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数据结构与算法(一) 简单例子理解时间复杂度和空间复杂度

System.out.println("123"); } } } 时间复杂度计算 // 总的执行次数为 1 + n + n +n + n *logn + n * logn + n * logn = 1 + 3n + 3nlogn...//所以时间复杂度为nlogn 常见的复杂度 ?...int fib(int n) { if(n <= 1 ) return n; return fib(n - 1) + fib(n - 2); } 我们算一下时间复杂度举个例子如果我们输入的是4

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常见算法的时间复杂度 Ο(1)＜Ο(log2n)＜Ο(n)＜Ο(nlog2n)＜Ο(n2)＜Ο(n3)＜…

比如：Ο(1)、Ο(log2n)、Ο(n)、Ο(nlog2n)、Ο(n2)、Ο(n3)…Ο(2n)、Ο(n!)等所代表的意思！我在面试的时候，就发现有人连 O(1) 代表什么意思都搞不清楚！...代表的是一个常量值。也就是说耗时，耗空间与输入数据的大小无关。无论输入数据增大多少倍，耗时是不变的。相关算法举例：哈希算法（不考虑冲突的情况），无论在数据量多么大，都是 O(1)。 ?...O(nlogn) O(nlogn) 就是 n 乘以 logn，当数据增大 256 倍时，耗时增大 256*8=2048 倍。这个复杂度高于线性低于平方。归并排序就是 O(nlogn) 的时间复杂度。...常见的时间复杂度有：常数阶 O(1)，对数阶 O(log2n)，线性阶 O(n)，线性对数阶 O(nlog2n)，平方阶 O(n2)，立方阶 O(n3)，…，k 次方阶 O(nk)，指数阶 O(2n)...常见的算法时间复杂度由小到大依次为：Ο(1)＜Ο(log2n)＜Ο(n)＜Ο(nlog2n)＜Ο(n2)＜Ο(n3)＜…＜Ο(2n)＜Ο(n!)。 ? 上图是常见的算法时间复杂度举例。

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排序算法第一篇-排序算法介绍

若有某个辅助函数f(n)，是的当n趋近于无穷大的时候，T(n)/f(n)的极限值为不等于零的参数，则称为f(n)是T(n)的同数量级函数。...这就是大O法。...如下图：编辑把上面数据，用折线图表示，如下图：编辑图例说明：上面两个是2n^2及2n^2+3n+10，下面两个是n^2及 n^2+5n+20 从上面两个图中我们可以得到如下结论：...(0-9) R是基数(个十百) Shell(希尔) O(nlogn) O(n^s) 1是所选分组快排 O(nlogn) O(n^2) 不稳定 O(nlogn) n...大时候较好归并 O(nlogn) O(nlogn) 稳定 O(1) n大时候较好堆 O(nlogn) O(nlogn) 不稳定 O(1) n大时候较好四：算法的空间复杂度空间复杂度介绍类似于时间复杂度的讨论

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无限假设空间的可学性以及模型泛化

误差边界12Nln2Mδ\sqrt{\frac1{2N} ln\frac{2M}{\delta}}2N1lnδ2M依赖于假设空间H的大小M.如果H是无限集合,那么这个边界就没有意义了(边界趋向于无限大...只有当VC维趋于无穷大时,假设才会失效.对于任意有限的VC维来说,误差收敛到0的速度取决于VC维的大小,因为VC维是多项式的阶数.VC维越小,收敛到0的速度越快....E_{in}(g) + \Omega(N,H,\delta)Eout(g)≤Ein(g)+Ω(N,H,δ) 其中, Ω(N,H,δ)=8Nln4mH(2N)δ≤8Nln4((2N)dVC+1)δ\...Omega(N,H,\delta) = \sqrt{\frac8{N}ln\frac{4m_H(2N)}{\delta}} \leq \sqrt{\frac8{N}ln\frac{4((2N)^{d_{...VC}}+1)}{\delta}}Ω(N,H,δ)=N8lnδ4mH(2N)≤N8lnδ4((2N)dVC+1) 可以将Ω(N,H,δ)\Omega(N,H,\delta)Ω(N,H,δ

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常见算法时间复杂度

一般情况下，算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n),使得当n趋近于无穷大时，T（n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数...“大O记法”：在这种描述中使用的基本参数是 n，即问题实例的规模，把复杂性或运行时间表达为n的函数。...-1 语句2的频度是(n-1)*(2n+1)=2n^2-n-1 f(n)=2n^2-n-1+(n-1)=2n^2-2 该程序的时间复杂度T(n...如快速排序的最坏情况运行时间是 O(n^2)，但期望时间是 O(nlogn)。通过每次都仔细地选择基准值，我们有可能把平方情况 (即O(n^2)情况)的概率减小到几乎等于 0。...在实际中，精心实现的快速排序一般都能以 (O(nlogn)时间运行。下面是一些常用的记法：访问数组中的元素是常数时间操作，或说O(1)操作。

