线性方程组是各个方程的未知元的次数都是一次的方程组。解这样的方程组有两种方法：克拉默法则和矩阵消元法。 矩阵消元法 矩阵消元法。...将线性方程组的增广矩阵通过行的初等变换化为行简化阶梯形矩阵 ，则以行简化阶梯形矩阵为增广矩阵的线性方程组与原方程组同解。...当方程组有解时，将其中单位列向量对应的未知量取为非自由未知量，其余的未知量取为自由未知量，即可找出线性方程组的解。 这种方法适合手工解方程，通过编写程序来解方程这种方法基本行不通。...用克莱姆法则求解方程组实际上相当于用逆矩阵的方法求解线性方程组，它建立线性方程组的解与其系数和常数间的关系，但由于求解时要计算 n+1 个 n 阶行列式，其工作量常常很大，所以克莱姆法则常用于理论证明，...的值，既然如此，那么我就只要逆矩阵*常数向量就可以得出解向量 x 了，代码实现比上面那种方法简单太多了，一行代码就能求出解向量，代码如下： # 系数矩阵的逆*常数向量 x = inv(a)@b for
SOR迭代是在Gauss-Seidel迭代方法基础之上的进一步改进。其特征是取xk+1和xk的一个适当的加权平均来加快Gauss-Seidel收敛。对于方程组 ?...·数值算例 对于下列的稀疏方程组，其精确解是X=[1,1,...,1]。 ?...1)当n=200时,分别用Jacobi，Gauss-Seidel以及SOR （ω=1.5和ω=1.2），比较三种方法收敛所需的迭代步数。 ?...2)当n=1000时,分别取ω=1.2，1.3，1.6时SOR收敛所需的迭代步数 ? 合理选择参数ω决定了SOR比Gauss-Seidel更快收敛。
迭代持续进行，直到向量gk的模达到一个较小的值，也就是误差允许范围之内。 后台回复“梯度法”可获取Fortran及python代码下载地址。...共轭梯度法是介于梯度下降法与牛顿法之间的一个方法，是一个一阶方法。它克服了梯度下降法收敛慢的缺点，又避免了存储和计算牛顿法所需要的二阶导数信息。...在n维的优化问题中，共轭梯度法最多n次迭代就能找到最优解（是找到，不是接近），但是只针对二次规划问题。...共轭梯度法的思想就是找到n个两两共轭的共轭方向，每次沿着一个方向优化得到该方向上的极小值，后面再沿其它方向求极小值的时候，不会影响前面已经得到的沿哪些方向上的极小值，所以理论上对n个方向都求出极小值就得到了...n维问题的极小值。
相邻房子不能同时偷，求在此约束下，偷n个房子获益的最大值。...约束条件：相邻房子不能同时偷。...，如果想成前一个房子一定要偷，这就表示偷房子的序列为间隔性的能偷的最大钱数，这是不一定的，比如：3,2,2,3，最大收益为6，中间隔了两个房子！）...分别比较下这两种决策下的最大能偷的钱数： 1）偷 i，能获得收益为： maxval = num[i] + premax，其中 premax 表示前一个房子没偷能拿到的最大钱数； 2）不偷 i，能获得最大收益为...i，所以需要用一个临时变量存储起来，供下一个时步用） 可以看到这两种情况相互耦合 1）的premax实际上是上一时步 2）的premax 2）的maxval实际上是上一时步 1）的maxval 最后一步
当线性方程组的规模比较大时，采用高斯消元法需要太多时间。这时就要采用迭代法求解方程组了。高斯消元法是一个O(n^3)的浮点运算的有限序列，在经过有限步计算之后理论上得到的是精确解(无舍入误差时)。...而迭代法在经过有限步迭代之后一般不产生精确解，迭代法在计算过程中逐渐减小误差，当误差小于容许值时停止迭代计算。方程组的系数矩阵是严格对角占优矩阵时，迭代总是收敛的。...继续迭代过程最终会收敛到解[1，2].这个迭代过程就是Jacobi迭代。 对于方程组u+2v=5，3u+v=5，由于方程组的系数矩阵不是严格对角占优矩阵时，因此迭代不收敛。来看迭代过程： ?...设D表示系数矩阵A 的主对角部分，L表示A的主对角线下方部分，U表示A的主对角线上方部分。则A=D+L+U，AX=b可改写为 ? 对于上面的方程组3u+v=5，u+2v=5，写成矩阵形式 ?...这与之前的迭代格式是一致的。 Fortran源代码 ?
