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计算对称归一化拉普拉斯矩阵中的一个问题

是如何选择合适的归一化方式。在计算对称归一化拉普拉斯矩阵时，需要对原始的拉普拉斯矩阵进行归一化处理，以消除节点度数的影响，使得不同图的拉普拉斯矩阵具有可比性。

常见的归一化方式有两种：度数归一化和对称归一化。

度数归一化（Degree Normalization）：度数归一化是通过将每个节点的度数除以节点度数的平方根来实现的。具体而言，对于一个节点i，其度数为di，则度数归一化后的矩阵元素为L'ij = Lij / sqrt(di * dj)。度数归一化可以保留原始图的度数信息，适用于一些需要考虑节点度数的任务。
对称归一化（Symmetric Normalization）：对称归一化是通过将每个节点的度数的倒数乘以原始矩阵来实现的。具体而言，对于一个节点i，其度数为di，则对称归一化后的矩阵元素为L'ij = Lij / sqrt(di * dj)。对称归一化可以保持图的对称性，适用于一些需要考虑图的结构信息的任务。

选择合适的归一化方式取决于具体的应用场景和任务需求。在实际应用中，可以根据任务的特点和数据的分布情况选择适合的归一化方式。同时，还可以结合实际情况进行实验比较，选择效果较好的归一化方式。

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CVPR 2019 论文解读 | 具有高标签利用率的图滤波半监督学习方法

另外还有归一化的拉普拉斯和对称归一化的拉普拉斯定义如下： ? L_{norm} = D^{-1}W 它们的区别主要在“对称”和“归一化”上，差别并不是很大，为了避免读者混淆所以此处先将它们都列举出来。...3.2 图滤波与GCN 1) 原始GCN GCN是一种在频谱上定义的图卷积网络，它简单有效，在半监督分类问题上有优异的表现。GCN首先对邻接矩阵加入自连接并进行对称归一化得到重归一化矩阵 ?...第一个式子相当于引入了各节点到自身的连接，第二个式子中 ? 是矩阵 ? 的对称归一化拉普拉斯矩阵。基于 ?...采用对称归一化拉普拉斯矩阵可以将特征值的取值范围限制在[0, 2]之间，而重归一化技巧可以将特征值的取值范围进一步缩小，这促使滤波器越来越接近于完全低通。...对于k阶RNM滤波器，可以利用拉普拉斯矩阵在实际应用中往往是稀疏的特性来进行计算加速。作者在文中分析了两种滤波器在理论上的计算复杂度，旨在说明其实用性。

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简单理解图神经网络 GNN

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计算矩阵中全1子矩阵的个数

1 的 rows * columns 矩阵 mat ，请你返回有多少个子矩形的元素全部都是 1 。...思路如下: 利用i, j 将二维数组的所有节点遍历一遍利用m, n将以[i][j]为左上顶点的子矩阵遍历一遍判断i, j, m, n四个变量确定的矩阵是否为全1矩阵代码实现: int numSubmat...result = numSubmat(mat, matSize, &matColSize); printf("%d", result); return 0; } 执行过后, OK, 么的问题...在最后判断是否全1的循环中, 如果左上的数字是0, 那必然没有全1子矩阵了再如果向下找的时候, 碰到0, 那下一列的时候也没必要超过这里了, 因为子矩阵至少有一个0了, 如下图: ?...那么问题来了, 如何不遍历就知道呢? 预处理. 在所有的遍历之前, 先进行一次遍历, 把每个节点向右的连续1个数计算好. 这个思路有点妙啊.

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【GCN】万字长文带你入门 GCN

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GNN系列 GCN简述推导理解及 DGL 源码解析

因此，我们可以做一个小小的改动，给A加上一个单位矩阵I，这样就让对角线元素变成1了。D^{-1}A是没有经过归一化的矩阵，这样与特征矩阵相乘会改变特征原本的分布，产生一些不可预测的问题。...所以我们对A做一个标准化处理。首先让A的每一行加起来为1，我们可以乘以一个，D是度矩阵。我们可以进一步把拆开与A相乘，得到一个对称且归一化的矩阵：。...D^{-1/2}AD^{-1/2}公式中的与对称归一化拉普拉斯矩阵十分类似，而在谱图卷积的核心就是使用对称归一化拉普拉斯矩阵，这也是GCN的卷积叫法的来历。...处理Graph问题的时候，用到拉普拉斯矩阵，自然就去找拉普拉斯矩阵的特征向量了。...拉普拉斯矩阵是对称矩阵，可以进行特征分解（谱分解）由于卷积在傅里叶域的计算相对简单，为了在graph上做傅里叶变换，需要找到graph的连续的正交基对应于傅里叶变换的基，因此要使用拉普拉斯矩阵的特征向量