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算法的时间复杂度和空间复杂度

N^2 + 2* N + 10 那么它的时间复杂度就是O(N ^ 2) 大O的渐进表示法大O是用于描述函数渐进行为的数学符号。 ...常数那么就是 O(1) 这里的理解方式是大O去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数；而且算法中也有时间复杂度存在最好、平均、最坏的情况：最坏情况，任意输入规模的最大运行次数...空间复杂度空间复杂度是用来衡量一个算法占用的额外的空间的大小。这个与时间复杂度类似，也用大O渐进表示法。 ...Fac(N-1)*N; } 它们三个的空间复杂度分别是 O(1) O(N) O(N) 常见的复杂度 1234 O(1) 常数阶 3N O(n) 线性阶 N^2 + 5 O(n^2) 平方阶 log(2n...)+5 O(logn) 对数阶 2n + 3nlog(2n) O(nlogn) nlogn阶 n^3 + n^2 O(n^3) 立方阶 2^n O(2^n) 指数阶

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数据结构与算法之美 - 时间和空间复杂度

这就是大 O 时间复杂度表示法。 3.2 时间复杂度 1）定义算法的时间复杂度，也就是算法的时间量度。...那么这个方法需要执行 ( n2 + n2 + n + n + 1 + 1 +1 ) = 2n2 +2n + 3 。...除了 O(logn)、O(nlogn) ，其他的都可从上面的几个例子中看到。...包括 O(2n)（指数阶）、O(n!)（阶乘阶）。...3.6 时间复杂度总结常用的时间复杂度所耗费的时间从小到大依次是： O(1) nlogn) 2n) < O(n!)

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基础排序算法

快速排序（quicksort）正如它的名字所标示的，快速排序是在实践中最快的已知排序算法，它的平均运行时间是 O(NlogN) 。...分割阶段要做的就是把所有小元素移到数组的左边而把所有大元素移到数组的右边，小和大是相对于枢纽元而言的。...如果 i 在 j 的左边，那么将这两个元素互换（结果是小的元素左移，大的元素右移）。重复(4)和(5)，直到 i 和 j 彼此交错为止。...可以证明，任何只用到比较的算法在最坏的情况下需要 \Omega(NlogN) 次比较（从而 \Omega(NlogN) 的时间...桶式排序虽然任何只使用比较的一般排序算法在最坏的情况下需要运行时间 \Omega(NlogN) ，但是我们要记住，在某些特殊情况下以线性时间进行排序仍然是可能的。

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你应该认识一下时间复杂度和空间复杂度

二、时间复杂度的计算表示方法我们一般用“大O符号表示法”来表示时间复杂度：T(n) = O(f(n)) n是影响复杂度变化的因子，f(n)是复杂度具体的算法。...其实不是的，因为大O符号表示法并不是用于来真实代表算法的执行时间的，它是用来表示代码执行时间的增长变化趋势的。...第1行会执行1次，第2行和第3行会分别执行n次，总的执行时间也就是 2n + 1 次，那它的时间复杂度表示是 O(2n + 1) 吗？ No !...还是那句话：“大O符号表示法并不是用于来真实代表算法的执行时间的，它是用来表示代码执行时间的增长变化趋势的”。...O(nlogN) 其实非常容易理解，将时间复杂度为O(logn)的代码循环N遍的话，那么它的时间复杂度就是 n * O(logN)，也就是了O(nlogN)。

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一文搞懂算法的时间复杂度与空间复杂度

时间复杂度常用大O符号表示，这个算法的时间复杂度就是O(n)。...用大O来表示时间复杂度　　当n趋近于无穷大时，如果lim(T(n)/f(n))的值为不等于0的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=O(f(n))。　　...常见的时间复杂度执行次数函数阶名称 3 O(1) 常数阶 2n+3 O(n) 线性阶 3n2+2n+1 O(n2) 平方阶 5log2n+2 O(log2n) 对数阶 2n+3nlog2n+1 O(nlogn...) nlog2n阶 6n3+2n2+3n+4 O(n3) 立方阶 2n O(2n) 指数阶最常见的多项式时间算法复杂度关系为： O(1) nlogn) <...O(n2) < O(n3) 指数时间算法复杂度关系为： O(2n) < O(n!)

