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数值优化（9）——非线性规划中的极值性质，KKT条件

同时，因为比较传统的运筹学的相关内容也算是非线性规划的内容，因此我们也会在这一节提一些相关的运筹学中的算法。 那么我们开始吧。...我们其实可以看到，约束条件 就是一个典型的非光滑约束条件，但是我们可以把它等价为四个式子 所以这样做它就又变成了一些光滑的约束条件。...Definition 10: 如果在 处，要不 ，要不 ，但不同时成立，则称其满足互补松弛条件。换句话说，对于激活的约束，若 则称其非退化，否则称为退化。...虽然说KKT条件只是一个充分条件，很像是无约束优化中的驻点的地位，但是对于优化这个领域来说，这已经算是很不错的成果了。...下一节我们会进入到线性规划的部分，介绍一些运筹学中很常见的算法，并适当的给出一些实际的计算实例。

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【运筹学】线性规划数学模型 ( 线性规划求解 | 根据非基变量的解得到基变量解 | 基解 | 基可行解 | 可行基 )

| 线性规划表示为 基矩阵 基向量 非基矩阵 非基向量 形式 ) 中 , 将线性规划的等式表示为以下形式 : BX_B + NX_N = b 写成上述形式之后 , 就可以表示出上述等式的解 , 如果上述等式解满足线性规划约束变量的要求..., 即所有的变量都大于等于 0 , 那么该解就是线性规划的解 ; 上述式子中 , X_N 非基变量 , 是可以随意取值的变量 ; 只要非基变量 X_N 取定一组解 , 基变量 X_B 就可以被唯一确定..., 即 X_N = O 的条件代入 X_B = B^{-1}b - B^{-1}NX_N 中 , 有 : X_B = B^{-1}b 此时线性规划的解为 : \begin{pmatrix}...) 个基矩阵 , 也有 C(n,m) 组基解 ; 基解定义 : 确定一个 m \times n 阶系数矩阵的基矩阵 B , 令非基变量 X_N 等于 0 , 有约束条件 X_B...quad ( j= 1, 2,\cdots,n) 条件 ; 基可行解定义 : 满足线性规划中的 x_j \geq 0 \quad ( j= 1, 2,\cdots,n) 约束条件的 基解 , 称为

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    新增非空约束字段在不同版本中的演进

    对于IS NOT NULL，type字段定义为NOT NULL，此SQL明显违反了表中的约束条件，则会在执行计划最上层增加一个NULL IS NOT NULL恒为假的条件，根本不需要真正执行这个SQL，...对于IS NULL，由于查询条件满足约束的条件，因此Oracle会做全表扫描，并且省略了type is not null的过滤，直接返回所有记录，就造成了type非空的假象。...出现以上问题的核心，还是为何有为空的记录存储于有NOT NULL非空约束的表中。...这种新增非空约束字段在不同版本中确实有一些细节的变化，下面做一些简单测试。...至此，12c修复了11g中这个非空约束字段允许保存空值的bug，同时又支持11g新增默认值非空字段使用数据字典存储的特性，并且做了扩展支持，满足范围更大了。 小问题隐藏了大智慧。

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    【运筹学】线性规划数学模型 ( 线性规划三要素 | 一般形式 | 标准形式 | 标准形式转化 | 可行解 | 最优解 | 基 | 基向量 | 基变量 | 非基变量 ) ★★

    、线性规划解、可行解、最优解 五、线性规划 基、基向量、基变量、非基变量 一、线性规划模型三要素 ---- 线性规划数学模型三要素 : ( 1 ) 决策变量 : 上述 产品甲乙 的个数 x_1 , x...线性规划示例 ) ( 2 ) 目标条件 : 多个决策变量的线性函数 , 通常是求 最大值 或 最小值 问题 ; 上述示例中的 max Z = 2x_1 + 3x_2 就是目标条件 ; ( 3 ) 约束条件...决策变量 : 决策变量 x_j 大于等于 0 ; 约定 : 决策变量个数为 n 个 , 约束条件不等式个数为 m 个 , 约束条件不等式的系数为一个 m \times n 矩阵 ,..., 就可以使用求解方程组的方法 , 求解线性规划的可行解 ; 五、线性规划 基、基向量、基变量、非基变量 ---- A 矩阵是 m \times n 维的矩阵 , m 行 , n 列 ,..., 称为 基变量 ; 非基变量 : 基变量之外的其它变量 , 称为非基变量 ;

