如何利用Mma解决数学问题的问题~~该很多喜爱数学的初学者比较关注的问题,无论是高等数学还是初等数学,Mma都做出了最给力的回应~~下面这个问题是利用Reduce函数求两曲线的交点： 代码：
那具体怎么求这些交点呢？...求曲面交点 我们首先来定义一下这个光线的方程，有一个光源点O，然后有这个光线发射的方向d，那么在光线上任意一点就可以通过r(t)=o+td来表示了，其中这个t非负，其实就是射线的表示方程 那怎么求交点呢...求三角形交点 那三角形怎么求光线的交点呢，那这个事情比较复杂，我拆开来做，三角形不是能表示一个平面吗，那我先求光线和平面的交点，再去判断这个交点在不在三角形内，哎判断点在不在三角形内这个我们学过，那问题就是如何求和平面的交点...t不就行了吗 但是这个是不是算出来之后还得判断这个交点是不是在三角形内部，有没有一算出来就知道和三角形有没有交点的，答案是有 Möller Trumbore Algorithm（MT算法） 我们之前讲插值的时候不是讲过三角形的重心坐标系吗...当然如果大家学过这个线性代数的话，这个线性方程组也可以用克莱姆法则算出来
一 题目 求两个单向链表的最早公共交点；如果没有返回null。 二 解析 链表是单向链表，即只有指向下一个节点的指针，而没有反向；公共节点，指地址相同的节点。...我们可以用下面的图来表示： ? 上图中的node2和node3就是公共节点，node2是最早公共节点。 链表L1的长度m，链表L2的长度为n。...三 算法设计 3.1 多次遍历 两个链表都是有限长度，最直接的方法，就是直接遍历。...3.2 倒序查找 上面的算法虽然能够找到公共节点，但显然效率太低。...算法题大多如此，充分利用题目中隐含的所有条件，才可以节约大量的时间或空间，这种思路，在工程中也一样可能适用。
链接：https://mp.weixin.qq.com/s/A4jjclVpd7Q03yJfARR3DA 公众号：程序员架构进阶 一 题目 求两个单向链表的最早公共交点；如果没有返回null。...我们可以用下面的图来表示： 上图中的node2和node3就是公共节点，node2是最早公共节点。 链表L1的长度m，链表L2的长度为n。...三 算法设计 3.1 多次遍历 两个链表都是有限长度，最直接的方法，就是直接遍历。...3.2 倒序查找 上面的算法虽然能够找到公共节点，但显然效率太低。...算法题大多如此，充分利用题目中隐含的所有条件，才可以节约大量的时间或空间，这种思路，在工程中也一样可能适用。
相交链表 - 力扣（LeetCode） 如下图所示 二、解题思路 方法一:双循环对比法 时间复杂度O（n^2） 空间复杂度O（1） 链表A中的节点依次与链表B中的每个节点比较 若出现节点相同...，则相交且为第一个交点 若链表A走到空依然没有相同的节点，则不相交 注意：暴力解法效率较低，不建议采用 方法二: 双指针法 时间复杂度O（n) 空间复杂度O（1） 首先遍历链表求出两个链表的长度...，求得长度的差值 定义两个快慢指针，哪个链表长，快指针就指向哪个链表 两个指针分别从两个链表的第一个节点开始遍历，快指针先走出一个长度差值，之后两个指针每移动一步，比较指向的节点是否相同 若出现节点相同...，则相交且为第一个交点 若两个指针走到空依然没有相同的节点，则不相交 三、C语言代码实现 方法一实现代码 struct ListNode { int val; struct ListNode...=headB; } else { slow=headB; fast=headA; } while(tmp--)//长链表先走差值的步数
已知链表A的头节点指针headA,链表B的头节点指针headB，两个链表相交，求两链表交点对应的节点。 [](LeetCode 160) ?...判断两个数组是否有相同元素 #include int main(){ std::set test_set;//STL set const int A_Len = 7;...\n",i,b[i]); } return 0; } 算法设计 1.方法一：使用set求交集 1.遍历链表A，将A中节点对应的指针(地址)，插入set 2.遍历链表B，将B中节点对应的指针(地址)，在...set中查找 ，发现在set中的第一个节点地址，即是两个链表的交点。...headB){ int list_A_len = get_list_length(headA); int list_B_length = get_list_length(headA);//求A
