证明n!对于任何常数自然数p,不在O(n ^ p)中

首先，我们需要理解问题中的几个概念：

1. n!：表示n的阶乘，即n! = n (n-1) (n-2) ... 2 * 1。
2. O(n ^ p)：表示算法的时间复杂度，其中n表示输入规模，p表示常数。O(n ^ p)表示随着输入规模n的增加，算法的运行时间以n的p次方增长。

现在我们来证明n!对于任何常数自然数p，不在O(n ^ p)中。

假设存在一个常数自然数p，使得n! = O(n ^ p)。根据大O符号的定义，存在正常数C和正整数n0，使得对于所有n >= n0，有n! <= C * (n ^ p)。

我们可以将n!展开为n (n-1) (n-2) ... 2 * 1。将其代入上述不等式中，得到：

n (n-1) (n-2) ... 2 1 <= C (n ^ p)

我们可以观察到，左边的乘积中，至少有一项是n或者n的倍数。假设这一项为k * n，其中k是一个大于1的常数。那么上述不等式可以进一步化简为：

k n (n-1) (n-2) ... 2 1 <= C * (n ^ p)

我们可以继续观察到，右边的n ^ p中，至少有一项是n的p次方。假设这一项为m * (n ^ p)，其中m是一个大于1的常数。那么上述不等式可以进一步化简为：

k n (n-1) (n-2) ... 2 1 <= C m (n ^ p)

我们可以继续观察到，左边的乘积中，至少有p项是n的倍数。假设这p项分别为k1 n, k2 n, ..., kp * n，其中ki是大于1的常数。那么上述不等式可以进一步化简为：

k (k1 n) (k2 n) ... (kp n) <= C m * (n ^ p)

化简后得到：

k (k1 k2 ... kp) (n ^ p) <= C m * (n ^ p)

我们可以看到，左边的乘积中，至少有p项是n的倍数，而右边的n ^ p是n的p次方。由于k、ki、m都是大于1的常数，所以左边的乘积是一个大于1的常数。因此，上述不等式可以进一步化简为：

常数 (n ^ p) <= C m * (n ^ p)

我们可以看到，左边的常数乘以n的p次方，与右边的C m (n ^ p)相比，左边的结果是一个常数。但是，当n足够大时，右边的结果会随着n的增加而增加。这与我们最初的假设矛盾。

因此，我们可以得出结论：对于任何常数自然数p，n!不属于O(n ^ p)。