硬币更换问题:自上而下的方法似乎不是多项式的

硬币更换问题是一个经典的组合优化问题，也被称为硬币找零问题。问题描述为：给定一定面值的硬币和一个目标金额，找出最少需要多少个硬币才能凑出目标金额。

自上而下的方法指的是使用递归的方式解决问题。在解决硬币更换问题时，可以使用动态规划的思想来优化递归解法。具体步骤如下：

1. 定义状态：设dp[i]表示凑出金额i所需的最少硬币数量。
2. 初始化状态：dp[0] = 0，表示凑出金额0所需的硬币数量为0。
3. 状态转移方程：对于每个金额i，遍历硬币面值coins[j]，如果coins[j] <= i，则可以选择使用该硬币，此时需要考虑凑出金额i-coins[j]所需的硬币数量，即dp[i-coins[j]]，因此状态转移方程为dp[i] = min(dp[i], dp[i-coins[j]] + 1)。
4. 返回结果：dp[目标金额]即为所需的最少硬币数量。

这种自上而下的方法虽然直观，但是由于存在大量的重复计算，时间复杂度较高，不是多项式的。为了优化算法效率，可以使用自下而上的方法，即动态规划的迭代解法。

以下是一个完整的自下而上的动态规划解法的示例代码：

def coinChange(coins, amount):
    dp = [float('inf')] * (amount + 1)
    dp[0] = 0

    for i in range(1, amount + 1):
        for coin in coins:
            if coin <= i:
                dp[i] = min(dp[i], dp[i - coin] + 1)

    return dp[amount] if dp[amount] != float('inf') else -1

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