Coq中相互递归类型的‘判定相等’？
Coq中相互递归类型的‘判定相等’是指在Coq证明助理中，用于判断两个相互递归定义的类型是否相等的机制。在Coq中，相互递归类型的定义可以通过Inductive关键字进行，而判定相等的机制可以通过使用eq或者=操作符来实现。
具体来说，Coq中的eq类型是一个多态类型，用于表示相等性的证明。它的定义如下：
Inductive eq (A : Type) (x : A) : A -> Prop :=
| eq_refl : eq A x x.这里的eq_refl是eq类型的构造器，表示给定一个类型A和一个元素x，它可以构造一个证明eq A x x，即x等于x的证明。
在使用相互递归类型时，可以使用eq类型来判断两个相互递归类型是否相等。例如，假设有两个相互递归类型A和B，可以使用eq A B来判断它们是否相等。
Coq中的判定相等机制在证明过程中非常有用。它可以用于证明两个相互递归类型的等价性，以及在进行模式匹配时进行类型推断。
在腾讯云的相关产品中，可能没有直接与Coq中相互递归类型的判定相等机制相关的产品。然而，腾讯云提供了一系列云计算产品和服务，如云服务器、云数据库、云存储等，可以帮助开发者构建和部署各种应用程序。具体的产品和介绍可以参考腾讯云官方网站：https://cloud.tencent.com/。
请注意，以上回答仅供参考，具体的答案可能需要根据实际情况和需求进行调整。
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1回答
我想从库中使用与count_occ函数相关的引理(Count_occ_In)。我已经在Coq脚本中导入了库。但是我还是不能使用它。如果我从scipt中的库中复制count_occ & eq_dec，那么它就可以工作。我的问题是，当我已经包含了库模块时，为什么要重新定义函数。请指导我如何仅通过添加库模块来编写引理(不再定义函数)？
浏览 23提问于2021-04-15得票数 1
考虑以下目标： Goal forall (x y: I = I), x = y.
Proof.
Abort.
Goal forall (x y: tt = tt), x = y.
Proof.
Abort. I和tt都是单例类型的成员。前者住在Prop，后者住在Set。这些都是非常简单的类型，所以我不期望它们在任何设置中都支持丰富的相等类型。在不借助身份证明公理的唯一性的情况下，这些目标在Coq中是可以证明的吗？
浏览 20提问于2020-06-27得票数 1
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对于Coq的类型，有没有一种使用递归的方法？例如，在定义show时，如果您想递归地调用列表的show函数，那么您必须使用如下所示的不动点：
Require Import Strings.String.
Require Import Strings.Ascii.
Local Open Scope string_scope.
Class Show (A : Type) : Type :=
{
show : A -> string
}.
Section showNormal.
Instance showList {A : Type} `{Show A} : Show
浏览 0提问于2018-09-15得票数 5
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我试图将(1,2,3)定义为coq中的一组元素。我可以使用list将其定义为(1 :：(2 :：(3 :：nil)。有没有办法在coq中定义set而不使用list。
浏览 1提问于2016-04-13得票数 6
Coq的Finite_sets库具有归纳类型，指定某些集合是有限的：
Inductive Finite : Ensemble U -> Prop :=
| Empty_is_finite : Finite (Empty_set U)
| Union_is_finite :
forall A:Ensemble U,
Finite A -> forall x:U, ~ In U A x -> Finite (Add U A x).
我试图证明有限集合中的成员是可决定的，如下所示：
Lemma Finite_dec (A:Type) : forall f:Ensembl
浏览 0提问于2016-09-29得票数 3
对于自然数nat这样的简单归纳型，很容易证明两个构造函数(0和后继)给出了所有可能的自然数，
Lemma nat_destruct (n : nat) : n = O \/ exists m : nat, n = S m.
Proof.
destruct n. left. reflexivity. right. exists n. reflexivity.
Qed.
然而，我听说平等证明并不是那么简单。只有一个等式构造函数eq_refl，但是Coq不能证明
eq_destruct : forall (A : Type) (x : A) (prEq : x = x), prEq = eq_r
浏览 0提问于2018-09-12得票数 1
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构造器策略允许您通过自动应用构造函数来完成一个目标，即归纳数据类型。然而，在Coq中，定义等式并不是一个归纳积。那为什么Coq会接受这个证据呢？
Example zeqz : 0 = 0. constructor.
