程。 （iii）用鼠标点一下工具栏上的区域按钮，在下面的坐标系中画出偏微分方程的大致定解区域。...（vi）双击坐标系中的区域边界，定义偏微分方程的边界条件。 （vii）用鼠标点工具栏上的剖分按钮，对求解区域进行剖分。...详细操作见 Matlab偏微分方程快速上手：使用pde有限元工具箱求解二维偏微分方程 偏微分方程的数值解(六)： 偏微分方程的 pdetool 解法
小跳最近在搭建一个数值仿真环境，由于需要用到python里面的一些库，所以不得不把simulink的模型搬过来，我们都知道在simulink里，仿真的时候设置仿真步长和微分方程求解器是必要的步骤。...对于给定线性常微分方程 \[\dot x = x\] 易得，其解是 \[x(t) = Ce^t \] RK4是龙格库塔法曲线，None是一阶解法\(x(t+dt) = x(t)+\dot x...定义回顾 数值分析中，龙格－库塔法（Runge-Kutta methods）是用于非线性常微分方程的解的重要的一类隐式或显式迭代法。...这些技术由数学家卡尔·龙格和马丁·威尔海姆·库塔于1900年左右发明。该方法主要是在已知方程导数和初值信息，利用计算机仿真时应用，省去求解微分方程的复杂过程。 令初值问题表述如下。...，可以用来求解方程什么的 def diff_eq(t,x): return sy.diff(x(t),t,1) - x(t) t = sy.symbols('t') x = sy.Function
Xcos支持从现有模块库中选择模块，支持用户定义的模块库超级模块管理（嵌入在单个超级模块中的子图，用于模型重用和简化），支持可配置子系统使用、有条件执行的子系统创建、可用于信号定义的所有Scilab数据类型...它提供了灵活的建模语言、多种求解器支持和强大的可视化功能，使用户能够准确描述和分析各种类型的动态系统模型。...它提供了一组工具和函数，用于定义和求解常微分方程（ODE）、偏微分方程（PDE）以及混合离散连续系统的模型。...这个语言允许用户定义变量、参数、微分方程、触发事件和约束条件等，以便更准确地描述系统的行为。 多种求解器支持：PyDSTool支持多种数值求解器，以求解不同类型的动态系统。...它提供了一些经典的求解器，如欧拉法、四阶龙格-库塔法等，还支持高级的求解器，如Dopri853、Vode、CVode等。
柔性机器人动力学建模 刚性机械臂建模方法已经可以有效地求解出机械臂各部分之间的耦合情况，但是对于柔性机械臂的动力学建模其侧重点在于基于刚性机械臂建模方法的基础上如何有效的处理机械臂关节柔性以及臂杆柔性的问题...相对于刚性机械臂杆件之间的耦合，柔性机械臂还需要考虑关节的柔性以及臂杆弹性变形的耦合。因而，柔性机械臂的运动方程具有高度非线性。...为求解该偏微分方程，需要采用离散方法将偏微分方程离散成常微分方程。对于变形场的离散化主要有有限元法（FEM），假设模态法（AMM），集中质量法（LPM）以及转移矩阵法（TMM）等。...模型建立过程则是为了根据当前时刻的角度、 角速度以及驱动力矩求解当前时刻的角加速度， 数值积分则是根据当前时刻角度、 角速度以及求出的当前时刻角加速度值求解下一时刻角度和角速度。...常规的计算则采用四阶龙格库塔积分，具体可以参见 [2d5se3e5hl.png] 可以参见以下列举链接，详细的细节可以重温大学教材《数值分析》 https://www.me.psu.edu/cimbala
image.png 1 动力学系统与求解 动力学系统一般设计到力、位置、速度和加速度，一般系统的动态过程可以由微分方程式表示 image.png 对于上述微分方程的求解问题，一般是属于动力学仿真的内核算法...微分仿真的求解是决定一个软件稳健性和口碑的关键。一般可以分为单步求解方法和多步求解方法。单步求解方法需要固定的步长，比如四阶龙格库塔方法，该算法在求解的过程中，每一步需要多次进行方程右边表达式的计算。...adams中典型的几个驱动关节如下所示 image.png adams还可以建立柔性体进行刚柔耦合动力学仿真。...image.png image.png 在 Flexible Body Name 栏中输入要创建的柔性体名称。 在 MNF 可选项中，可输入 MNF 或 MD DB 文件名。...标准格式包括 IGES、STEP、DWG、DXF 及 Parasolid 等，数据传入 Adams 软件时，能够保持该模型原有的精度。
