计算对称归一化拉普拉斯矩阵中的一个问题 - 腾讯云开发者社区

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理解图的拉普拉斯矩阵

还有在图像处理、计算机图形学以及其他工程领域应用广泛的图切割问题。理解拉普拉斯矩阵的定义与性质是掌握这些算法的基础。在今天的文章中，我们将系统地介绍拉普拉斯矩阵的来龙去脉。...加权度矩阵D是一个对角矩阵，其主对角线元素为每个顶点的加权度，其他位置的元素为0 ? 对于上面的无向图，它的加权度矩阵为 ? 拉普拉斯矩阵在前面二元函数的例子中，一个点只与上下左右4个采样点相邻。...归一化拉普拉斯矩阵对前面定义的拉普拉斯矩阵进行归一化从而得到归一化的拉普拉斯矩阵。通常有两种形式的归一化。第一种称为对称归一化，定义为 ? 在这里 ? 是D的所有元素计算正平方根得到的矩阵。...位置(i,j),i≠j的元素为将未归一化拉普拉斯矩阵对应位置处的元素 ? 除以 ? 后形成的，主对角线上的元素为1， ? 由于 ? 和L都是对称矩阵，因此 ? 也是对称矩阵。...和未归一化的拉普拉斯矩阵类似，有下面的重要结论：假设G是一个有非负权重的无向图，其归一化拉普拉斯矩阵 ? 和 ? 的特征值0的重数k等于图的联通分量的个数 ? 。对于矩阵 ?

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矩阵的特征分解（推导+手算+python计算+对称矩阵的特征分解性质）

这也就是说，如果矩阵持续地叠代作用于向量，那么特征向量的就会突显出来，利用python进行计算：首先举一个例子，假设矩阵A和向量V:用矩阵A去反复左乘一个向量V，python代码如下：import numpy...（0.33，0.2，0.46）附近徘徊，这与计算出来的最大特征值对应的特征向量归一化后的结果是一致的，这也就佐证了矩阵是具有某种不变的特性的。...: v_1 = 1, v_2=-1, v_3=1当\lambda=1时，(I-A)v=0:result: v_1 = 0, v_2=1, v_3=-1（2）python计算使用python中自带的库eig...V中的列是对应的每一个特征向量import numpy as npimport copyA = np.array([[4, 1, 1], [1, 2, 1], [3, 2, 3]])D, V = np.linalg.eig...2.1.4 对称矩阵的特征分解（这个性质后面SVD推导用到）定理：假设矩阵A是一个对称矩阵，则其不同特征值对应的特征向量两两正交。证明：

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理解谱聚类

后面将要介绍的拉普拉斯矩阵则通过邻接矩阵，加权度矩阵计算而得到。将聚类问题看作图切割问题谱聚类是一种基于图的机器学习算法。...由于每个Li都是一个联通分量的拉普拉斯矩阵，因此其特征向量的重数为1，对应于特征值0。而L中与之对应的特征向量在第i个联通分量处的值为常数，其它地方为0。...在这里D 1/2是对该矩阵主对角线上的所有元素计算根号值所得到的矩阵。第一种矩阵为对称矩阵，第二种矩阵与随机漫步有密切的联系。接下来介绍这两种矩阵的重要性质。 1.对任意的向量f∈ ? 有 ?...和未归一化的拉普拉斯矩阵类似，有下面的重要结论：假设G是一个有非负权重的无向图，其归一化拉普拉斯矩阵Lrw和Lsymm的特征值0的重数k等于图的联通分量的个数A1,...,Ak。...另外一种归一化方案为 ? 其中vol是图中所有顶点的加权度之和 ? 称为NCut。这两种情况都可以转化成求解归一化后的拉普拉斯矩阵的特征值问题。假设L为图的拉普拉斯矩阵，W为邻接矩阵，D为加权度矩阵。

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CVPR 2019 论文解读 | 具有高标签利用率的图滤波半监督学习方法