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three.js中的矩阵计算

应该来说，无论Direct3D还是OpenGL，使用的矩阵应该都能线性代数中描述的矩阵是等价的，只不过存储方式不同。...矩阵在编程实现中一般会表示成数组的形式，以线性代数中描述的矩阵为标准，行主序就是依次按行存储，而列主序就是依次按列存储。...在网上找一个在线矩阵计算器，相对应的计算结果如下： ? 因此可以认为，threejs矩阵内部储存形式为列主序，表达和描述的仍然是线性代数中行主序，set()函数就是以行主序接受矩阵参数的。...矩阵乘法前面用到的矩阵乘法是新建了一个矩阵，调用multiplyMatrices。threejs矩阵还有前乘和后乘的区别，也很容易混淆。...对比在线矩阵计算器中的计算结果： ? image.png 3. 参考在线矩阵计算器

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谱聚类算法(Spectral Clustering)

1.1 图的表示如果我们计算出item与item之间的相似度，便可以得到一个只有item的相似矩阵，进一步，将item看成了Graph(G)中Vertex(V)，歌曲之间的相似度看成G中的Edge(...对于图的表示(如图2)，常用的有：邻接矩阵：E，eij表示vi和vi的边的权值，E为对称矩阵，对角线上元素为0，如图2-2。...有: 1、 L为对称半正定矩阵，保证所有特征值都大于等于0； 2、 L矩阵有唯一的0特征值，其对应的特征向量为1。...写到此，不得不对数学家们致敬，将cut(S,T)，巧妙地转换成拉普拉斯矩阵特征值(向量)的问题，将离散的聚类问题，松弛为连续的特征向量，最小的系列特征向量对应着图最优的系列划分方法。...，常常问题在于邻接矩阵不对称。

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手把手解释实现频谱图卷积

在后面的文章中，我将假设“对称归一化拉普拉斯算子”，它经常用于图神经网络中，因为它是规范化的，所以当你叠加许多层图时，节点特征会以一种更平滑的方式传播，不会造成数据爆炸，特征值或梯度也不会消失。...原因是它是基于图的相邻矩阵A进行计算的，可以在几行Python代码中完成，如下所示：图4 我们假设A是对称的，即A=Aᵀ，并且我们的图应该是无向的，否则节点都不能明确的定义，在计算拉普拉斯算子时必须做一些假设...相邻矩阵A的一个性质是ⁿ(矩阵乘积取n次)暴露了节点之间的n-hop连接。我们生成了三个图，接下来可以观察它们的相邻矩阵，拉普拉斯算子以及它们的功率。...注意，拉普拉斯算子及其功率是对称矩阵，这使得特征分解更容易，并且便于在深度图网络中进行特征传播。例如，假设中间的星状图是由金属制成的，这样它就能很好地传递热量。...拉普拉斯图看起来像一个单位矩阵的原因是该图有相当多的节点(784)，因此在归一化之后，对角线外的值比1小得多。 2. 卷积在信号处理中，可以看出空间域中的卷积是频域的乘积。

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一维数组&二维数组&对称矩阵&三角矩阵&三对角矩阵地址的计算

二维数组的地址计算 (m*n的矩阵) 行优先设每个元素的大小是size，首元素的地址是a[1][1]，则a[i][j]?...1,1,1] + [(i-1)*n*m + (j-1)*n + (k-1)]*size 压缩存储：指为多个值相同的元素只分配一个存储空间，对零元素不分配存储空间，其目的是为了节省存储空间。...一、三角矩阵包括上三角矩阵，下三角矩阵和对称矩阵 (1)若i<j时，ai,j=0，则称此矩阵为下三角矩阵。 (2)若i>j时，ai,j=0，则称此矩阵为上三角矩阵。...(3)若矩阵中的所有元素满足ai,j=aj,i，则称此矩阵为对称矩阵。下三角上三角二、三对角矩阵带状矩阵的压缩方法：将非零元素按照行优先存入一维数组。...（1）确定一维数组的存储空间大小：2+(n-2)*3+2 = 3n-2 （2）确定非零元素在一维数组中的地址 loc(i,j) = loc(1,1) + 前i-1行非零元素个数+第i行中ai,j前非零元素的个数

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Twitter团队最新研究：快速高效的可扩展图神经网络SIGN