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算法性能的核心度量：时间复杂度与空间复杂度深度解析

2.4 常见时间复杂度计算掌握复杂度计算的关键是 “定位基本操作→分析与 N 的关系→应用大 O 规则”。...+ 10；大 O 推导：常数 10→1，保留最高阶2N，去除系数 2→O(N)；结论：时间复杂度O(N)。...三、空间复杂度空间复杂度是对算法运行时临时占用额外存储空间的度量，同样使用大 O 渐进表示法。...3N+2 O(N) 线性阶动态数组、单链表存储 2logN O(logN) 对数阶二分查找的递归栈（非迭代版） NlogN O(NlogN) NlogN 阶归并排序的临时数组 N² O(N²) 平方阶...“体检报告”：时间复杂度决定运行快慢，空间复杂度决定内存消耗，需结合场景权衡（如实时系统优先时间，嵌入式系统优先空间）；大 O 表示法的核心是 “趋势”：忽略常数项与低阶项，关注最高阶项的增长趋势（

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算法读书笔记(1)-时间、空间复杂度分析

具体的代码上，我们可以把乘法法则看成是嵌套循环几种常见时间复杂度实例分析多项式量级和非多项式量级。其中，非多项式量级只有两个：O(2n) 和 O(n!)。...换底公式：因为log3n 就等于 log32 * log2n，所以 O(log3n) = O(C * log2n)，其中 C=log32 是一个常量在采用大 O 标记复杂度的时候，可以忽略系数，即 O...如果一段代码的时间复杂度是 O(logn)，我们循环执行 n 遍，时间复杂度就是 O(nlogn) 了 O(nlogn) 也是一种非常常见的算法时间复杂度。...1*(1/2n) + 2*(1/2n)... n*(1/2n) + n*(1/2) = (3n+1)/4 这个值就是概率论中的加权平均值，也叫作期望值，所以平均时间复杂度的全称应该叫加权平均时间复杂度或者期望时间复杂度...用大 O 表示法来表示，去掉系数和常量，这段代码的加权平均时间复杂度仍然是 O(n)。实际上，在大多数情况下，我们并不需要区分最好、最坏、平均情况时间复杂度三种情况。

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O、Θ、Ω、o、ω，别再傻傻分不清了！

前言你好，我是彤哥，一个每天爬二十六层楼还不忘读源码的硬核男人。...读音我们先来纠正一波读音： O，/əʊ/，大Oh o，/əʊ/，小oh Θ，/ˈθiːtə/，theta Ω，/oʊˈmeɡə/，大Omega ω，/oʊˈmeɡə/，小omega 是不是跟老师教得不太一样...比如说，f(n) = 2n^2+3n+1 = Θ(n^2)，此时，g(n)就是用f(n)去掉低阶项和常数项得来的，因为肯定存在某个正数n0、c1、c2，使得 0 2n^2+3n...ω ω同样定义的是下界，只不过不包含等于，是一种不精确的下界，或者称作松下界（某些书籍翻译为非紧下界）。...ω表示仅仅是大Ω去掉等于的情况，其他行为与大Ω一模一样。

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数据结构与算法之美 - 时间和空间复杂度

这就是大 O 时间复杂度表示法。 3.2 时间复杂度 1）定义算法的时间复杂度，也就是算法的时间量度。...那么这个方法需要执行 ( n2 + n2 + n + n + 1 + 1 +1 ) = 2n2 +2n + 3 。...除了 O(logn)、O(nlogn) ，其他的都可从上面的几个例子中看到。...包括 O(2n)（指数阶）、O(n!)（阶乘阶）。...3.6 时间复杂度总结常用的时间复杂度所耗费的时间从小到大依次是： O(1) nlogn) 2n) < O(n!)

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【Java数据结构和算法】011-排序：排序算法、时间复杂度、空间复杂度

320 225 30 1900 1800 1070 900 100 20310 20000 10520 10000 对应曲线图：结论： 2n^2+3n+10和 2n^2随着n变大，执行曲线无限接近...，算法中的基本操作语句的重复执行次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n)，使得当n趋近于无穷大时，T(n) / f(n) 的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数...常数阶O(1)、对数阶O(log2n)、线性阶O(n)、线性对数阶O(nlog2n)、平方阶O(n^2)、立方阶O(n^3)、k次方阶O(n^k)、指数阶O(2^n)；说明：常见的算法时间复杂度由小到大依次为...，因此这类代码都可以用O(n)来表示它的时间复杂度；（4）线性对数阶O(nlogN) 说明：线性对数阶O(nlogN) 其实非常容易理解，将时间复杂度为O(logn)的代码循环N遍的话，那么它的时间复杂度就是...n * O(logN)，也就是了O(nlogN)；（5）平方阶O(n²) 说明：平方阶O(n²) 就更容易理解了，如果把 O(n) 的代码再嵌套循环一遍，它的时间复杂度就是 O(n²)，这段代码其实就是嵌套了