另外还有归一化的拉普拉斯和对称归一化的拉普拉斯定义如下： ? L_{norm} = D^{-1}W 它们的区别主要在“对称”和“归一化”上，差别并不是很大，为了避免读者混淆所以此处先将它们都列举出来。...3.2 图滤波与GCN 1) 原始GCN GCN是一种在频谱上定义的图卷积网络，它简单有效，在半监督分类问题上有优异的表现。GCN首先对邻接矩阵加入自连接并进行对称归一化得到重归一化矩阵 ?...第一个式子相当于引入了各节点到自身的连接，第二个式子中 ? 是矩阵 ? 的对称归一化拉普拉斯矩阵。基于 ?...采用对称归一化拉普拉斯矩阵可以将特征值的取值范围限制在[0, 2]之间，而重归一化技巧可以将特征值的取值范围进一步缩小，这促使滤波器越来越接近于完全低通。...对于k阶RNM滤波器，可以利用拉普拉斯矩阵在实际应用中往往是稀疏的特性来进行计算加速。作者在文中分析了两种滤波器在理论上的计算复杂度，旨在说明其实用性。

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CVPR 2019 论文解读 | 具有高标签利用率的图滤波半监督学习方法

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AF-GCL：不需要增强的图对比学习

对称归一化拉普拉斯矩阵（symmetric normalized Laplacian）定义为，其中，是的第个特征向量，是对应的特征值矩阵。是最小的特征值，是最大的特征值。...具体地说，，，其中对于，注意到所有分解后的矩阵之和即为原对称归一化拉普拉斯矩阵，即。我们将图对比学习中常用的增强方法总结于表 1 中。表1：图对比学习模型中图增强方法的总结。...我们将原始图的对称归一化拉普拉斯矩阵的第个部分定义为，将删边后的增强图的对称归一化拉普拉斯矩阵的第个部分定义为。...图3：由正样本对形成的变换图。设变换图的邻接矩阵为，边数为，对称归一化拉普拉斯矩阵为。...存在一个线性分类器，，使得在至少的概率下，其中是变换图的对称归一化拉普拉斯矩阵的第小的特征值。上述定理说明，如果变换图的同质性较大，则预测错误的上界会更小。

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ICML 2019 | SGC：简单图卷积网络

对称归一化的拉普拉斯矩阵： \Delta_{sym}=D^{-\frac{1}{2}}\Delta D^{-\frac{1}{2}} 拉普拉斯矩阵的特征分解： \Delta=U\Lambda U^T...： S_{1-order}=I+D^{-\frac{1}{2}}AD^{-\frac{1}{2}} 又由于对称归一化的拉普拉斯矩阵为： \Delta_{sym}=I-D^{-\frac{1}{2}}A...为了解决一阶切比雪夫滤波器的潜在数值问题，Kipf和Welling(2017)在GCN中引入了renormalization trick：所有节点加入自环后，用归一化邻接矩阵替换 S_{1-order}...让 \tilde{A}=A+\gamma I ，这里 \gamma > 0 ，设 \lambda_1 和 \lambda_n 分别表示对称归一化拉普拉斯矩阵的最小和最大特征值， \tilde{\lambda...定理1表明：当 \gamma>0 时，相当于给图添加了自环，此时对称归一化拉普拉斯矩阵的最大特征值会变小。 3. 实验论文中首先在引文网络和社交网络上评估SGC，然后扩展到广泛的下游任务。

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深入解析谱聚类：RatioCut与Ncut的图拉普拉斯推导

这些矩阵的性质决定了谱聚类的行为和性能。拉普拉斯矩阵具有几个重要性质：它是一个对称半正定矩阵，最小特征值为0，对应的特征向量是常数向量。这些性质保证了谱聚类算法的数学严谨性。...（连接越多的顶点度越大），另一方面它作为归一化因子出现在标准化拉普拉斯矩阵的构造中。...矩阵构造的数值考虑实际计算中，当处理大规模数据时，直接构造和存储稠密的拉普拉斯矩阵可能面临内存挑战。...Twitter曾采用改进的谱聚类算法分析2.8亿用户的关系图谱：首先构建带权邻接矩阵（权重包含互动频率、共同关注和语义相似度），然后应用对称归一化拉普拉斯矩阵（对应于Ncut理论）进行特征分解。...在电商用户行为分析中，每天新增的用户交互数据需要重新计算整个图的拉普拉斯矩阵，导致资源浪费。

