比方说牛顿法虽然具有局部上的二次收敛速度，但是它同时需要依赖海塞矩阵的计算，这就意味着即使迭代步数上牛顿法显著优于梯度法，但每一步迭代所花费的时间也急剧增大了。...可以思考一下，从把一般的矩阵消成上三角矩阵，就需要大约 次浮点数运算，因此对于这种情况，求解线性方程组就需要 的时间复杂度。...当然了有的人会说分解本身就会需要很长时间。这当然是没错的，矩阵分解本身也是 的时间复杂度的。但是如果说我们做了一次分解，可以给多次计算使用，那么就会大大降低时间复杂度。...矩阵论/数值线性代数基础：矩阵灵敏性分析 这里的灵敏性分析虽然也叫sensitivity analysis，但是和优化问题的灵敏性分析不太一样（优化问题的灵敏性分析会放到后面单独说），我们这里是研究解线性方程组的灵敏性...这个性质告诉我们，如果线性方程组系数的条件数过大，那么解的变化率就会越大，因此在解线性方程组的时候也会具有更多的不稳定性。
向量组的线性相关性：给出向量组线性相关与线性无关的定义，介绍判断向量组线性相关性的方法，如利用定义、矩阵的秩等。...线性方程组 线性方程组的基本概念：介绍线性方程组的一般形式、增广矩阵等概念，讨论线性方程组的解的情况，即有解、无解、有无穷多解等。...线性方程组的消元法：讲解利用矩阵的初等行变换求解线性方程组的消元法，包括将增广矩阵化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵，从而得到线性方程组的解。...线性方程组解的结构：讨论齐次线性方程组的基础解系的概念和求法，以及非齐次线性方程组的通解的结构，即非齐次线性方程组的通解等于对应的齐次线性方程组的通解加上非齐次线性方程组的一个特解。...相似矩阵：定义相似矩阵的概念，介绍相似矩阵的性质，如相似矩阵具有相同的特征值等，讲解矩阵可相似对角化的条件及相似对角化的方法。
渐近方差和有效性：矩估计法在大样本情况下，其渐近方差可以用来衡量估计的有效性。具体来说，如果随机向量满足特定条件，则任何具有方差的估计器都是有效的。...通过比较渐近方差，可以证明矩估计器中的最大似然估计（MLE）的渐近方差为特定形式，这有助于评估其有效性。 一致性：在大样本情况下，矩估计的一致性也是一个重要的考量因素。...不合理的解和多重解：有时矩估计法会得到不合理的解，或者同一个参数可能存在多个不同的矩估计值。这使得最终的估计结果缺乏唯一性和可靠性。...评价标准和选择最优解：当矩估计不唯一时，需要对这些估计的好坏给出评价标准，例如使用均方误差（MSE）的概念来选择最优的估计量。...矩估计法与其他参数估计方法（如似然估计、贝叶斯估计）相比，具有以下优势和劣势： 优势： 简单易用：矩估计法的计算相对简单，只需要通过样本矩和理论矩的对应关系即可进行参数估计。
渐近记号 ①渐近上界记号O 渐近地给出一个函数在常量因子内的上界: O(g(n)) = { f(n) : 存在正常量c和n0，使得对所有n ≥ n0，有0 ≤ f(n) ≤ cg(n)} O可用于标识最坏情况运行时间...注： －步骤①~③是动态规划算法的基本步骤。如果只需要求出最优值的情形，步骤④可以省略 －若需要求出问题的一个最优解，则必须执行步骤④，步骤③中记录的信息是构造最优解的基础。...动态规划的有效性依赖于问题具有两个重要性质 最优子结构 问题的最优解是由其子问题的最优解来构造，则称该问题具有最优子结构性质。...换句话说，对于一个给定的NP问题，如果我们有一个解，我们可以在多项式时间内验证这个解的正确性。然而，我们并不能在多项式时间内找到一个解。...需要注意的是，虽然NP问题的解不能在多项式时间内找到，但如果我们得到了一个解，我们可以在多项式时间内验证其正确性。因此，一些NP问题可以通过近似算法或优化策略来获得接近最优解的解决方案。