1 机械臂正向动力学与逆向动力学 机器人的动力学按照求解量可以分为三种： 正向动力学：已知机器人的关节驱动力矩和上一时刻的运动状态（角度和角速度），计算得到机器人下一时刻的运动加速度，再积分得到速度和角度...； 逆向动力学: 已知机器人各个时刻的运动状态（加速度，速度和角度等），求解得到机器人的驱动力和力矩； 混合动力学：已知机器人部分的驱动力矩和部分的运动状态，求解剩余的运动状态以及驱动力矩。...3 机器人动力学的表现形式 最常见的动力学建模主要是拉格朗日方法和牛顿欧拉法，也是其他狠多算法具体实施的基本原理。...3.1 牛顿欧拉方法 image.png 3.2 拉格朗日方法 image.png image.png image.png 3.3 动力学的具体表现形式 由上述，二者在动力学建模的基本原理上是不相同的，...时刻的角速度和角度， 对于解常微分方程， 有多种数值解法， 其中由于 4 阶龙格库塔法具有计算精度高、 计算稳定、 以及容易编程等特点， 因此应用最为广泛求解， 本数值积分模块采用此方法， 具体解法如下
---- 1、线性代数的直接接法 %追赶法求解线性方程组Ax=b，其中A是三对角方阵 function x=tridiagsolver(A,b) [n,n]=size(A); for i=1:n...2.1 拉格朗日插值法 function yh=lagrange(x,y,xh) n=length(x); m=length(xh); yh=zeros(1,m); for j=1:m; for.../(x(j-1:n)-x(1:n+2-j))'; %求差商表 （注意这里有一个 ’ 符号，与差商表不一样的地方） end q=p(1,2:n+1)'; %求牛顿法的系数--取第一行 yh=0; m...while(err>ep) v1=A\u0; [tv,ti]=max(abs(v1)); lam1=v1(ti); err=abs(1/lam0-1/lam1); %反幂法在误差计算时用的是特征值的倒数...7.1 标准龙格库塔四阶四段公式 function y=rk4(fun,a,b,y0,n) h=(b-a)/n; y(1)=y0; for k=1:n x=a+(k-1)*h; k1=h*feval
单粒子模拟 先来研究粒子的运动，假设有一个速度矢量场，对于确定的位置和时间可以确定粒子的速度 就会有一个计算粒子随时间的位置的一阶常微分方程Ordinary Differential Equation...，并且一旦出现了偏差就会继续累计 改进 中点法/修正的欧拉方法 我先算Δt/2时刻的位置，然后取这个中点位置的速度来计算下一时刻的位置 也就是取这个步长时间内的平均速度来计算下一时刻的位置 自适应步长...我们之前显式的欧拉方法是用上一时刻的速度和加速度来计算当前时刻，那么用下一时刻的速度和加速度来计算当前时刻的就叫作隐式的欧拉方法或者说是后向的欧拉方法 我们把这个每个步长产生的误差叫做局部误差，总体累积的误差叫做全局误差...，叫做龙格库塔（Runge-Kutta Families），非常适合用来解这个常微分方程，并且它有一个误差的控制是四阶的方法 非物理改变位置（Position-Based / Verlet Integration...一个是质点法，也叫拉格朗日方法或者拉格朗日视角，就是对于每个个体进行模拟 还有一个是网格法，也叫欧拉方法或者是欧拉视角，也就是把空间分成很多网格，对于每个网格去研究它里面的东西随时间会发生什么变化 这两个方法也可以结合使用
数据系统的稳定性还要进一步讨论代数方程的求根。 微分方程模型 适用于基于相关原理的因果预测模型，大多是物理或几何方面的典型问题，假设条件，用数学符号表示规律，列出方程，求解的结果就是问题的答案。...涉及题目 电磁波反射 菲涅尔方程 菲涅尔方程 电磁塔，远距离通信传输 热力学 热传导方程 热传导方程 隔热层设计，物件热传导，偏微分方程，有限差分法 雷达 雷达公式 雷达方程 ASK,FSK,傅里叶分析...电磁场 麦克斯韦方程 麦克斯韦方程 电磁场 悬链线 悬链线方程 悬链线方程 船舶抛锚问题，力学问题 四元数 空间物体姿态问题 数值计算方法 名称 解决问题类型 参考链接 SOR迭代法 线性方程求解...牛顿迭代法 线性方程求解 高斯迭代法 线性方程求解 不动点迭代法 线性方程求解 AlphaBeta剪枝算法 博弈树剪枝 LU分解 线性方程简化求解 SVD奇异值分解 线性方程求解 最小二乘插值...调度优化问题 MinMin 调度优化问题 suffer 调度优化问题 蚁群算法 优化路径的概率型算法 拉格朗日乘数法 线性高阶函数优化 动态规划 水缸问题、丢手机问题、0-1背包、调度优化问题