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简单理解图神经网络 GNN

现在还有最后一个问题，你会发现，现在我们的矩阵图片中，非零元素均为1，即简单的将当前节点的邻居信息相加，可以想象的是它会越来越「膨胀」。图片实际上，解决这个问题并不麻烦，归一化就行了。...这里直接给出 GCN 论文 Semi-Supervised Classification with Graph Convolutional Networks 中的归一化方法，它的本质是对称归一化的拉普拉斯矩阵...问题一首先，为什么要进行归一化？这个问题其实在上面也有简单的解释。矩阵图片中，非零元素均为1，那么这就意味着，在计算图片时，就是简单的将当前节点的邻居信息相加，各个邻居一视同仁。...现在我们已经将求和变成了加权平均，权值之后归一化为1了。对称归一化那么为什么不直接使用简单的平均化方法呢？第一个缺点就是图片不再是对称矩阵了，这不是我们想要看到的。...其实，这个公式很接近对称归一化的拉普拉斯矩阵：图片 Graph Attention Network(GAT) 如果你熟悉 Attention 机制，那么在了解了上面的内容之后，就不难理解 Graph

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计算矩阵中全1子矩阵的个数

1 的 rows * columns 矩阵 mat ，请你返回有多少个子矩形的元素全部都是 1 。...思路如下: 利用i, j 将二维数组的所有节点遍历一遍利用m, n将以[i][j]为左上顶点的子矩阵遍历一遍判断i, j, m, n四个变量确定的矩阵是否为全1矩阵代码实现: int numSubmat...result = numSubmat(mat, matSize, &matColSize); printf("%d", result); return 0; } 执行过后, OK, 么的问题...在最后判断是否全1的循环中, 如果左上的数字是0, 那必然没有全1子矩阵了再如果向下找的时候, 碰到0, 那下一列的时候也没必要超过这里了, 因为子矩阵至少有一个0了, 如下图: ?...那么问题来了, 如何不遍历就知道呢? 预处理. 在所有的遍历之前, 先进行一次遍历, 把每个节点向右的连续1个数计算好. 这个思路有点妙啊.

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【GCN】万字长文带你入门 GCN

考虑归一化后的拉普拉斯矩阵：以上为常规操作，不过介绍到这里不知道大家会不会有一点疑问。至少我是有疑问的：图拉普拉斯矩阵为什么要这样定义的？要想回答这个问题，首先我们得了解什么是拉普拉斯算子。...2.3.2 Laplace Spectral decomposition 拉普拉斯矩阵的谱分解就是矩阵的特征分解：对于无向图来说，拉普拉斯矩阵是实对称矩阵，而实对称矩阵一定可以用正交矩阵进行正交相似对角化...拉普拉斯矩阵的特征值都大于零，归一化的拉普拉斯矩阵的特征值区间为 [0, 2]；如果有 n 个特征值为 0，则表示图有 n 个子图相互无连接；特征值的总和为矩阵的迹，对于归一化的拉普拉斯矩阵，如果没有孤立节点或子图...为了解决这个问题，我们需要：加一个单位矩阵，考虑自环路；将邻接矩阵 A 与度矩阵 D 的逆相乘对特征进行归一化。我们先看下加上单位矩阵的效果：可以看到，加上单位矩阵的计算考虑了节点的特征。...这是因为对称归一化的拉普拉斯矩阵其元素定义为：我们仿真模拟的是用加权求和取平均的方式来聚合，而作者采用的是拉普拉斯变换。