不同于前者，ARP的基本特征是车队从一个仓库出发，对所有需要服务的边进行作业，而不是在顶点进行服务。弧路径问题大致可以分为三类：中国邮路问题、乡村邮路问题和带容量约束的弧路径问题。...自1981年Golden和Wong提出带容量约束的弧路径问题（Capacitated Arc Routing Problem，简称CARP）后，CARP便普遍应用在日常生活中，特别是市政服务方面，如道路洒水车路径规划...表示每辆车p对应的路径都是一个偶图； 约束(6)为决策变量的取值约束。...，或者问题中对个别重要路径限制了比较短的服务时间窗 带补给点CARP 该问题是指车辆在道路进行服务过程中，中途的顶点可以对服务车进行原料补充。...如道路洒水车作业时，水箱的补给由道路的消防栓提供，而不用回到仓库 P4 求解算法介绍 对于CARP及其变式问题的求解方法有很多，有些算法可以得出确定的值，而有些算法只是对解的逼近，但具有更强的适应性。
与Jacobi迭代法密切相关的一种迭代方法叫做Gauss-Seidel迭代方法。Gauss-Seidel方法与Jacobi方法之间的差别是：在一个迭代步里，一旦未知变量值有更新，则立马投入使用。...注意红圈位置是Gauss-Seidel方法与Jacobi方法之间的差别：v1的计算用到了u1而不是u0。通常情况下Gauss-Seidel方法比Jacobi方法收敛更快。...设D表示系数矩阵A 的主对角部分，L表示A的主对角线下方部分，U表示A的主对角线上方部分。则A=D+L+U，AX=b可改写为(D+L+U)x=b,进一步有 ?...系数矩阵是严格对角占优的，因此迭代将收敛到精确解[2，-1，1]。 Gauss-Seidel方法的Fortran程序 ?
房子按圆形排列（第一个房子和最后一个挨着），约束还是相邻房子不能偷，求偷钱数额最大。...相邻房子不能同时偷，求在此约束下，偷n个房子获益的最大值。 02 分析 动态规划|相邻约束下的最优解 以上这个链接给出的是一个：最后一个房子不与第一个挨着，的解决方案，分析思路，代码都有。...那么，这个相对复杂点的问题与上面简单的这个区别是什么？...房子1如果没偷，偷的序列切分为：2->3 切分为这两种情况后，每种情况就可以套用第一个(非圆形)问题的解决思路了。...03 实现 动态规划|相邻约束下的最优解 House Robber I 代码： def rob(self, nums): premax, maxval = 0,0
用户可以通过编写PyTorch函数来指定约束，Pylon将这些函数编译成可微分的损失函数，使得模型在训练过程中不仅拟合数据，还能满足特定的约束条件。...例如，在医疗数据分析中，一个程序性约束可能是“患者年龄不能为负数”。在深度学习模型的训练过程中，可以将这样的约束作为额外的条件，确保模型的预测结果符合这一逻辑规则。...在Pylon框架中，通过约束函数（Constraint Function）定义约束条件，它是一种特殊的Python函数，用于表达和实施模型训练过程中的特定约束。...4、可微分：在Pylon框架中，约束函数被编译成可微分的损失函数，这样可以通过标准的梯度下降算法来优化模型参数，以最大化满足约束的概率。...5、结构利用：Pylon框架会分析约束函数的结构，寻找是否有已知的结构模式，如逻辑运算，以便更高效地计算损失，或者使用近似方法来处理复杂的约束。
解线性方程组的直接法 0. 问题描述 1. 消元法 1. 三角方程组 1. 对角方程组 2. 下三角方程组 3. 上三角方程组 2. Gauss消元法 3....问题描述 这一章节考察的就是如何求解线性方程组： {...Gauss消元法 现在，我们来考察一下一般形式的多元线性方程的解法。 其核心的思路其实还是将其转换成三角矩阵然后进行求解。...{LyUx=b=y 分别解上述两个方程，即可得到最终的解 ： {...⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧lijuij=aik−r=1∑k−1lirurk=(akj−r=1∑k−1lkrurj)/lkk 同样的，我们可以通过下述函数对最终的解