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    软考高级架构师：运筹方法（线性规划和动态规划）

    正数或零 背包问题在动态规划中的解法通常采用哪种策略？ A. 贪心算法 B. 分而治之 C. 记忆化搜索 D. 递归解法 在线性规划中，非负约束的目的是什么？ A. 确保解是正值 B....A 和 B 线性规划的标准形式不包括哪一项？ A. 最大化目标函数 B. 约束条件为不等式 C. 约束条件为等式 D. 所有变量都有非负约束 哪一种情况下最适合使用动态规划来解决问题？...增加约束条件 D. 减少变量数量 （2）答案和解析 答案: C。线性规划的定义就是目标函数和所有约束条件均为线性。 答案: C。...动态规划解决背包问题通常采用记忆化搜索策略，以避免重复计算相同的子问题。 答案: B。非负约束确保所有的决策变量值不为负，这是现实问题中的常见要求。 答案: D。...动态规划的基础是将大问题分解为小问题并重复利用已解决的子问题。 答案: C。线性规划的标准形式中，约束条件可以是不等式，但不限定必须有等式约束条件。 答案: C。

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    线性规划

    不等式约束条件可以通过引入松弛变量化为等式约束条件，例如对于不等式约束: x_1+x_2+x_3\le 8 可以通过引入 来实现，即通过引入松弛变量 ，将原来的约束问题转化为: 图片 对于取值无约束的变量...，可以通过引入两个有约束的变量来表示，如可令 ,其中 解的概念和基本定理 考虑标准形线性规划的约束条件: AX=b, X\ge 0 这里矩阵A为 矩阵，从矩阵A 中抽取m列组成新矩阵...接着令n-m个非基变量为0，可以解得约束方程组的解，这里叫做约束方程组的基本解/基解： 图片 其中满足非负约束条件 A的基解称为基本可行解/基可行解。...单纯形法中可行解的变换是通过对增广矩阵的行变换实现的，无论是对约束条件还是目标函数进行行变换，都不会改变最优解的取值。...只进行了一次变换的单纯形表的展示 图片 大M法下解的类型分析: 唯一最优解的判断：最优表中所有非基变量的检验数非零, 则线规划具有唯一最优解 多重最优解的判断: 最优表中存在非基变量的检验数为零,

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    运筹学教学|十分钟快速掌握单纯形法（附C++代码及算例）

    因此，为了便于讨论，在应用单纯形法时，规定线性规划问题必须有一个标准形式，主要包括以下三个特征： 1）目标函数统一为求极大值(或极小值)； 2）所有约束条件（除变量的非负条件外）必须都是等式，约束条件右端常数项...下面的模型即为线性规划问题的标准形式： ? s.t.括号内的内容是约束条件和变量的非负约束条件，字母代表的含义分别是： ? 下面模型即为标准形式的展开型： ?...., x_n)的值满足所有约束条件，且每个变量的值非负，则(x_1, x_2 ,..., x_n)称为线性规划问题的可行解。...加到原约束条件中的变量，称为松弛变量，在实际问题中它表示未被充分利用的资源或缺少的资源，所以在引入模型后它们在目标函数中的系数均为零。...【Tips: 若原约束条件中已有线性无关的基向量，可以不需要再加入人工变量】 学完了以上的转化规则，让我们来实战一下！将上述的线性规划问题转化为标准形式，其结果应如下： ?

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    运筹学单纯形法求解线性规划问题_运筹学单纯形法计算步骤

    大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。 运筹学——线性规划及单纯形法求解 1. 线性规划的概念 线性规划是研究在一组线性不等式或等式约束下使得某一线性目标函数取最大（或最小）的极值问题。 2....线性规划的标准形 特点：目标函数求极大；等式约束；变量非负。...令 则线性规划标准形的矩阵表达式为： 约定： 如何化标准形： （I） 目标函数实现极大化，即 ，令 ，则 ； （II）约束条件为不等式 约束条件为“ ” 不等式，则在约束条件的左端加上一个非负的松弛变量...； 约束条件为“ ” 不等式，则在约束条件的左端减去一个非负的松弛变量。...需作如下处理： ⑴. .当 中出现两个以上最大值时，选下标最小的非基变量为换入变量； ⑵.当θ中出现两个以上最小值时，选下标最小的基变量为换出变量。 参考文献： [1] 《运筹学》教材编写组.