图二 Ω标记：渐进下界 如图，和图一相比，它没有上界要求，图一上下均不能越界，它只有下界要求，所以叫做渐近下界 ? 图三 O：渐近上界 和Ω标记类似，上边不越界，下边不做要求 ?...（1）分解，将要解决的问题划分成若干规模较小的同类问题； （2）求解，当子问题划分得足够小时，用较简单的方法解决； （3）合并，按原问题的要求，将子问题的解逐层合并构成原问题的解。...三个求解分治法Θ或Ω的方法 1、代入法 即假设一个界，然后数学归纳法证明 这种方法需要经验的积累，可以通过转换为先前见过的类似递归式来求解。...图八 递归树式子需要解释的地方有 cn其实就是一个函数f(n),这个函数所代表的意思是分解和合并步骤所花费的时间，哈哈 其（f(n)）复杂度为Θ（n）,由此再去理解图七中的式子就好理解了 下面来用递归树的方法求分治算法的渐进界...T(n) = aT(n/b) + f (n) ,函数f(n),这个函数所代表的意思是分解和合并步骤所花费的时间 下图就是主定理，记住就行，也可以自己去推导一蛤~ ?
结论：求解相同的线性方程组，使用Eigen::ConjugateGradient的比scipy.sparse.linalg.splu具有优先一个量级的求解精度。....+ 加速线性方程组的求解：DPCG+ICCG 通过分析计算时间发现，尽管使用了Eigen的共轭梯度法来求解线性方程组，这个过程依旧非常耗时，所以优化重点在于进一步加速线性方程组的求解。...，通常很难在理想的迭代次数（几到几十步）获得解向量，CG方法通常需要和Preconditioner一起使用。...通过统计Mosek方法每轮迭代中求解线性方程组的难易程度发现，随着Mosek方法迭代轮数的增加，求解线性方程组越来越困难（获得解向量的迭代次数增加），后期甚至到了无法接受的上千次迭代次数。...（注：模拟数据中，使用Incomplete Cholesky Preconditioner最多需要37次可以得到方程解向量，而Diagonal Preconditioner需要4045次） 同时考虑到Diagonal
遗憾的是并不存在通用的方法来猜测递归式的正确解，需要凭借经验，偶尔还需要创造力。即使猜出了递归式解的渐近界，也有可能在数学归纳证明时莫名其妙的失败。...在上图(d)部分中，完全展开的递归树高度为lgnlgn(树高为根结点到叶结点最长简单路径上边的数目)，所有递归树具有lgn+1lgn+1层，所以总代价为cn∗(lgn+1)cn∗(lgn+1)，所有时间复杂度为...这个递推式将规模为n的问题分解为a个子问题，每个子问题的规模为n/bn/b，a个子问题递归地求解，每个花费时间T(n/b)T(n/b)。函数f(n)f(n)包含了问题分解和子问题解合并的代价。...这种递归方程是分治法的时间复杂性所满足的递归关系，即一个规模为n的问题被分成规模均为n/b的a个子问题，递归地求解这a个子问题，然后通过对这a个子问题的解的综合，得到原问题的解。... 对应上面的齐次方程的特征方程为： 如果解得t=r是该特征方程的m重根，则这m个解的形式为：{rn n*rn n2rn … nm-1rn},其余的关于复数解的形式和普通的线性方程组的形式类似
自1990年来，SODA每年举办一次，举办时间通常在一月份。...线性方程组一般包含两个或多个带有变量的方程式。这些变量表示事物之间相互联系的不同方式。这些方程式之所以被称为“线性”，是因为所有变量的幂恰好是 1，且方程式的图形解能形成一个平面。...该算法最终成功的关键在于，它会随机进行三个初始猜测。随机性可能对于猜测而言不是良好的起点，但作为一种通用方法，它具有独特优势，尤其是在处理大量问题时。...因为矩阵中的条目是随机的，并且它们之间发生协调，所以矩阵本身最终会具有某些对称性。这些对称性使快捷计算快捷成为可能。就像任何高度对称的对象一样，只需要知道其一部分，就可以推断出整体。...结果，彭泱和Vempala的算法可以比没有对称性的矩阵更快地在矩阵中找到解。矩阵的对称性也传达了另一个重要的好处：有助于确保猜测永远不会太大（导致以算法效率的角度来看变得难以理解）。