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《数据结构初阶》【时间复杂度 + 空间复杂度】

它不计算具体的执行时间，而是分析算法执行的基本操作次数的增长规律，并用数学符号（如：大O表示法）描述其渐进上界空间复杂度：是衡量算法运行所使用的内存空间随输入规模 n 增长的变化趋势的指标。...回答：实际中我们计算时间复杂度时，我们其实并不需要要计算精确的执行次数，而只需要计算大概执行次数，因为这里我们使用的是：大O的渐进表示法大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号...的渐进表示法不仅可以快速的计算出一个算法大致的执行的次数，并且计算结果与精确值的量级是一致的（误差不大）我想大家的心里一定在想：使用大O的渐进表示法我们只保留了计算出来了最高阶项的值，而直接忽略了低阶项的值...次找到平均情况：N/2次找到三者的对比与意义类型关注点数学表示实际应用价值最坏性能保障上界（Big-O）关键系统（如：医疗、航天）必须考虑最好理想场景下界（Big-Omega...(2N)。

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算法 - 程序的灵魂

“大O记法”：对于单调的整数函数 f，如果存在一个整数函数 g和实常数 c>0，使得对于充分大的 n总有 f(n)是 f的一个渐近函数（忽略常数），记为 f(n)=O(g...如何理解“大O记法” 对于算法进行特别具体的细致分析虽然很好，但在实践中的实际价值有限。对于算法的时间性质和空间性质，最重要的是其数量级和趋势，这些是分析算法效率的主要部分。...常用的时间复杂度所耗费的时间从小到大依次是： O(1)nlogn)2n)nlogn)2n)<O(n!)...<O(nn) 指数阶 O(2n)O(2^n)O(2n) 和阶乘阶 O(n!)O(n!)O(n!) 除非是很小很小的 n 值，否则哪怕 n 只是100，都是噩梦般的运行时间。

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算法的时间复杂度与空间复杂度

二、时间复杂度的计算表示方法我们一般用“大O符号表示法”来表示时间复杂度：T(n) = O(f(n)) n是影响复杂度变化的因子，f(n)是复杂度具体的算法。...其实不是的，因为大O符号表示法并不是用于来真实代表算法的执行时间的，它是用来表示代码执行时间的增长变化趋势的。...第1行会执行1次，第2行和第3行会分别执行n次，总的执行时间也就是 2n + 1 次，那它的时间复杂度表示是 O(2n + 1) 吗？ No !...还是那句话：“大O符号表示法并不是用于来真实代表算法的执行时间的，它是用来表示代码执行时间的增长变化趋势的”。...O(nlogN) 其实非常容易理解，将时间复杂度为O(logn)的代码循环N遍的话，那么它的时间复杂度就是 n * O(logN)，也就是O(nlogN)了。

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快速数论变换(NTT)小结

这个东西，叫原根原根原根的定义设m是正整数，a是整数，若a模m的阶等于\phi(m)，则称a为模m的一个原根定义中用到了群论的一些知识，不过不会也没关系，不影响接下来的学习我们定义P为素数，g...为P的原根接下来不加证明的扔出一个很重要定理若P为素数，假设一个数g是P的原根，那么g^i \mod P (1<g<P,0<i<P)的结果两两不同不要问我为什么，因为我也不知道。。...\omega_{2n} ^ {2k} = \omega_n ^ k 通过代换可以得到 3 ....\omega_n ^ { k + \frac{n}{2} } = -\omega_n ^ k 根据费马小定理和性质1可以得到 4 .1 + \omega_n ^ k + (\omega_n ^ k) ^...2 + \dots + (\omega_n ^ k) ^ {n - 1} = 0 由性质3和FFT中傅里叶逆变换的定理可以得到这样我们最终可以得到一个结论 \omega_n \equiv g^\frac

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快速数论变换(NTT)小结

这个东西，叫原根原根原根的定义设\(m\)是正整数，\(a\)是整数，若\(a\)模\(m\)的阶等于\(\phi(m)\)，则称\(a\)为模\(m\)的一个原根定义中用到了群论的一些知识...，不过不会也没关系，不影响接下来的学习我们定义\(P\)为素数，\(g\)为\(P\)的原根接下来不加证明的扔出一个很重要定理若\(P\)为素数，假设一个数\(g\)是\(P\)的原根，那么\(g...\(\omega_{2n} ^ {2k} = \omega_n ^ k\) 通过代换可以得到 3 ....\(\omega_n ^ { k + \frac{n}{2} } = -\omega_n ^ k\) 根据费马小定理和性质1可以得到 4 . $1 + \omega_n ^ k + (\omega_n...^ k) ^ 2 + \dots + (\omega_n ^ k) ^ {n - 1} = 0 $ 由性质3和FFT中傅里叶逆变换的定理可以得到这样我们最终可以得到一个结论 \[\omega_n \equiv

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