当两条线段有交点的时候，交点坐标可以用叉乘来求。 思路就是连接线段的端点，构造向量，从而构造出相似三角形，然后求出交点在一条线段上的位置（用比例t来表示），然后再加到线段端点上就可以了。
最近听了左神的算法课，对一些常用数据结构以及算法改进的思路有了更深的理解，特此总结，不定期更新算法题目以及答案总结！笔者使用C++进行算法重现！...虽然左神使用的是JAVA，但他自己也说了，算法与语言无关，但C++写出来的复杂度过不了，那么用其他的语言JAVA，Python也一定过不了！...所以刷题还是尽量C++吧，算法基本用不了什么库函数，顶多几个数据结构，而C++的STL里面都包含。...接下来让我们看看这个题目~ 题目：两个单链表相交的第一个节点 在本题中，单链表可能有环，也可能无环。给定两个 单链表的头节点 head1和head2，这两个链表可能相交，也可能 不相交。...两个无环链表相交 这个就很简单了，也就是我画的情况一，Y字型，首先遍历两个链表，得出两个链表的长度差n，然后让长链表先遍历n个节点，接着两个链表同时遍历，直到节点相同，则相同节点为目标节点。
思路： 这道题实在是太经典，一道题里面考察了几个知识点： １．链表是否有环的判断 ２．链表若有环，要找到环的入口节点 ３．两个链表的多种情况分析 另外，左老师讲得实在是太赞了...图中情况3）； １．都无环的情况，退化到两个无环链表找入口点的问题（可参见＜剑指offer＞和leetcode:Intersection of Two Linked Lists） 1.0 先判断两条链表的长度...； 1.1 从头节点开始走，更长的链表先走＂长度之差＂步，然后一起走，如果相遇，则为入口点（情况2）；否则无交点（情况1） ２．都有环的情况，这种情况还要细分: 2.0 先判断两链表环入口点是否相同...，若相同，则为情况4，转入步骤2.1；若不同，则为情况5或6，转入2.2； 2.1 如果为上图中情况4，我们可以把两链表交点作为＂假想的尾部节点＂，然后就退化成两个无环链表找交点的问题了； ...2.2 为判断两链表是否有交点，我们可以从第一个环的入口节点的下一个节点开始next，如果遇到了第二个链表环的入口节点，则返回第一个链表的入口节点（情况5：题目说找出第一个相交的节点，其实我觉得返回第二个链表的入口节点也行
文章目录 1.两个链表都不存在环 2.两个链表均存在环 在上一篇文档中，通过java实现了单链表反转的问题，之后发现一个更有意思的问题就是如何判断两个链表是否相交？如果相交，则需要得到交点。...如果要求这种情况的交点，由于相交部分全部都相同，因此，只需要先得到两个链表的差，用两个指针分别指向这两个链表P1,P2假定P1与P2相差为N，那么将P1移动N个节点后，P1与P2同时出发，第一个相等的节点即为交点...对于如何判断链表上是否存在环，解决办法是采用快慢指针，两个指针P1、P2分别指向同一个链表的头节点，之后，P1一次前进两个节点，P2一次前进一个节点。如果最终P1和P2能重合，则说明一定存在交点。...在得到环的入口点之后，各自判断环的入口点是否相同，如果如口点相同，则为左图描述情况，因此只需计算着两个链表到入口点部分长度之差，然后用长的部分减去差，再同时与短的部分同步前进，如果节点相同，则为相交点。...反之如果入口点不同，则相交点为这两个链表的任意一个入口点。
计算点到折线、矩形、多边形的最近点 计算点到圆的最近距离及交点坐标 计算两条共线的线段的交点 计算线段或直线与线段的交点 求线段或直线与折线、矩形、多边形的交点 求线段或直线与圆的交点...：设P'的纵坐标和P相同，横坐标为正无穷大（很大的一个正数），则P和P'就确定了射线L。 ...判断点是否在多边形中的这个算法的时间复杂度为O(n)。 另外还有一种算法是用带符号的三角形面积之和与多边形面积进行比较，这种算法由于使用浮点数运算所以会带来一定误差，不推荐大家使用。 ...c) 联立两直线的方程组可以解出交点来 这个算法并不复杂，但是要分情况讨论清楚，尤其是当两条线段共线的情况需要单独考虑，所以在前文将求两条共线线段的算法单独写出来。...求线段或直线与折线、矩形、多边形的交点： 分别求与每条边的交点即可。 求线段或直线与圆的交点: 设圆心为O，圆半径为r，直线（或线段）L上的两点为P1,P2。 1.