考前知识点整理 课程介绍 算法分析基础 算法的定义 算法正确性 算法的性质 程序的定义 程序与算法的区别 算法设计和分析的步骤 复杂度分析 算法的时间复杂性 算法渐近复杂性 渐近分析的记号...渐近上界记号 渐近下界记号 非紧上界记号 非紧下界记号 紧渐近界记号 意义 算法分析中常见的复杂性函数 算法分析方法 算法分析的基本法则 递归 基本概念 递归优缺点 递归树方法 主方法 主定理...复杂度分析 算法复杂性 = 算法所需要的计算机资源 1、考虑算法的好坏主要有以下几点： （1）执行算法所耗费的时间。 （2）执行算法所耗费的存储空间，其中主要考虑辅助存储空间。...算法的时间复杂性 算法渐近复杂性 渐近分析的记号 渐近上界记号 渐近下界记号 非紧上界记号 非紧下界记号 紧渐近界记号 意义 算法分析中常见的复杂性函数 算法分析方法...一个算法复杂性的高低体现在计算机运行该算法所需的时间和存储器资源上，因此算法的复杂性有 时间复杂性 和 空间复杂性之分。
很多程序员，做了很长时间的编程工作却始终都弄不明白算法的时间复杂度的估算，这是很可悲的一件事情。因为弄不清楚，所以也就从不深究自己写的代码是否效率底下，是不是可以通过优化，让计算机更加快速高效。...算法设计的要求 一个好的算法的设计要求，必须符合以下的几个特性：正确性，可读性，健壮性，时间效率高和存储量低这四个特性。...算法效率的度量方法 一般我们分析一套算法的效率，有事后统计法和事前分析法，但是事后统计法显然是有很大缺陷的，首先它必须要我们先编写好一套程序，这通常需要花费很大的时间和精力。...所以一般我们对一套算法的分析，需要事前分析。...函数的渐近增长 函数的渐近增长：给定两个函数f(n)和g(n), 如果存在一个整数N，使得对于所有的n>N，f(n)总是比g(n)大, 那么我们就说f(n)的增长渐近快于g(n)。
有如下的指标： 2、衡量算法的指标： （1）时间复杂度：执行这个算法需要消耗多少时间。 （2）空间复杂度：这个算法需要占用多少内存空间。 ...算法在时间的高效性和空间的高效性之间通常是矛盾的。所以一般只会取一个平衡点。通常我们假设程序运行在足够大的内存空间中，所以研究更多的是算法的时间复杂度。...但我们不可能对每个算法都上机测试，只需知道哪个算法花费的时间多，哪个算法花费的时间少就可以了。而且一个算法花费的时间与算法中的基本操作语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。...在算法分析时，往往对算法的时间复杂度和渐近时间复杂度不予区分，而经常是将渐近时间复杂度 O(f(n)) 简称为时间复杂度，其中的f(n)一般是算法中频度最大的语句频度。...一般来说，具有多项式时间复杂度的算法是可以接受的；具有指数（不是对数）时间复杂度的算法，只有当n足够小时才可以使用。一般效率较好的算法要控制在O(log2n) 或者 O(n)
13.渐近线的求法 (1)水平渐近线 若 ? ，或 ? ，则 ? 称为函数 ? 的水平渐近线。 (2)铅直渐近线 若 ? ，或 ? ，则 ? 称为 ? 的铅直渐近线。...(3)斜渐近线 若 ? ，则 ? 称为 ? 的斜渐近线。 14.函数凹凸性的判断 Th1: (凹凸性的判别定理）若在I上 ? （或 ? ），则 ? 在I上是凸的（或凹的）。...3.非奇次线性方程组有解的充分必要条件，线性方程组解的性质和解的结构 (1) 设 ? 为 ? 矩阵，若 ? ，则对 ? 而言必有 ? ，从而 ? 有解。 (2) 设 ? 为 ? 的解，则 ? 当 ?...的解；但当 ? 时，则为 ? 的解。特别 ? 为 ? 的解； ? 为 ? 的解。 (3) 非齐次线性方程组 ? 无解 ? 不能由 ? 的列向量 ? 线性表示。...4.奇次线性方程组的基础解系和通解，解空间，非奇次线性方程组的通解 (1) 齐次方程组 ? 恒有解(必有零解)。当有非零解时，由于解向量的任意线性组合仍是该齐次方程组的解向量，因此 ?