2 相关工作（1）符号说明将一个无向有权图定义为 ? ，其中W为n*n的邻接矩阵（对称矩阵）， ?...为度矩阵，表示每个节点的度数之和(对角阵)，并且假设每个节点具有d维的特征，X为包含所有节点特征向量的矩阵（n*d）。使用归一化的拉普拉斯矩阵： ?...（Symmetric normalized Laplacian）[使用拉普拉斯矩阵的原因之一是其为半正定矩阵，为特征分解做准备]。而每一个节点的拉普拉斯量可以表示为以下的局部加权平均值： ?...这里可以参考拉普拉斯算子和拉普拉斯矩阵的关系，拉普拉斯算子计算了周围点与中心点的梯度差，可以计算一个点到它所有自由度上微小扰动的增益，则通过图来表示就是任意一个节点i变化到节点j所带来的增益，并将这种增益进行归一化...是一个固定的n*n维的传播矩阵，这里可以理解为将ChebNet中拉普拉斯矩阵的变型 ? 中 ? 的假设为2，并进行修正，就得到B的表示。

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【论文解读】GCN论文总结

），表示是graph的邻接矩阵的拉普拉斯矩阵的特征向量由此得到图上的卷积形式：其中为激活函数，就是卷积核，注意为拉普拉斯矩阵特征值组成的对角矩阵...，所以也是对角的推导可得卷积核函数如下：继续推导可得：上式中为graph的邻接矩阵A的拉普拉斯矩阵，为卷积核参数。...论文动机考虑对图（如论文引用网络）中的节点（如文档）进行分类的问题，其中仅有一小部分节点带有label信息。...这种的操作可理解为，也即增加自循环。这种操作，保证了结果的对称性，同时做到了近似归一化。...矩阵的归一化有多种，在上面的实验分析部分也做了不同归一化的对比。因此在实际实验中，可进行尝试，选择效果较好的一种。

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ICLR 2017 | GCN：基于图卷积网络的半监督分类

无向图的归一化图拉普拉斯矩阵定义为：图片其中图片是一个对角阵，对角上的元素表示对应节点的度。...归一化图拉普拉斯矩阵具有实对称半正定的性质，因此可以被分解为：图片其中图片是特征值排序的特征向量矩阵，图片是特征值对角矩阵，线代基础知识了。...归一化图拉普拉斯矩阵的特征向量形成正交空间，即图片。对图进行处理时，图片表示为所有节点的特征向量，图片为第图片个节点的特征向量。...解决上述问题比较经典的方法：其中图片表示标记数据上的误差，图片可以是神经网络，图片是节点特征向量矩阵，图片是未归一化的图拉普拉斯矩阵，图片为度矩阵，图片...比如考虑只有一个隐藏层的简单模型：其中图片，即加上自环然后进行归一化后得到的邻接矩阵；图片为从输入到隐藏层的权重矩阵；图片为隐藏层到输出层的权重矩阵。

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斯坦福CS224W 图与机器学习5】Spectral Clustering

Part3 谱图划分先说结论，对于谱聚类，可以分为以下三步：数据预处理：利用图的邻接矩阵A，度矩阵D，计算拉普拉斯矩阵 [6jolosqxq3.svg] 分解：计算拉普拉斯矩阵的特征值和特征向量，...关于细节实现以及原理，有这样几个问题： Q1：拉普拉斯矩阵有怎样的性质？ Q2：为什么是第二小特征值对应的特征向量？（为什么不是最小的？） Q3：为什么用特征向量聚类来实现划分？...，又由于拉普拉斯矩阵的特征值非负，所以0为最小的特征值，对应的特征向量为 [nar1cgh2wx.svg] Part3.2 第二小特征值意义首先，给出一个结论：对于任意对称矩阵M，有 [6j808clov6...svg] [8oy32c0xgy.svg] ，由于在拉普拉斯矩阵中，最小特征值为0，对应的特征向量为 [1e4dcdr80n.svg] ，则有 [x5yznwdpi3.svg] 现在回到谱聚类问题中...[eplnmtlju9.jpeg] 分解：类似于标准的谱图聚类方法，计算拉普拉斯矩阵和对应的特征值特征向量（不过是基于新的图 [izgnctduwo.svg] 分组：利用Sweep procedure

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比较CPU和GPU中的矩阵计算

在其他的一般情况下，GPU的计算速度可能比CPU慢!但是CUDA在机器学习和深度学习中被广泛使用，因为它在并行矩阵乘法和加法方面特别出色。...为了让GPU的CUDA执行相同的计算，我只需将....另外，考虑到CUDA中的操作是异步的，我们还需要添加一个同步语句，以确保在所有CUDA任务完成后打印使用的时间。...在PyTorch中我们需要做的是减少浮点精度从FP32到FP16。...下面是一个总结的结果: NVIDIA的CUDA和Tensor Cores确实大大提高了矩阵乘法的性能。

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