浏览 1提问于2021-01-29得票数 1
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在HOTT和COQ中，人们无法证明UIP，即
\Prod_{p:a=a} p= refl
但可以证明：
\Prod_{p:a=a} (a，p) = (a，参a)
为什么这个定义是这样的？是因为一个人想要有一个很好的同伦解释吗？还是有什么自然的，更深层次的原因来定义这个定义？
浏览 7提问于2017-10-25得票数 4
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我正在尝试实现一个简单地计算包中某个nat的出现次数的函数(只是列表的同义词)。
这就是我想要做的，但它不起作用：
Require Import Coq.Lists.List.
Import ListNotations.
Definition bag := list nat.
Fixpoint count (v:nat) (s:bag) : nat :=
match s with
| nil => O
| v :: t => S (count v t)
| _ :: t => count v t
end.
Coq说最后一个子句是多余的，也就是
浏览 0提问于2017-09-24得票数 1
1回答
我有一个函数的目标，它的主体我想重写，但是一些函数参数阻碍了重写。我用身份函数重新创造了这种情况。
如果函数是Defined，那么它可以工作，但是当函数是一个参数，并且我有一个公理来说明如何重写时，我无法重写。
我只能假设函数的可扩展性才能让它工作。是否有可能在不假设功能扩展的情况下重写？
Axiom functional_extensionality: forall {A B} (f g:A->B) , (forall x, f x = g x) -> f = g.
Variables A B : Type.
Variable f : A -> B.
Definitio
浏览 6提问于2016-03-25得票数 3
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我试图使用Coq的listSet创建一个set of nats。但是，我在将成员添加到集合时遇到了问题。
这是我正在运行的代码。
Require Import ListSet Nat.
Axiom eq_dec : forall x y : nat, {x = y} + {x <> y}.
Compute (set_add eq_dec 0 (set_add eq_dec 0 nil)).
运行时，输出为
=如果eq_dec为0 0，则(0 :：0)%list (0 :：0:0)%list: set
现在，我知道了为什么要在输出中获得if-else语句。这是因为我只告诉
浏览 3提问于2017-09-07得票数 1
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我有一个编程语言的AST的数据类型，我想解释一下，但AST大约有10个不同的构造函数。
data Term : Set where
UnitTerm : Term
VarTerm : Var -> Term
...
SeqTerm : Term -> Term -> Term
我正在尝试编写一个函数，它对这种语言的语法树具有可判定的等价性。从理论上讲，这很简单:没有什么太复杂的，它只是存储在AST中的简单数据。
问题是，编写这样一个函数似乎需要大约100个用例:对于每个构造函数，有10个用例。
eqDecide : (x : Term) -> (y
浏览 0提问于2017-07-18得票数 2
我试图在Coq中定义一个不动点，其中一个函数定义通过一个参数引用另一个函数，但是我得到了一些令人困惑的错误。
我把这个定义降到最低了：
Require Import Coq.Init.Notations.
Require Import Coq.Init.Datatypes.
Inductive Wrapper (T : Type) :=
| Wrap : T -> Wrapper T
.
Inductive Unwrapper :=
| Empty : Unwrapper
| Unwrap : Wrapper Unwrapper -> Unwrapper
.
浏览 0提问于2018-11-22得票数 3
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在精益手册“精益证明定理”中，我读到：“用经典公理，我们可以证明每一个命题都是可判定的”。
我想要求澄清这一声明，我在问一个Coq论坛，因为这个问题同样适用于Coq，也适用于精益(但我觉得我更有可能在这里得到答案)。
在阅读“用经典公理”时，我知道我们有一些等价于排除中间定律的东西：
Axiom LEM : forall (p:Prop), p \/ ~p.
当阅读“每个命题都是可判定的”时，我理解我们可以定义一个函数(或者至少我们可以证明这样一个函数的存在)：
Definition decide (p:Prop) : Dec p.
其中Dec是归纳型家族：
Inductive Dec (p:
浏览 0提问于2020-04-20得票数 3
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我正在处理coq中的一个定义，它需要从一个定理中得到一些东西，但不能在定义中破坏。
Theorem sp : forall (X : Type) (T : X -> Prop)..... , exists (a : X), T a.