类型 公式 参考链接 涉及题目 电磁波反射 菲涅尔方程 菲涅尔方程 电磁塔，远距离通信传输 热力学 热传导方程 热传导方程 隔热层设计，物件热传导，偏微分方程，有限差分法 雷达 雷达公式 雷达方程 ASK...数据系统的稳定性还要进一步讨论代数方程的求根。 微分方程模型 适用于基于相关原理的因果预测模型，大多是物理或几何方面的典型问题，假设条件，用数学符号表示规律，列出方程，求解的结果就是问题的答案。...参考链接 SOR迭代法 线性方程求解 牛顿迭代法 线性方程求解 高斯迭代法 线性方程求解 不动点迭代法 线性方程求解 AlphaBeta剪枝算法 博弈树剪枝 LU分解 线性方程简化求解 SVD...奇异值分解 线性方程求解 最小二乘插值 数据拟合、相关度检验 拉格朗日插值 数据拟合 非线性最小二乘法 数据拟合 三次样条插值 数据拟合 二次插值 数据拟合 拉普拉斯变换 将一个有参数实数t...拉格朗日乘数法 线性高阶函数优化 动态规划 水缸问题、丢手机问题、0-1背包、调度优化问题 BFS 广度最短路径问题 DFS 深度最短路径问题 RMQ 给定一个区间，求这个区间中的最大或最小值的问题
差分的概念。 什么是差分运算？如下图，数值计算过程我们计算函数上某点的导数时，可以选择某点附近（可以包含该点）的两个点，取这两个点的斜率来近似表示该点的导数。...当然也有二阶导数的计算方法，如下图。 ? 后期我们将通过差分法求解导热问题。...---- 常微分方程的初值问题 我们求解常微分方程的初值问题，一个关于自变量x和y的常微分方程，满足: y'=x+y 其中y'表示y对x的导数，且过原点，试绘制函数曲线。...，dx为求解步长，xData、yData用于存储曲线坐标点。...左侧是曲线，右侧是调试输出的坐标数据。曲线如下： ? 数据如下： ? 更加高效的常微分方程初值问题，请参考龙格库塔方法。
通常近似的思路为：认为 到 的微分 用恒定常数来表示，则积分表达式可改写为： 从上述公式可以看出，减少积分误差的主要方式有两种： 1....计算精确的恒定常数 ，针对 的通常有三种积分方法：欧拉积分、中值积分和4阶龙格-库塔积分。...2.2 4阶龙格-库塔积分 我们直接给出4阶龙格-库塔积分的公式： 是起点的斜率， 是中点的斜率， 是中点的中点斜率， 是终点的斜率。...实际上4阶龙格-库塔积分就是斜率的加权结果， 与 的斜率权重为2，其余为1。显而易见，这种方法的近似精度是最高的。其中 就是欧拉积分当中的斜率， 就是中值积分当中的斜率。 ...4阶龙格-库塔积分的代码如下： //Indirect Kalaman Filter for 3D Attitude Estimation的第11页 // Note we use Vector4f to
(a) 最初两个 Query 样本被错误分类。(b) 跨模态原型纠正了 的分类。(c) 跨模态原型通过神经常微分方程进一步校正。因此，在 (d) 中，两个 Query 样本在时间 时都被纠正。...在作者的实验中，作者选择了Runge-Kutta 4 (RK4) 方法，因为它具有更高的稳定性和更高级的收敛率。RK4方法的收敛率为4阶，使其成为求解ODE的高效选择。...然而，在处理视觉语义上相似的样本时，CLIP和BDC-Adapter倾向于做出错误的预测，而作者的NODE-Adapter显示出优异的性能。...Iv-B6 ODE Solver 作者评估了欧拉方法、显式亚当斯-巴什福思（AB）方法、隐式亚当斯-巴什福思-莫尔顿（ABM）方法和四阶龙格-库塔（RK4）方法的性能。...表7展示了在16次射击ImageNet数据集上所有方法的结果。作者的定性度量与实证数据一致，表明四阶龙格-库塔方法在性能上超过了欧拉方法、亚当斯-巴什福思方法和亚当斯-巴什福思-莫尔顿方法。
【博文链接】 层次分析法 AHP 【4】模糊决策分析方法 ---- 【11】整数规划 规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，称为整数规划。...【博文链接】 非线性规划（一）：定义与数值优化方法(梯度法、牛顿法、拟牛顿法、变尺度法) 非线性规划（二）: Matlab 求解约束极值问题 ---- 【28】组合优化算法 一些用于模型求解的启发式算法...主要用于时间序列模型和求解常微分方程。在求微分方程的数值解时，常用差分来近似微分，所导出的方程就是差分方程。通过解差分方程来求微分方程的近似解，是连续问题离散化的一个例子。...【博文链接】 常微分方程的解法 (一): 常微分方程的离散化 :差商近似导数、数值积分方法、Taylor 多项式近似 常微分方程的解法 (二): 欧拉（Euler）方法 常微分方程的解法 (三): 龙格...—库塔（Runge—Kutta）方法 、线性多步法 常微分方程的解法 (四): Matlab 解法 ---- 【31】偏微分方程的数值解 自然科学与工程技术中，事物运动发展过程与平衡现象的规律常是含有未知函数及其导数的方程
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