下面我们看一个平面几何算法。 已知两条直线形成的折线，和圆角的半径，求在两条直线相交位置添加该圆角后的形状。 如图： 思路 思路非常简单。...将两条直线 往中间位置偏移半径的距离，偏移后的两条直线的 交点就是圆角的圆心。 然后基于圆心作两条直线的垂足得到两个点，这两个点就是圆弧起点和终点，然后确定方向就可以了。...Demo 效果演示： 关注公众号，后台回复 “加圆角”，获取在线 demo 地址 实现 我们用两个点表示一条直线。...如果叉积大于 0，说明 v2 在 v1 的右边，和前面的区别就是法向量反过来，其它都是一样的。 求圆心 前面我们得到了偏移后的两条直线，就可以用解方程的方式求两条直线的圆心了。...这个我之前的文章讲过，这里直接给求两直线交点的代码实现： /** * 求两条直线交点 */ export const getLineIntersection = ( p1: Point, p2
算法介绍 光线追踪的思路就是从视角发出光线，分别经过屏幕上的每个像素，这样的光线经过屏幕后，找到相交的首个#物体位置，这就是该像素对应的物体，然后再从物体相交点到光源投射一条光线，这时候就可以计算像素值...假设目标三角形的三个顶点是a,b,c。这时候求交公式就可以表示为如下： image.png 等式右边表示的是交点，如果满足如下公式，那么说明点在三角形内，否则就是三角形外。...阴影计算 阴影计算的一种基础算法是Blinn-Phong模型，将光照模型分为3部分，漫反射，高光，环境光。...image.png 向量的点乘可以表示两个向量方向的接近程度，那么漫反射公式就可以写成如下： image.png 高光 如果观察方向正好是入射光的反射方向，那么这时候接收的能量也比较多，而离反射方向越远...用图表示如下： image.png 描述观察方向和反射光方向的接近程度可以用观察方向和入射方向的二等分量和表面法线的接近程度来表示。
给定两个大小分别为 m 和 n 的正序（从小到大）数组 nums1 和 nums2。请你找出并返回这两个正序数组的 中位数 。算法的时间复杂度应该为 O(log (m+n)) 。...这道题要求找出两个已排序数组的中位数，且算法的时间复杂度应为 O(log(m+n))。其中，O 表示时间复杂度的上限，log 表示对数，m 和 n 分别表示两个数组的大小。...我们可以使用二分查找算法来解决这个问题。首先，我们将两个数组分别记为 nums1 和 nums2。为了方便，我们假设 nums1 的长度小于等于 nums2 的长度。...我们可以在 nums1 中选取一个位置 i，在 nums2 中选取一个位置 j，使得 i+j=(m+n+1)/2，其中 m 和 n 分别是两个数组的长度。...为了保证上述条件成立，我们可以使用二分查找算法在 [0, m] 中查找合适的 i 值。在每次二分查找时，我们可以计算出 j 的值，然后检查上述条件是否成立。
演示 demo 为了验证算法的正确性，我用 Canvas 写了个的简单交互 demo。...可以得邻接表为： [ /* 0 */ [3, 1], // 表示 0 和 3、1 相连 /* 1 */ [0, 2], /* 2 */ [1, 3], /* 3 */ [2, 0], ]; 求初始邻接表的算法实现为...所以我们首先要做的是 求出目标多边形上的所有交点，并更新邻接表，得到一个额外带有交点信息的多边形邻接表。 我们来看看具体要怎么实现。 求交点以及更新邻接表 这里需要一个求两线段交点的算法。...把交点存到 crossPts 数组中。 接着求交点 4 在 1-2 中距离起点（即点 1）的距离，基于它判断落在 1-2 中哪两个点之间。...简单来说就是通过点积公式计算夹角，但夹角只在 0 到 180 之间，这里需要再利用叉积的特性判断顺时针还是逆时针，将顺时针的夹角用 360 减去。 结尾 算法的整体思路大概就是这样。
判断一个点是否在多边形内有几种不同的思路，相应的方法有： 射线法：从判断点向某个统一方向作射线，依交点个数的奇偶判断； 转角法：按照多边形顶点逆时针顺序，根据顶点和判断点连线的方向正负（设定角度逆时针为正...，也是比较实用的图形学基础算法。...该算法对于复合多边形也能正确判断。 ? 射线法的关键是正确计算射线与每条边是否相交。并且规定线段与射线重叠或者射线经过线段下端点属于不相交。首先排除掉不相交的情况，下图的情况都是需要排除掉的： ?...函数isRayIntersectsSegment()里求交的部分就是利用两个三角形的比例关系求出交点在起点的左边还是右边；用图去理解如下： ?...测试用的有孔洞多边形 用 isPoiWithinPoly() 的测试结果如下： ?
