1 SVD简介 1.1 特征值分解 如果一个向量v是方阵A的特征向量，则将其可以表示为Av=λv。λ被称为特征向量v对应的特征值。...特征值分解是将一个矩阵分解成下面的形式： Q是这个矩阵A的特征向量组成的矩阵，Σ是一个对角矩阵，每一个对角线上的元素就是一个特征值。一个矩阵的一组特征向量是一组正交向量。...（1）奇异值分解定义 奇异值分解指将一个矩阵A(m*n)分解为如下形式： （其中，U是左奇异矩阵，由左奇异向量组成；V是右奇异矩阵，由右奇异向量组成。）...下图是一个对角矩阵，其除了对角线上的元素外，其余均为0。形如： 该矩阵的对角元素便是奇异值（singular value），一般情况下奇异值是按从大到小排列的。...(M, k) 【注释：①M方阵的规模，即行数、列数；②k默认为0，输出对角线全“1”，其余全“0”的方阵；k为正整数，右上方第k条对角线全“1”其余全“0”； k为负整数，左下方第k条对角线全“1”
、变量、表达式或函数； e、矩阵的尺寸不必预先定义。...二，矩阵的创建： 1、直接输入法 最简单的建立矩阵的方法是从键盘直接输入矩阵的元素，输入的方法按照上面的规则。...3、特殊矩阵 (1) 魔方矩阵魔方矩阵有一个有趣的性质，其每行、每列及两条对角线上的元素和都相等。对于n阶魔方阵，其元素由1,2,3,…,n2共n2个整数组成。...四、矩阵分析 1、对角阵 (1) 对角阵只有对角线上有非0元素的矩阵称为对角矩阵，对角线上的元素相等的对角矩阵称为数量矩阵，对角线上的元素都为1的对角矩阵称为单位矩阵。...8、向量和矩阵的范数 矩阵或向量的范数用来度量矩阵或向量在某种意义下的长度。范数有多种方法定义，其定义不同，范数值也就不同。
因为在机器学习中常用到求导，二范式求导之后只与输入数据本身有关，所以比较实用。...仔细看定义！！！这里并没有说必须是squre matrix(方阵)，所以对角矩阵不一定是方阵，rectangle matrix也有可能是对角矩阵(只要对角线上不为0，其余部分都为0)。...注意矩阵A必须为方阵，另外有定义可知 \(A^{-1}=A^T\) 3) Orthonomal Matrix(标准正交矩阵) 定义: 满足正交矩阵的要求，且为x和y均为unit vector(单位矢量...矩阵A的非零奇异值是矩阵\(AA^T\)或者\(A^TA\)的平方根。 矩阵D是diagonal matrix,注意不一定是方阵。D对角线上的即为矩阵A的奇异值(singular value)。...Trace Operator(迹) trace运算符是将矩阵对角线上的所有元素求和，即\(Tr(A)=\sum_iA_{i,i}\)
、变量、表达式或函数； e、矩阵的尺寸不必预先定义。...下面介绍四种矩阵的创建方法： 1、直接输入法 最简单的建立矩阵的方法是从键盘直接输入矩阵的元素，输入的方法按照上面的规则。...3、特殊矩阵 (1) 魔方矩阵 魔方矩阵有一个有趣的性质，其每行、每列及两条对角线上的元素和都相等。对于n阶魔方阵，其元素由1,2,3,…,n2共n2个整数组成。...四、矩阵分析 1、对角阵 (1) 对角阵 只有对角线上有非0元素的矩阵称为对角矩阵，对角线上的元素相等的对角矩阵称为数量矩阵，对角线上的元素都为1的对角矩阵称为单位矩阵。...8、向量和矩阵的范数 矩阵或向量的范数用来度量矩阵或向量在某种意义下的长度。范数有多种方法定义，其定义不同，范数值也就不同。
Matrix eigenvalues 特征值和特征向量 linalg.eig(a) 特征值和特征向量（方阵） linalg.eigvals(a) 特征值（方阵） Norms and other numbers...n 行数 M列数 k 对角元相对主对角线的位置 （可以产生长矩阵） identity(n[, dtype]) 单位阵 matlib.repmat(a, m, n) 向量或矩阵（最高只支持到2维）列方向重复...SVD分解 这里使用第三十讲奇异值分解习题课的例子 ? 方阵的特征值和特征向量 这里使用第二十一讲习题课的例子 ? （可以发现结果都对特征向量进行了标准化） 特征值 该方法只返回特征值 ?...伪逆 使用第三十四讲习题课的例子，这里要求输入为方阵，因此使用该例子，我们将原矩阵补全为方阵 ? 3.2 numpy.matlib 模块 矩阵类型 ? ? 将其他类型转化为矩阵类型 ?...对角线为 1 矩阵 这里可以不止是在主对角线上，可由参数k控制，该参数定义全为 1 的对角线离主对角线的相对距离，为正则往上三角移动，为负则往下三角移动。 并且可以是非方阵。
假设我们将模型表示为给定输入后，计算对应输出的流程图，则可以将这张流程图中的最长路径视为模型的深度。...matrix）只在主对角线上含有非零元素，其他位置都是零。...用 \(diag(v)\) 表示一个对角元素由向量 \(v\) 中元素给定的对角方阵。...矩阵 \(U\) 和 \(V\) 都定义为正交矩阵，而矩阵 \(D\) 定义为对角矩阵，但不一定是方阵 对角矩阵 \(D\) 对角线上的元素被称为矩阵 \(A\) 的 奇异值（singular value...输入被轻微扰动而迅速改变的函数对于科学计算来说可能是有问题的，因为输入中的舍入误差可能导致输出的巨大变化 对于函数 $ f(x) = A^{-1}x $。