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    数学建模--整数规划和非线性规划

    根据变量的约束条件不同，整数规划可以分为以下几类： 纯整数规划：所有决策变量都必须取整数值。 混合整数规划：部分决策变量为整数，另一部分为实数。 0-1整数规划：所有决策变量只能取0或1的值。...非线性规划 非线性规划（Nonlinear Programming, NLP）是指目标函数或约束条件中包含至少一个非线性函数的优化问题。...分支： 选择一个非整数解的变量 xi​，在松弛问题中加入约束条件：≤[]xi​≤[xi​] 和 ≥[]+1xi​≥[xi​]+1，从而生成两个新的松弛问题，称为分枝。...如果问题的目标函数或约束条件是非线性的，或者需要全局最优化，那么非线性规划更为合适。 在实际应用中，选择整数规划还是非线性规划应根据问题的具体需求和特性来决定。...列生成法：这种方法通过生成新的变量来逐步构建最优解，特别适用于具有大量变量的问题。 拉格朗日松弛法：通过松弛约束条件，将原问题转化为一个更易求解的松弛问题，然后逐步恢复严格的约束条件。

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    数学求解器Lingo软件最新激活版，Lingo软件2023安装教程下载

    例如，在上面的例子中，我们可以输入每种纸箱的利润、原材料需求、工人需求等信息，以及变量类型为非负整数。然后，Lingo求解器将自动计算最优解，并给出每种纸箱的最佳生产数量。...在Lingo中，线性规划问题的求解过程可以通过定义目标函数、约束条件和变量来描述。 首先，我们需要定义目标函数。在线性规划中，目标函数通常是要最大化或最小化的某个值。...接下来，我们需要定义约束条件。约束条件通常是由一组等式或不等式表示的条件，这些条件需要在最优解中得到满足。例如，我们可能会限制X和Y的生产量不超过某个值，或者限制它们的比例为某个范围。...这些约束条件可以用于描述生产和销售的限制条件。 最后，我们需要定义变量类型。变量类型通常是指变量的取值范围或取值类型。...这些变量类型可以根据问题的需求进行定制。 当我们定义好了目标函数、约束条件和变量类型后，就可以使用Lingo求解器来求解线性规划问题了。Lingo求解器将自动计算最优解，并给出每个变量的最优取值。

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    【运筹学】线性规划数学模型 ( 单纯形法 | 最优解判定原则 | 可行解表示 | 目标函数推导 | 目标函数最大值分析 )

    文章目录 一、基矩阵 + 非基矩阵 约束条件 二、基矩阵 + 非基矩阵 线性规划 三、线性规划 可行解 四、目标函数 推导 五、 X_N = O 目标函数最大 分析 六、总结 在上一篇博客 【运筹学】...; 在 【运筹学】线性规划数学模型 ( 求解基矩阵示例 | 矩阵的可逆性 | 线性规划表示为 基矩阵 基向量 非基矩阵 非基向量 形式 ) 博客中 , 根据推导 , 线性规划的约束条件 , 可以表示为...: BX_B + NX_N = b 二、基矩阵 + 非基矩阵 线性规划 ---- 将上述约束条件代入线性规划标准形式中 \begin{array}{lcl}max Z = \sum_{j=1}^{n}...重新进行解的推导 : 在 【运筹学】线性规划数学模型 ( 线性规划求解 | 根据非基变量的解得到基变量解 | 基解 | 基可行解 | 可行基 ) 二、根据非基变量的解得到可行解 博客章节 , 在 BX_B...x_{j} 必定是大于等于 0 的值 , 那么系数 \sigma_{m+1} 小于等于 0 时 , 每个变量取值 x_j = 0 , 目标函数达到最小值 ; 六、总结 ---- 将线性规划约束条件表示为