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【GCN】万字长文带你入门 GCN

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GNN系列 GCN简述推导理解及 DGL 源码解析

因此，我们可以做一个小小的改动，给A加上一个单位矩阵I，这样就让对角线元素变成1了。D^{-1}A是没有经过归一化的矩阵，这样与特征矩阵相乘会改变特征原本的分布，产生一些不可预测的问题。...所以我们对A做一个标准化处理。首先让A的每一行加起来为1，我们可以乘以一个，D是度矩阵。我们可以进一步把拆开与A相乘，得到一个对称且归一化的矩阵：。...D^{-1/2}AD^{-1/2}公式中的与对称归一化拉普拉斯矩阵十分类似，而在谱图卷积的核心就是使用对称归一化拉普拉斯矩阵，这也是GCN的卷积叫法的来历。...处理Graph问题的时候，用到拉普拉斯矩阵，自然就去找拉普拉斯矩阵的特征向量了。...拉普拉斯矩阵是对称矩阵，可以进行特征分解（谱分解）由于卷积在傅里叶域的计算相对简单，为了在graph上做傅里叶变换，需要找到graph的连续的正交基对应于傅里叶变换的基，因此要使用拉普拉斯矩阵的特征向量

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three.js中的矩阵计算

应该来说，无论Direct3D还是OpenGL，使用的矩阵应该都能线性代数中描述的矩阵是等价的，只不过存储方式不同。...矩阵在编程实现中一般会表示成数组的形式，以线性代数中描述的矩阵为标准，行主序就是依次按行存储，而列主序就是依次按列存储。...在网上找一个在线矩阵计算器，相对应的计算结果如下： ? 因此可以认为，threejs矩阵内部储存形式为列主序，表达和描述的仍然是线性代数中行主序，set()函数就是以行主序接受矩阵参数的。...矩阵乘法前面用到的矩阵乘法是新建了一个矩阵，调用multiplyMatrices。threejs矩阵还有前乘和后乘的区别，也很容易混淆。...对比在线矩阵计算器中的计算结果： ? image.png 3. 参考在线矩阵计算器

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谱聚类算法(Spectral Clustering)

1.1 图的表示如果我们计算出item与item之间的相似度，便可以得到一个只有item的相似矩阵，进一步，将item看成了Graph(G)中Vertex(V)，歌曲之间的相似度看成G中的Edge(...对于图的表示(如图2)，常用的有：邻接矩阵：E，eij表示vi和vi的边的权值，E为对称矩阵，对角线上元素为0，如图2-2。...有: 1、 L为对称半正定矩阵，保证所有特征值都大于等于0； 2、 L矩阵有唯一的0特征值，其对应的特征向量为1。...写到此，不得不对数学家们致敬，将cut(S,T)，巧妙地转换成拉普拉斯矩阵特征值(向量)的问题，将离散的聚类问题，松弛为连续的特征向量，最小的系列特征向量对应着图最优的系列划分方法。...，常常问题在于邻接矩阵不对称。

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一维数组&二维数组&对称矩阵&三角矩阵&三对角矩阵地址的计算

二维数组的地址计算 (m*n的矩阵) 行优先设每个元素的大小是size，首元素的地址是a[1][1]，则a[i][j]?...1,1,1] + [(i-1)*n*m + (j-1)*n + (k-1)]*size 压缩存储：指为多个值相同的元素只分配一个存储空间，对零元素不分配存储空间，其目的是为了节省存储空间。...一、三角矩阵包括上三角矩阵，下三角矩阵和对称矩阵 (1)若i矩阵为下三角矩阵。 (2)若i>j时，ai,j=0，则称此矩阵为上三角矩阵。...(3)若矩阵中的所有元素满足ai,j=aj,i，则称此矩阵为对称矩阵。下三角上三角二、三对角矩阵带状矩阵的压缩方法：将非零元素按照行优先存入一维数组。...（1）确定一维数组的存储空间大小：2+(n-2)*3+2 = 3n-2 （2）确定非零元素在一维数组中的地址 loc(i,j) = loc(1,1) + 前i-1行非零元素个数+第i行中ai,j前非零元素的个数

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Twitter团队最新研究：快速高效的可扩展图神经网络SIGN