求圆与直线的交点的方法是： 求圆心c在直线l上的投影点pr 求出直线l上的单位向量e 根据r和pr的长度来计算出圆内线段部分的一半base 用pr±base*e即得到答案 题目：CGL_7_D AC代码...cy; (*this).r = r; } }; double get_distance_LP(const Line &line, const Point &p) //点到直线的距离...l.vec)/ ( l.vec.sqr()); double base = sqrt(c.r * c.r - (pr-c.o).sqr()); if (base 交点...{ return make_pair(pr, pr); } //有两个交点 Point e = (l.vec) / l.vec.abs();
但该算法限制较大，多边形必须为凸多变形。 最近我的图形编辑器又新增了星形图形，然而这个星形又不是凸多边形。 于是我再基于射线法，实现一个较通用的算法，支持判断点是否在任意多边形内。...实现后的图形拾取效果如下。 射线法原理 这里我们用射线法来实现。 原理很简单，从点引出一条射线，计算射线和多边形的交点数量。 交点数如果是奇数，说明点在多边形内；如果是偶数，则点不在多边形内。...} 拿到边的两个端点 a 和 b。我们调整一下 a 和 b 的位置，确保 a 是上方的点，b 是下方的点。...我们求 a 到 b，和 a 到 目标点这两个向量的叉积。 如果叉积为 0，说明是特殊情况：点在边上。此时不用继续遍历，直接返回 true（或 false）。...if (a.y pt.y) { // 求 a 到 b，和 a 到 目标点这两个向量的叉积 const crossProduct = (pt.x - a.x
作图步骤(如图5-16b所示)： (1)求特殊点(如点A、B、C、D) 由于两圆柱的正视转向轮廓线处于同一正平面上，故可直接求得A、B两点的投影。...作图步骤(如图5-16b所示)： (1)求特殊点(如点A、B、C、D) 由于两圆柱的正视转向轮廓线处于同一正平面上，故可直接求得A、B两点的投影。...3.用辅助平面法求共有点的作图步骤 (1)作辅助平面； (2)分别作出辅助平面与两回转面的截交线； (3)两回转面截交线的交点，即为所求的共有点。...作图步骤(如图5-21b～f所示)： (1)求特殊点 如图5-21b所示，由于圆锥台的轴线与半球铅垂方向的轴线平行，并与圆锥台、半球的正视转向轮廓线处于同一正平面内，故可用包含圆锥轴线和圆球轴线所决定的正平面...现可由其正面投影交点1′、2′，求得水平投影1、2和侧面投影1″、(2″)。Ⅰ、Ⅱ两点分别为相贯线上的最低点和最高点，也是最左点和最右点(注意：仅有这一个正平面可作辅助正平面？为什么？
今天来实现计算两条线段的交点的解析几何算法。 我们要实现 getLineSegIntersection 方法：提供两条线段，计算它们的交点。 每条线段会用两个点坐标表示。...对于： 可转换为矩阵形式表示： 然后计算主矩阵（最左边的矩阵）的行列式，对角相乘然后相减： 如果行列式为 0，说明没有唯一解； 如果不为 0，则有唯一解： 回到我们的两条直线，我们用两点式表示直线...，实现其他的算法。...变体1：两线段是否有交点。 返回值换成布尔值即可。 判断两线段是否有交点，我之前还写了另一种解法，感兴趣可以看看： 《几何算法：判断两条线段是否相交》 变体2：计算两直线的交点。...结尾 总结一下，求两线段的交点，本质就是解方程，需要用到克莱姆法则，计算出来的交点是直线交点，不一定是线段交点，需要再判断点是否在线段范围内。 不复杂，就是有一点点小细节。
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