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    数学建模--线性规划法

    是决策变量向量，需要满足非负性条件 ≥0x≥0。...线性规划的数学模型 线性规划问题通常由以下几部分组成： 目标函数：一个关于决策变量的线性函数。 约束条件：可以是线性等式或不等式形式的限制条件。 变量的取值范围：通常要求所有变量非负。...绘制约束条件：将每个约束条件转化为等式，并在坐标系中画出相应的直线。例如，如果约束条件是 +≤6x+y≤6，则将其转化为等式 +=6x+y=6 并画出这条直线。...补充松弛性条件是线性规划中的一个基本概念，它表明在最优解下，原问题的约束条件和对偶问题的变量之间存在一种互补关系。这一条件为理解和求解线性规划问题提供了重要的理论基础。...模型简单：线性规划的目标函数和约束条件都是线性的，这使得模型相对简单易懂。 结果准确：线性规划的结果通常比较准确，能够考虑到多个变量带来的不确定因素。

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    运筹教学|快速掌握单纯形法(附java代码)

    线性规划一般由决策变量、约束条件和目标函数三个部分组成。...线性规划的标准形式 由于线性规划的三个部分都有不同的形式，例如约束条件可以是等式也可以是不等式，目标函数可以是最大化或者最小化某个关于决策变量的线性函数的函数值。...为了方便单纯形法的讲述，约定线性规划的标准形式为包含以下三个特征的的线性规划： 1. 目标函数统一求极大值(或者极小值) 2. 所有的约束条件都必须转化为等式，并且约束的右端项的值必须为非负 3....如果找到一个解 满足所有的约束条件，则X为该线性规划问题的一个可行解，令c（X）为其目标函数值，如果在上述例子中存在一个可行解X*对于其余的所有可行解X都有 ，则X*为该线性规划问题的最优解。...同时，约束条件中的变量的系数矩阵表示为 ，并且变量 的约束系数对应的列向量的集合表示为 。

    1.2K31

    【R语言在最优化中的应用】用Rdonlp2 包求解光滑的非线性规划

    由于约束条件的放宽，非线性规划问题可以更接近于现实生活中的种种问题，同时，求解难度也提高了很多。...用矩阵和向量来表示非线性函数的数学模型如下： (4) 模型 (4) 中，z = f(x) 为目标函数，三个约束条件中，第一个为定义域约束，第二个为线性约束 (A为系数矩阵)，第三个为非线性约束。...当目标函数和约束函数光滑时，称之为光滑的非线性规划，其求解的难度要小于非光滑的非线性规划。...用 Rdonlp2 包求解光滑的非线性规划 对于无约束或者约束条件相对简单的非线性优化问题，stats 包中的 optim()、optimize()、constrOptim()、nlm()、nlminb...线性约束： A线性约束矩阵，即模型 (4) 中的矩阵 A，其列的长度必须和向量 par 相等 (即总变量个数)， 其行的长度必须和线性约束的个数相等。

    4.7K30

    线性规划之单纯形法【超详解+图解】

    1.作用     单纯形法是解决线性规划问题的一个有效的算法。线性规划就是在一组线性约束条件下，求解目标函数最优解的问题。 2.线性规划的一般形式     在约束条件下，寻找目标函数z的最大值。...3.线性规划的可行域     满足线性规划问题约束条件的所有点组成的集合就是线性规划的可行域。...一般，规定线性规划的标准形式为：     写成矩阵形式：     标准形的形式为：     1）目标函数要求max     2）约束条件均为等式     3）决策变量为非负约束     普通线性规划化为标准形...3）若存在取值无约束的变量，可转变为两个非负变量的差，比如：     本文最开始的线性规划问题转化为标准形为： 5.单纯形法 5.1几何意义     在标准形中，有m个约束条件（不包括非负约束），n个决策变量...B|，列数=|N| 也就是说，约束条件只用m个，尽管B和N不断交换，但同一时间还是只有m个约束(基本变量)n个非基变量 注意改写成松弛型后a矩阵实际系数为负 （一个优化 a[i][e]为0的约束没必要带入了

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    【运筹学】整数规划、分支定界法总结 ( 整数规划 | 分支定界法 | 整数规划问题 | 松弛问题 | 分支定界法 | 分支定界法概念 | 分支定界法步骤 ) ★★