Definition yield_sp : (X : Type) (T : X -> Prop) (H : sp X T .....)..... : X.
当我试图摧毁H时，coq警告说
归纳定义不允许对排序类型进行案例分析。
我想知道其原因，以及如何使用定义从一个“存在”的命题中产生一个元素。
浏览 0提问于2019-05-22得票数 2
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在一部电影中有这样的逻辑，我不能很好地形式化(例如在Coq中)。
有人想在他的农场上发射火箭，监视现场的FBI人员正在互相谈论他们为什么会在那里。一个人说：
因为如果我们不在这里，他发射，我们将看起来像*s。
然后另一个人回应说
如果我们在这里而他发射了呢？
答：
我们看起来还是像*s。
这里的逻辑似乎是这样的：
A = we look foolish
B = he launches
C = we are not here.
我们有
B /\ C -> A and
B /\ ~C -> A
此外，似乎C (我们在这里)是否成立并不重要。这一结论归结
浏览 2提问于2015-12-09得票数 1
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我在想的是证据不相关的问题。一份可以证明的声明说：
如果一种类型的相等是可判定的，那么平等语句只能有一个证明，即自反性。
我想知道是否有可能在COQ中使用多个等式证明来构造类型。因此，我会问，下面的构造是否一致？
(*it is known that f=g is undecidable in COQ *)
Definition f(n:nat) := n.
Definition g(n:nat) := n+0.
Axiom p1: f=g.
Axiom p2: f=g.
Axiom nonirrelevance:p1<>p2.
我在这里困惑的是，通过引入p1，
浏览 4提问于2017-04-26得票数 0
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我尝试从列表中删除所有大于7的整数，如下所示 filter (fun n => n > 7). 但是，我得到了以下错误 The term "n > 7" has type "Prop" while it is expected to have type "bool". 我是Coq新手，我该如何修复它？
浏览 24提问于2020-01-11得票数 1
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非图灵完全语言可以解决图灵全语言所能解决的每一个实际问题.而且，它们比图灵完整语言更具可分析性。编译器可以将程序理解为一个整体，预先预测/计算/缓存每一个可能的计算，在数学上尽可能地优化它，甚至证明它已经这样做了。它就像在roids中静态类型和惰性评估之间的超级融合。
然而，没有人试图设计一种像COQ这样的非图灵完整语言，它既实用又实用。为什么？
浏览 0提问于2013-08-09得票数 3
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使用如下的sig类型定义：
Inductive A: Set := mkA : nat-> A.
Function getId (a: A) : nat := match a with mkA n => n end.
Function filter (a: A) : bool := if (beq_nat (getId a) 0) then true else false.
Coercion is_true : bool >-> Sortclass.
Definition subsetA : Set := { a : A | filter a }.
我试着证明它的投影是
浏览 29提问于2017-07-10得票数 3
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这里我的意思是公理是我们可以用command中的Axiom关键字定义的，而不是通过传递给Coq的命令行参数来定义的。
我知道一些公理使得Coq不一致。然而，AFAIK他们并没有使Coq图灵完成。在我的粗略理解中，这是因为它们没有提供任何额外的计算行为。
是否有一个能使Coq变成完整的？如果没有，你能给出更具体的解释为什么这是不可能的吗？
浏览 5提问于2021-07-08得票数 3
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如何将Coq中的nat转换为q (Rational)？
我想写这样的东西：
Require Import Coq.QArith.QArith.
Open Scope Q_scope.
Definition a := 2/3.
当我尝试这样做时，Coq告诉我：
Error: The term "2" has type "nat" while it is expected to have type "Q".
浏览 2提问于2015-09-22得票数 1
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这是维基百科中可判定的定义。
在可计算性理论中，一个不可判定的问题由一系列需要一个特定的是/否答案的实例组成，这样就没有计算机程序，在给定任何问题实例作为输入后，在有限的步骤之后终止和输出所需的答案。更正式地说，一个不可判定的问题是其语言不是递归集的问题。
递归集是可递归枚举集的子集。有一些递归枚举语言在递归集之外。那么，为什么递归枚举语言不能确定呢？
浏览 3提问于2012-02-26得票数 5
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我遵循，并在那里定义了归纳类型(这里使用参数化的高阶抽象语法- PHOAS )：
(** Closed Terms *)
Inductive ClosedT : Term -> Prop :=
| cl_cte: forall C, ClosedT (Cte C)
| cl_fc1: forall n t1, ClosedT t1 -> ClosedT (FC1 n t1)
| cl_fc2: forall n t1 t2, ClosedT t1 -> ClosedT t2 -> ClosedT (FC2 n t1 t2).