本文章总结于大疆前技术总监，目前在卡内基梅隆大学读博的杨硕博士在深蓝学院的关于机器人的带约束轨迹规划的公开课演讲内容。...解算运行2-5秒时长的轨迹的求解速度必须小于0.5秒甚至达到50Hz，这样才能做MPC（MPC是模型预测控制）。 2、尽量精确地符合约束。所有的等式约束不能有较大的违反值。...上述的优化问题的解如下： >>点击查看大图<< 最优的u就是一个关于x的反馈形式。...上述是无穷时域的问题，当转换到有穷时域，即代价函数变为： 对于有穷时域的优化问题，解如下： >>点击查看大图<< 如上图所示，和无穷时域不同的是，有穷时域的半正定矩阵S是关于t的函数，最优解u关于x...我们首先根据经验和对模型的理解设定一个初始控制器，然后用这个控制器生成初始的轨迹。接着重复进行沿轨迹线性化、解LQR、用LQR的解更新初始的控制器的过程。
这一节我们会开辟一个全新的领域，我们会开始介绍带约束优化的相关内容。带约束优化在某些细节上会与之前的内容有所不同，但是主要的思路啥的都会和我们之前的传统方法一致，所以倒也不必担心。 那么我们开始吧。...所以自然需要引入很多额外的定义，也就是说在介绍具体的方法之前，我们会用大量的定义和定理为大家构建一个带约束优化问题的框架，这样的话在遇到一些带约束优化特有的情形的时候，就不会感到奇怪。...而要说明向量与空间的垂直性，长度这个因素是不用考虑的。 下面我们给出带约束优化问题中，驻点的定义。...所以带约束优化的情况和无约束情况，至少在这个约束条件下，还是略有不同的。 接下来我们来看看 的情况。...小结 本节我们主要是在构建一个理解带约束优化问题的框架，同时我们花很少的篇幅给大家介绍了梯度投影法。
解线性方程组的迭代法 0. 问题描述 1. Jacobi迭代 1. Jacobi迭代方法 2. Jacobi迭代矩阵 3. Jacobi迭代收敛条件 4. python伪代码实现 2....问题描述 这一章节要解的问题和上一章是一样的，依然还是 元线性方程组的求解问题。...而本章则是的思路则是将问题 转换成 的迭代形式，从而，我们就可以给出迭代数组 。 此时，如果 满足收敛条件，那么 就会收敛到 的一组解当中，上述问题同样可以得到解答。 1....迭代则是在计算每一个 的时候就是用当前已经迭代计算完成的所有的 的结果。...逆矩阵的计算原则上来说其实算是上述解线性方程组的一个特殊应用，事实上解 个单元向量然后将其解拼接一下就能得到我们的逆矩阵了。
化解约束方程 问题 Mosek方法要求将输入的约束化为标准型： 在需求中只包含不等式约束，目标变量x的取值范围为x>=0，且存在x=0的情况。...； step2: 检查约束方程中是否存在单变量约束，若存在，则根据单变量约束条件重新确定待求解变量x的取值范围，并将该约束方程剔除； step3: 根据剩下约束方程和变量取值范围化为标准型。...，通常很难在理想的迭代次数（几到几十步）获得解向量，CG方法通常需要和Preconditioner一起使用。...通过统计Mosek方法每轮迭代中求解线性方程组的难易程度发现，随着Mosek方法迭代轮数的增加，求解线性方程组越来越困难（获得解向量的迭代次数增加），后期甚至到了无法接受的上千次迭代次数。...PS：这是我第一次独立完成的一个小项目，接触这个项目时对线性规划甚至一知半解都谈不上，整个过程中全靠知乎和quora拯救我，再次感谢各位知乎大大的笔记。
我们今天继续麻省理工的线性代数，昨天有同学给我留言问我，为什么不选最新版的视频，要选05版的。这里简单解释一下，主要有这么几个原因。...其次是05版的老师非常好，是著名的《线性代数》书籍的作者，在业内非常权威，并且讲课风趣幽默，鞭辟入里。...最后一个原因是，这个视频在B站有成熟的搬运和字幕，方便英语相对不太好的同学学习，并且还有充足的弹幕，比较有乐趣。 虽然画质有点感人，但相信我耐心看下去，一定会有收获的。...，等做完左侧的矩阵部分再去修改右侧的 b 矩阵。...{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}1&2&1&|&2\\0&2&-2&|&6\\0&0&5&|&10\end{bmatrix} 我们把 b 带上之后，可以看出方程的解已经出来了