    非线性规划如何求解 , 没有给出具体的方法 ; 整数规划问题 : 要求 一部分 或 全部 决策变量 取值整数 的规划问题 , 称为整数规划 ; 整数规划问题的松弛问题 : 不考虑 整数变量条件 , 剩余的...目标函数 和 约束条件 构成的线性规划问题 称为 整数规划问题的松弛问题 ; 整数线性规划 : 如果上述 整数规划问题的松弛问题 是线性规划 , 则称该整数规划为 整数线性规划 ; 整数规划与之前的线性规划多了一个约束条件...| 整数线性规划分类 ) 博客中的整数线性规划概念 , 上述线性规划是 整数线性规划 ; 上述整数线性规划 的 松弛问题 是一个线性规划 , 可以使用单纯形法对其进行求解 , 求出最优解后 , 可能是小数...与 定界 ; ( 2 ) 分支 与 定界 : 任选一个 非整数解变量 x_i , 在 松弛问题 中加上约束 : x_i \leq [x_i] 和 x_i \geq [x_i] + 1 形成 两个新的...} \approx 1.64 , 作为分支变量 , x_i \leq [x_i] 对应的 分支新增约束条件是 x_1 \leq 1 ; x_i \geq [x_i] + 1 对应的 分支新增约束条件是

    2K20

    【运筹学】线性规划数学模型 ( 知识点回顾 | 可行解 | 最优解 | 阶梯型矩阵 | 阶梯型矩阵向量 | 基 | 基向量 | 基变量 | 非基变量 )

    ---- 1、线性规划三要素 线性规划三要素 : 决策变量 : x_1 , x_2 , \cdots 目标条件 : 决策变量的线性函数 , 求最大值或最小值 ; 约束条件 : 一组由决策变量组成的等式或不等式...标准形式特点及转化步骤 : 按照如下顺序进行处理 ; 约束条件都是等式 , 且右侧常数 \geq 0 , 小于等于不等式加上松弛变量 , 大于等于不等式减去剩余变量 ; 决策变量 \geq 0..., 如何找出最优解 , 因此其矩阵的秩就是等式个数 m ; 五、基、基向量、基变量、非基变量 ---- A 矩阵是 m \times n 维的矩阵 , m 行 , n 列 , 线性规划中...; 基向量 : 上述 基矩阵 中的 P_1 , P_2 , P_3 列向量 , 称为 基向量 ; 基变量 : 与基向量相乘的 x_1 , x_2, x_3 变量 , 称为 基变量 ; 非基变量...: 基变量之外的其它变量 , 称为非基变量 ;

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    Matlab求解非线性规划（fmincon函数的使用）

    继续开个博文记录一下学习的过程 参考资料： [寻找约束非线性多变量函数的最小值 - MathWorks] [Matlab求解非线性规划，fmincon函数的用法总结 - 博客园] [Matlab非线性规划...介绍 在Matlab中，fmincon 函数可以求解带约束的非线性多变量函数(Constrained nonlinear multivariable function)的最小值,即可以用来求解非线性规划问题...matlab中，非线性规划模型的写法如下 image.png A、Aeq 为线性约束对应的矩阵 b、beq 为线性约束对应的向量 C(x),Ceq(x) 为非线性约束（返回向量的函数） f(x) 为目标函数...语法 Matlab求解命令为： image.png x的返回值是决策向量x的取值，fval的返回值是目标函数f(x)的取值 fun是用M文件定义的函数f(x),代表了(非)线性目标函数 x0是x的初始值...A, b, Aeq, beq定义了线性约束，如果没有线性约束，则A=[], b=[], Aeq=[], beq=[] lb和ub是变量x的下界和上界，如果下界和上界没有约束，则lb=[], ub=[]

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    运筹学教学|快速掌握人工变量法（Artificial variable method）（附Java代码及算例）

    运筹学教学|快速掌握人工变量法 在之前的推文中，我们学习了单纯形法，顺利解决了约束条件都是“≤”的线性规划问题。...但存在(=)和（≥）约束条件的线性规划问题则不是如此。...由于新约束要与原约束等价当且仅当所有的人工变量取值为零，为确保引入人工变量后新的线性规划问题与原线性规划问题求解一致，我们在新的线性规划目标函数中设人工变量的系数为-M（M>0为一充分大的数,不需要给出具体的数值...已标准化，发现系数矩阵中没有单位矩阵，不符合构造初始可行基的条件，需加入人工变量 。为保证人工变量为0，在目标函数中令其系数为-M。...按大M法构造人造基，引入人工变量x_4 , x_5 的辅助问题如下： ? 之后，再按照单纯形法的步骤进行求解即可。若基变量中含非零的人工变量，则无可行解；否则，有最优解。

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