我的问题是-如何使用构造函数
浏览 1提问于2018-07-10得票数 0
问题是关于静态方法Objects.deepEquals类(自Java 7以来)：
public static boolean deepEquals(Object a, Object b) {
if (a == b)
return true;
else if (a == null || b == null)
return false;
else
return Arrays.deepEquals0(a, b);
}
正如它在javadoc中所说的，这种方法：
如果参数彼此之间深度相等，则返回true，否则返回false。
浏览 4提问于2015-12-30得票数 16
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我在Coq中寻找一个不同的等式证明的例子。
这意味着：
给出了一些T型和两个元素x，y:t和两个证明，p1，p2 : x=y和p1<>p2。
浏览 2提问于2017-04-28得票数 6
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在Coq中的归纳类型中，没有match的match关键字会做什么?例如：
Inductive Block : Type :=
| EmptyBlk : Block
| Blk : Statement -> Block
with Statement : Type :=
| Assignment : string -> AExp -> Statement
| Seq : Statement -> Statement -> Statement
| IfElse : BExp -> Block -> Block -> Statemen
浏览 0提问于2018-12-22得票数 0
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我试图证明Z_3类型的群公理：
Require Import Coq.Arith.PeanoNat.
Record Z_3 : Type := Z3
{
n :> nat;
proof : (Nat.ltb n 3) = true
}.
Proposition lt_0_3 : (0 <? 3) = true.
Proof.
simpl. reflexivity.
Qed.
Definition z3_0 : Z_3 := (Z3 0 lt_0_3).
Proposition lt_1_3 : (1 <? 3) = true.
Proof.
refle
浏览 2提问于2020-10-15得票数 0
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我想在Coq中考虑实数上的相等。 但是Coq.Reals.Reals.中的R不是归纳类型，所以我不能定义像Nat.eqb这样的函数。 如何在Coq中定义实数上的等式？
浏览 7提问于2020-10-11得票数 3
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我想用这个定义来假设集合R成员的某些等式成立：
Definition wiring: Prop
(globalHasVoltage -> (voltageOf voltageIn) = vcc)
/\
(globalHasGround -> (
(voltageOf control) = zero
/\
(voltageOf ground) = zero
浏览 4提问于2022-04-24得票数 0
在上一次使用coq列表时，我遇到了一个类型问题。但首先，定义；
临时清单：
Inductive list (a : Set) : Set :=
| nil : list a
| cons : a -> list a -> list a
.
Fixpoint len {a : Set} (l : list a) : nat :=
match l with
| nil _ => 0
| cons _ _ t => 1 + (len t)
end.
受抚养人名单：
Inductive dlist (a : Set) : nat -> Set :=
|
浏览 3提问于2020-01-04得票数 2
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动力塔
、
我想定义一个类型为PowersetTower : Type -> nat -> Type的家族，以便：
PowersetTower A 0 = APowersetTower A (n+1) = Ensemble (PowersetTower A n) (即PowersetTower A n -> Prop) )
这有可能吗？一种想法是
Inductive PowersetTower : Type -> nat -> Type :=
| base : forall (A : Type), PowersetTower A 0
| step : forall (A :
浏览 4提问于2021-04-08得票数 1
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1回答
我正在努力实施以下措施：
[]()
[]()
使用诱因，t取决于e，反之亦然。我如何在Coq中实现它？当我还没有定义e时，我不能使用它。
浏览 1提问于2020-06-30得票数 0
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2回答
对于具有可判定顺序的类型，是否存在等价于同一性证明的唯一性？尤其是Peano自然数的类型？它是否在Coq的库中实现？(我找不到)
对于自然数，这似乎是正确的，因为n <= p看起来与n == p的证明相同:它迭代地破坏n和p，直到左边的数字达到0，然后结束。
浏览 0提问于2018-12-21得票数 3
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我正在尝试定义BES中变量的等级。BES被定义为方程列表，而变量是命题变量集的居民，它不是归纳类型：
Variable propVar : Set.