2 相关工作（1）符号说明将一个无向有权图定义为 ? ，其中W为n*n的邻接矩阵（对称矩阵）， ?...为度矩阵，表示每个节点的度数之和(对角阵)，并且假设每个节点具有d维的特征，X为包含所有节点特征向量的矩阵（n*d）。使用归一化的拉普拉斯矩阵： ?...（Symmetric normalized Laplacian）[使用拉普拉斯矩阵的原因之一是其为半正定矩阵，为特征分解做准备]。而每一个节点的拉普拉斯量可以表示为以下的局部加权平均值： ?...这里可以参考拉普拉斯算子和拉普拉斯矩阵的关系，拉普拉斯算子计算了周围点与中心点的梯度差，可以计算一个点到它所有自由度上微小扰动的增益，则通过图来表示就是任意一个节点i变化到节点j所带来的增益，并将这种增益进行归一化...是一个固定的n*n维的传播矩阵，这里可以理解为将ChebNet中拉普拉斯矩阵的变型 ? 中 ? 的假设为2，并进行修正，就得到B的表示。

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手把手解释实现频谱图卷积

在后面的文章中，我将假设“对称归一化拉普拉斯算子”，它经常用于图神经网络中，因为它是规范化的，所以当你叠加许多层图时，节点特征会以一种更平滑的方式传播，不会造成数据爆炸，特征值或梯度也不会消失。...原因是它是基于图的相邻矩阵A进行计算的，可以在几行Python代码中完成，如下所示：图4 我们假设A是对称的，即A=Aᵀ，并且我们的图应该是无向的，否则节点都不能明确的定义，在计算拉普拉斯算子时必须做一些假设...相邻矩阵A的一个性质是ⁿ(矩阵乘积取n次)暴露了节点之间的n-hop连接。我们生成了三个图，接下来可以观察它们的相邻矩阵，拉普拉斯算子以及它们的功率。...注意，拉普拉斯算子及其功率是对称矩阵，这使得特征分解更容易，并且便于在深度图网络中进行特征传播。例如，假设中间的星状图是由金属制成的，这样它就能很好地传递热量。...拉普拉斯图看起来像一个单位矩阵的原因是该图有相当多的节点(784)，因此在归一化之后，对角线外的值比1小得多。 2. 卷积在信号处理中，可以看出空间域中的卷积是频域的乘积。

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斯坦福CS224W 图与机器学习5】Spectral Clustering

Part3 谱图划分先说结论，对于谱聚类，可以分为以下三步：数据预处理：利用图的邻接矩阵A，度矩阵D，计算拉普拉斯矩阵 [6jolosqxq3.svg] 分解：计算拉普拉斯矩阵的特征值和特征向量，...关于细节实现以及原理，有这样几个问题： Q1：拉普拉斯矩阵有怎样的性质？ Q2：为什么是第二小特征值对应的特征向量？（为什么不是最小的？） Q3：为什么用特征向量聚类来实现划分？...，又由于拉普拉斯矩阵的特征值非负，所以0为最小的特征值，对应的特征向量为 [nar1cgh2wx.svg] Part3.2 第二小特征值意义首先，给出一个结论：对于任意对称矩阵M，有 [6j808clov6...svg] [8oy32c0xgy.svg] ，由于在拉普拉斯矩阵中，最小特征值为0，对应的特征向量为 [1e4dcdr80n.svg] ，则有 [x5yznwdpi3.svg] 现在回到谱聚类问题中...[eplnmtlju9.jpeg] 分解：类似于标准的谱图聚类方法，计算拉普拉斯矩阵和对应的特征值特征向量（不过是基于新的图 [izgnctduwo.svg] 分组：利用Sweep procedure

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【论文解读】GCN论文总结

），表示是graph的邻接矩阵的拉普拉斯矩阵的特征向量由此得到图上的卷积形式：其中为激活函数，就是卷积核，注意为拉普拉斯矩阵特征值组成的对角矩阵...，所以也是对角的推导可得卷积核函数如下：继续推导可得：上式中为graph的邻接矩阵A的拉普拉斯矩阵，为卷积核参数。...论文动机考虑对图（如论文引用网络）中的节点（如文档）进行分类的问题，其中仅有一小部分节点带有label信息。...这种的操作可理解为，也即增加自循环。这种操作，保证了结果的对称性，同时做到了近似归一化。...矩阵的归一化有多种，在上面的实验分析部分也做了不同归一化的对比。因此在实际实验中，可进行尝试，选择效果较好的一种。

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