大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。 克莱姆法则（由线性方程组的系数确定方程组解的表达式）是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理，它适用于变量和方程数目相等的线性方程组。...有唯一解，其解为 记法2：若线性方程组的系数矩阵A可逆（非奇异），即系数行列式 D≠0，则线性方程组有唯一解，其解为 其中Dj是把D中第j列元素对应地换成常数项而其余各列保持不变所得到的行列式...推论 1）n元齐次线性方程组有唯一零解的充要条件是系数行列式不等于零，系数矩阵可逆（矩阵可逆=矩阵非奇异=矩阵对应的行列式不为0=满秩=行列向量线性无关）； 2）n元齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数行列式等于零...法则总结 1.克莱姆法则的重要理论价值： 1）研究了方程组的系数与方程组解的存在性与唯一性关系； 2）与其在计算方面的作用相比，克莱姆法则更具有重大的理论价值。...（一般没有计算价值，计算量较大，复杂度太高） 2.应用克莱姆法则判断具有N个方程、N个未知数的线性方程组的解： 1）当方程组的系数行列式不等于零时，则方程组有解，且具有唯一的解； 2）如果方程组无解或者有两个不同的解
当一个矩阵具有重复的特征值时，意味着存在多个线性无关的特征向量对应于相同的特征值。这种情况下，我们称矩阵具有重复特征值。...如果代数重数m为1，那么我们已经找到了唯一的特征向量。它是解线性方程组(A-λI)x = 0的解。 如果代数重数m大于1，我们需要进一步寻找额外的线性无关特征向量。可以使用以下方法之一： a....利用线性方程组(A-λI)x = 0的解空间的性质，构造线性无关的特征向量。这涉及到使用高斯消元法或LU分解来求解方程组，并在求解时保持线性无关性。 b. 利用特征向量的正交性质。...当矩阵具有重复特征值时，我们需要找到与特征值相关的线性无关特征向量。对于代数重数为1的特征值，只需要求解一个线性方程组即可获得唯一的特征向量。...对于代数重数大于1的特征值，我们需要进一步寻找额外的线性无关特征向量，可以利用线性方程组解空间的性质或特征向量的正交性质来构造这些特征向量。这样，我们就可以完整地描述带有重复特征值的矩阵的特征向量。
前段时间过冷水在学习中遇到了一个解非线性方程组的问题，遇到非线性方程组的的问题过冷水果断一如既往、毫不犹豫的 fsolve()、feval()函数走起，直到有人问我溯本求源的问题——非线性方程组求解算法...于是过冷水就去查了一下解非线性方程组的算法，觉得Newton-Raphson method算法针对我们的问题比较合适，本期过冷水就给大家讲讲该算法思路 已知方程f(x)=0有近似根xk将函数f(x)在xk...这是个线性方程，记其根为xk+1,则xk+1的计算公式为： ? 这就是解一元非线性方程的牛顿迭代法公式，我们的问题是非线性方程组，需要把一元扩展到二元。...记非线性方程组为：F(B12,B21)=0,函数F(B12,B21)的导数F、(B12,B21)称为雅克比矩阵，表示为： ? 非线性方程组的牛顿迭代法就是直接将单方程的牛顿迭代法的套用； ?...复杂的非线性方程组往往会存在多解的情况，用算法或者matlab自带函数很难一次性求出全部解，都是给出初始值附近的解（局部解），过冷水就行如果能够用三维图绘制出线性方程组的解区间示意图该多好。