Definition rank (E:BES)(x:propVar) : nat :=
let fix block(E':BES)(curMu:bool) : nat :=
match E' with
| nil => fail
| cons (mu xc _) E2 =>
if xc=x then (if curMu then O else S(O))
else (if curMu then blo
浏览 0提问于2016-01-26得票数 0
在Agda中，似乎通常有两种改进集合的方法。一种方法是简单地编写一个函数，检查一个属性是否持有，并将其解除。例如：
has_true : List Bool -> Bool
has_true (true ∷ xs) = true
has_true (false ∷ xs) = has_true xs
has_true [] = false
Truthy : List Bool -> Set
Truthy list = T (has_true list)
在这里，Truthy list是一个证明一个布尔列表至少有一个真正的元素。另一种方法是将该属性直接编码为归纳类型：
data
浏览 0提问于2018-09-06得票数 1
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我有以下递归函数：
fun tester (f:'a -> 'b, tl:(string * 'a * 'b) list) =
case tl of
[] => []
| (t, c, e)::rest =>
let val tr = f (c)
in
if tr <> (e)
then ((t), (e), tr)::(tester (f, rest))
else tester (f, rest)
浏览 0提问于2013-01-20得票数 4
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我可以在Coq中证明以下内容吗？
Lemma bool_uip (H1 : true = true): H1 = eq_refl true.
也就是说，true = true的所有证明都是相同的？
如下所示，例如，forall c (H1 H2: c = true), H1 = H2.
最好不用添加任何公理(比如UIP)。我发现了以下线索，表明情况可能是这样的：
浏览 0提问于2018-06-13得票数 3
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我的证明脚本给了我愚蠢的类型等式，比如nat = bool或nat = list unit，我需要用它们来解决矛盾的目标。
在正常的数学中，这是微不足道的。给定集合bool := { true, false }和nat := { 0, 1, 2, ... }，我知道true ∈ bool，但是true ∉ nat，因此是bool ≠ nat。在Coq中，我甚至不知道如何声明true :̸ nat。
问题
有没有办法证明这些等式是假的？或许，这是不可能的？
(编辑:删除了失败尝试的长列表，但在历史记录中仍可查看。)
浏览 2提问于2012-09-01得票数 7
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我只是从Coq开始，现在正试图证明一些在“小普罗弗”中的东西。我遇到的一个定理是：
Theorem equal_swap : forall (A: Type) (x:A) (y:A),
(x = y) = (y = x).
然而，我无法证明这一点。我试着找出如何用eq_sym重写方程的右侧，但我无法将它应用于目标的一个表达式。
我该如何证明这个定理？
浏览 0提问于2019-05-02得票数 0
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1回答
我是Coq的新手。我正在尝试使用Coq的依赖类型。我想要做的是，简单地将一个偶数输入到一个函数中。例如，在伪代码中：
def next_even(n: {n: Integer | n is even}) :=
{
add n 2
}
然后我想使用带有不同参数的函数，例如(在伪代码中)：
next_even(1) // Coq should show an error
next_even(4) // Coq should compute 6
所以，在Coq中，我想做以下事情：
Compute (next_even 1).
Compute (next_even 4).
我该如何构建
浏览 8提问于2019-11-14得票数 1
当查看可判定相等类型的结果时(特别是在中)，有一些结果(对于A类型)是需要的
forall x y : A, x = y \/ x <> y
而有些人则要求
forall x y : A, {x = y} + {x <> y}
我的印象是，这是最后一个被称为可决定的平等，但我非常不确定的差别是什么。我知道x = y \/ x <> y在Prop和{x = y} + {x <> y}中是在Set中，我可以证明第一个是从第二个，而不是反过来。据我所知，这是因为不允许我从Prop类型的值构造Set类型的值。
有人能分辨出两者的区别吗？是否有某种
浏览 1提问于2021-10-25得票数 4
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我正在尝试计算Coq中的v元素在natlist/bag中出现的#。我试过：
Fixpoint count (v:nat) (s:bag) : nat :=
match s with
| nil => 0
| h :: tl => match h with
| v => 1 + (count v tl)
end
end.