向量x称之为优化向量，f0是目标函数，fi是约束函数，问题在于满足约束条件下寻找最优解 一般的，如果目标函数和约束函数是线性函数的话，则是线性规划问题，即 ?...求解最小二乘问题 上述式子的求解可以简化为求解一组线性方程，由 ? 可以推出 ? 可得解析解 ?...，不过，判断哪些问题是否属于凸优化问题是比较有挑战性的工作 1.4 非线性优化 即目标函数和约束函数是非线性函数的优化问题 1.4.1 局部优化 寻找局部最优解，不保证是全局最优 1.4.2 全局优化...在全局优化中，人们致力于搜索问题的全局最优解，付出的代价是效率 1.4.3 非凸问题中凸优化的应用 局部优化中利用凸优化进行初始值的选取 非凸优化中的凸启发式算法 随机化算法 搜索带约束条件的稀疏向量...全局优化的界 松弛算法中，每个非凸的约束都用一个松弛的凸约束来替代
反应事物内部规律及其内在关系，但由于方程的建立是以局部规律的独立性假定为基础，当作为长期预测时，误差较大，且微分方程的解比较难以得到。...参考链接 SOR迭代法 线性方程求解 牛顿迭代法 线性方程求解 高斯迭代法 线性方程求解 不动点迭代法 线性方程求解 AlphaBeta剪枝算法 博弈树剪枝 LU分解 线性方程简化求解 SVD...卡尔曼滤波 自适应滤波器 优化计算方法 名称 解决问题类型 参考链接 多目标优化 多优化目标优化、带约束优化问题、多指标优化 遗传算法 生物种群模型、博弈问题、调度优化问题 元胞自动机 森林火灾模型...随机梯度下降算法(SGD) 高纬场最优解 Allingham-Sandmo模型 竞争最优化问题、语言竞争、税收遵从成本对纳税人行为影响分析问题 T检验 相似性检验 Ica(独立成分分析) 声波分离...NSGA(非支配排序遗传算法) 多目标优化问题 NSGA NSGAII(带精英策略的非支配排序的遗传算法) 带权约束多目标优化问题 NSGA-II Bat Algorithms （蝙蝠算法） 多目标优化问题
0.完整代码 下面一段代码实现了2个功能： 1.用keras库编程实现拟合线性方程的回归模型； 2.对比了4种优化器的性能。...__class__, w_error, b_error)) 上面一段代码的运行结果如下： X[:5]: [ 2. 4. 6. 8. 10.]...1.结论 对于线性方程的回归模型，使用Adam优化器能够得到不错的拟合效果。
一元非线性方程求解 fzero函数可以用于求一个一元方程的根。通过用于指定起始区间的单元素起点或双元素向量调用该函数。如果为fzero提供起点x0，fzero将首先搜索函数更改符号的点周围的区间。...或者，如果知道函数值的符号不同的两个点，可以使用双元素向量指定该起始区间；fzero 保证缩小该区间并返回符号更改处附近的值。 以下部分包含两个示例，用于说明如何使用起始区间和起点查找函数的零元素。...fzero 的迭代算法可求 [-1 1] 越来越小的子区间。对于每个子区间，humps 在两个端点的符号不同。由于子区间的端点彼此越来越近，因此它们收敛到 humps 的零位置。...可以通过输入以下内容验证 a 中的函数值是否接近零： humps(a) ans = 8.8818e-16 起点的使用 假定不知道 humps 的函数值符号不同的两点。...在这种情况下，可以选择标量 x0 作为 fzero 的起点。fzero 先搜索函数更改符号的点附近的区间。如果 fzero 找到此类区间，它会继续执行上一部分中介绍的算法。
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