这不就是数学家高斯使用的算法吗？ ? 一共50对数，每对之和均为101，那么总和为： （1+100）×50=5050 1787年，10岁的高斯用了很短的时间算出了结果，而其他孩子却要算很长时间。...“伪代码”介于自然语言和程序设计语言之间，它更符合人们的表达方式，容易理解，但不是严格的程序设计语言，如果要上机调试，需要转换成标准的计算机程序设计语言才能运行。 算法具有以下特性。...（4）高效性：高效性是指算法运行效率高，即算法运行所消耗的时间短。算法时间复杂度就是算法运行需要的时间。...因此，将算法基本运算的执行次数作为时间复杂度的衡量标准。 （5）低存储性：低存储性是指算法所需要的存储空间低。对于像手机、平板电脑这样的嵌入式设备，算法如果占用空间过大，则无法运行。...有些算法，如排序、查找、插入等算法，可以分为最好、最坏和平均情况分别求算法渐近复杂度，但我们考查一个算法通常考查最坏的情况，而不是考查最好的情况，最坏情况对衡量算法的好坏具有实际的意义。
简化计算总结 2.4.4 行列式的3种表示方法 2.5 行列式的性质 性质1 行列式与它的转置行列式相等 注：行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立....，从而算得行列式的值 定理中包含着三个结论： 1）方程组有解；（解的存在性） 2）解是唯一的；（解的唯一性） 3）解可以由公式(2)给出....齐次线性方程组的相关定理 定理5 如果齐次线性方程组的系数行列式D不等于0，则齐次线性方程组只有零解，没有非零解. 定理5′ 如果齐次线性方程组有非零解,则它的系数行列式必为零. 1....线性方程组的解的结构 问题：什么是线性方程组的解的结构？...答：所谓线性方程组的解的结构，就是当线性方程组有无限多个解时，解与解之间的相互关系．
但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试，只需知道哪个算法花费的时间多，哪个算法花费的时间少就可以了。并且一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。...三、算法的时间复杂度（计算实例） 定义：如果一个问题的规模是n，解这一问题的某一算法所需要的时间为T(n)，它是n的某一函数 T(n)称为这一算法的“时间复杂性”。...当输入量n逐渐加大时，时间复杂性的极限情形称为算法的“渐近时间复杂性”。 我们常用大O表示法表示时间复杂性，注意它是某一个算法的时间复杂性。...用strcmp比较两个具有n个字符的串需要O(n)时间 。常规的矩阵乘算法是O(n^3)，因为算出每个元素都需要将n对 元素相乘并加到一起，所有元素的个数是n^2。...指数时间算法通常来源于需要求出所有可能结果。例如，n个元 素的集合共有2n个子集,所以要求出所有子集的算法将是O(2n)的 。
以在单位圆上的泊松方程 –∇2u = 1 为例，如果以在 x>=0 上 u=0 作为边界条件： 所得出解的图形为： 2.1 输入表达式 目前，在 NDSolve 中适用于有限元法的偏微分方程式必须具有以下形式...绘制解的图形： 需要注意的是，由于 NeumannValue 是根据方程(1) 的 PDE 以方程 (4) 的形式确定的，因此可能需要"手动"调整诺伊曼条件。...首先，如果我们删除与公式(1) 的时间导数相关的部分，则有 若将， 则变为以下简单形式： 尽管将非线性 PDE 进行线性化，与求 1 个变量的非线性方程组的数值解相同，将任意函数 u0 作为种子，由此渐进逼近使...种子 u0 默认为 u(x) = 0, ∀ x ∈ Ω，是 NDSolve 的一个选项，例如，可指定为 InitialSeeding→{u[x,y]==x+Exp[-Abs[y]]} 考虑到线性化的渐近解可能导致意想不到的局部解...由于 Wolfram 语言在符号计算方面的优势，无论 PDE 形式如何，都可以在保证求解的高效性和统一性的同时，保证其高度通用性。有关 FEM 的内部处理的详细信息已经发布。
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