然而，我的证据行不通：
Example test_count1: count 1 [1;2;3;1;4;1] = 3.
Proof. simpl. refle
浏览 0提问于2019-01-21得票数 0
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我试图使用一种数据类型来表示某种通用代数上下文中的表达式。用(笔和纸)数学来表达这一点的通常方法是，你有一组函数符号，F，还有一个函数函数。表达式是一棵树，其中每个节点都被标记为一个函数符号，其子节点的数量与其属性相同。在这个特殊的例子中，我还得到了一组原子变量，这些变量被显式地作为术语注入。
很清楚如何用Coq (我在底部有一段代码)将其写下来，但我想证明某种可判定性的结果。我已经证明了向量的可判定性(“如果我对A有可判定性，那么我就可以得到VectorDef.tAn上的可判定性”)，但是我想不出如何对我的树类型做同样的工作。
我试图对树的结构进行显式递归，但最终需要调用我的“可判定向量”函
浏览 0提问于2019-03-25得票数 2
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1回答
我试图为一些我想在Coq中做的事情做一个加权树库。每一棵树的边缘都应该有一个实数值的权重。我想要的操作之一是剪枝函数，如果它们的权重为0，就会从树中修剪叶子的边缘。
下面的代码是树的设置：
Require Import Coq.Reals.Reals.
Require Import Coq.Lists.List.
Section WeightedTrees.
Inductive wtree' (A : Type) : Type :=
| Null : wtree' A
| LNode : A -> wtree' A
| INode : A -&g
浏览 1提问于2013-11-11得票数 0
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我如何在Coq中证明以下内容？
Variables f g : nat->nat.
Hypothesis Hfg : forall x, f x = g x.
Variable F : (nat->nat)->nat.
Goal F f = F g.
我们有两个函数，f和g，它们不一定相等，但它们是等价的。例如，f x可以是0+x，g x可以是x+0。
F返回一个nat，而且由于F不能查看它的函数参数，所以返回的值应该是相同的，无论它是fed f还是g。我该怎么证明呢？
(它等价于Proper ( f_eq ==> eq) F的一个证明，其中f_eq = forall
浏览 0提问于2018-07-11得票数 3
我试图编写一个函数，它接受自然数的列表，并将其中不同元素的数量作为输出返回。例如，如果我有列表1,2,2,4,1，函数DifElem应该输出"3“。我尝试过很多事情，最近得到的是：
Fixpoint DifElem (l : list nat) : nat :=
match l with
| [] => 0
| m::tm =>
let n := listWidth tm in
if (~ In m tm) then S n else n
end.
我的逻辑是这样的:如果m不在列表的尾部，那么在计数器中添加一个。如果是的话，不要添加到计数器中
浏览 0提问于2016-04-21得票数 7
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考虑以下大小列表的类型定义：
Inductive listn: nat -> Type -> Type :=
| nil: forall {A: Set}, listn 0 A
| cons: forall {n: nat} {A: Set}, A -> listn n A -> listn (S n) A.
这本质上是Idris中的类型。
我试图为init定义listn函数，它删除了最后一个元素。
我尝试的实现实际上与Idris中init的定义完全相同。这是在伊德里斯：
init : Vect (S len) elem -> Vect len elem
init
浏览 6提问于2022-03-19得票数 1
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def toJson[T](obj: T) = {
gson.toJson(obj)
}
def toJson[T](list: Seq[T]) = {
toJson(seqAsJavaList(list))
}
这不能编译。这被记录为一个特性()：
当方法重载时，其中一个方法调用另一个方法。调用方法需要一个返回类型注释。
问题是:为什么？
从上面的链接+同事的一些其他想法来看，以下是可能的原因：
scala还使用返回类型来确定重载的方法。是这样的，为什么要嵌套呢？(例如，Java不使用返回类型)
部分函数--如果其中一个方法没有参数，
浏览 4提问于2014-03-06得票数 3
如果x<5 (X)=1在Coq中，我如何定义像f(x)=0这样的函数？
如果我做了像OСaml这样的事，
Definition test (i:nat):nat :=
if i < 5 then 0 else 1.
它抱怨说
错误:术语i < 5有Prop类型，它不是(共同)归纳类型.
浏览 3提问于2017-09-24得票数 0
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