表示矩阵值表达式的索引可以用 ? 表示函数f作用在A上输出的矩阵的第i行第j列元素。 张量（tensor）：表示一个数组中的元素分布在若干维规则的坐标网络中。...简而言之，任意向量和单位矩阵相乘都不会改变。 单位矩阵是个方阵，从左上角到右下角的对角线（称为主对角线）上的元素均为1，除此以外全都为0，如图所示。 ?...对角线上元素相等的对角矩阵称为数量矩阵；对角线上元素全为1的对角矩阵称为单位矩阵。（并非所有的对角矩阵都是方阵，长方形的矩阵也可能是对角矩阵。） ?...U和V都为正交矩阵，D为对角矩阵，但不一定为方阵。 对角矩阵D对角线上的元素称为矩阵A的奇异值，矩阵U的列向量称为左奇异向量, 矩阵V的列向量称右奇异向量。...---- 行列式 行列式（determinant）：det(A)，是一个将方阵A映射到实数的函数，行列式等于矩阵特征值的乘积。
特殊的矩阵和向量 对角矩阵（Diagonal matrices）：是一个主对角线之外的元素皆为0的矩阵。...其中，对角矩阵D（不一定是方阵）称为矩阵A的奇异值（singular values），矩阵U的列向量称为左奇异向量（left-singularvectors），矩阵V的列向量称为右奇异向量（right-singularvectors...） 伪逆 伪逆（Moore-Penrose pseudoinverse）：对于非方阵矩阵，没有逆矩阵的定义。...矩阵D的伪逆，是对其非零元素取到数之后转置得到的。 ? 矩阵的迹操作 矩阵的迹（Trace）：矩阵主对角线上所有元素的和称为矩阵的迹。表示为： ? 迹的一些性质: ? ?...行列式 行列式（determinant）：一个方阵的行列式，是将方阵映射到实数的一个函数。记做det(A).行列式等于矩阵特征值的乘积.
对角矩阵可以认为是矩阵中最简单的一种，值得一提的是：对角线上的元素可以为 0 或其他值，对角线上元素相等的对角矩阵称为数量矩阵；对角线上元素全为1的对角矩阵称为单位矩阵。...需要注意只有对可对角化矩阵才可以施以特征分解。 令 A 是一个 N×N 的方阵，且有 N 个线性无关的特征向量 qi(i=1,…,N)。...如果A的所有特征向量用x1,x2 … xm来表示的话，那么Q可以表示为： , 其中x是n维非零向量。 Λ 是对角矩阵，其对角线上的元素为对应的特征值，也即Λii=λi。...一个行向量乘以矩阵，相当于矩阵的行向量的线性组合。 所以向量乘以矩阵之后，相当于将这个向量进行了几何变换。 之前讲了 Λ 是对角矩阵，其对角线上的元素为对应的特征值，也即Λii=λi。...先看下奇异值分解的定义： 其中A是目标要分解的m * n的矩阵，U是一个 n * n的方阵，Σ 是一个n * m 的矩阵，其非对角线上的元素都是0。 是V的转置，也是一个n * n的矩阵。
对角矩阵可以认为是矩阵中最简单的一种，值得一提的是：对角线上的元素可以为 0 或其他值，对角线上元素相等的对角矩阵称为数量矩阵；对角线上元素全为1的对角矩阵称为单位矩阵。...需要注意只有对可对角化矩阵才可以施以特征分解。 令 A 是一个 N×N 的方阵，且有 N 个线性无关的特征向量 qi(i=1,…,N)。...如果A不是满秩的话，那么就是说对角阵的对角线上元素存在0，这时候就会导致维度退化，这样就会使映射后的向量落入m维空间的子空间中。 最后一个变换就是Q对拉伸或压缩后的向量做变换，由于Q和 ?...奇异值分解SVD 特征值分解可以方便的提取矩阵的特征，但是前提是这个矩阵是一个方阵。如果是非方阵的情况下，就需要用到奇异值分解了。先看下奇异值分解的定义： ?...其中A是目标要分解的m * n的矩阵，U是一个 n * n的方阵，Σ 是一个n * m 的矩阵，其非对角线上的元素都是0。 ? 是V的转置，也是一个n * n的矩阵。
对角矩阵可以认为是矩阵中最简单的一种，值得一提的是：对角线上的元素可以为 0 或其他值，对角线上元素相等的对角矩阵称为数量矩阵；对角线上元素全为1的对角矩阵称为单位矩阵。...需要注意只有对可对角化矩阵才可以施以特征分解。 令 A 是一个 N×N 的方阵，且有 N 个线性无关的特征向量 qi(i=1,…,N)。...然后，在新的坐标系表示下，由中间那个对角矩阵对新的向量坐标换，其结果就是将向量往各个轴方向拉伸或压缩: 如果A不是满秩的话，那么就是说对角阵的对角线上元素存在0，这时候就会导致维度退化，这样就会使映射后的向量落入...一个行向量乘以矩阵，相当于矩阵的行向量的线性组合。 所以向量乘以矩阵之后，相当于将这个向量进行了几何变换。 之前讲了 Λ 是对角矩阵，其对角线上的元素为对应的特征值，也即Λii=λi。...先看下奇异值分解的定义： 其中A是目标要分解的m * n的矩阵，U是一个 n * n的方阵，Σ 是一个n * m 的矩阵，其非对角线上的元素都是0。 是V的转置，也是一个n * n的矩阵。
假定所有的输入向量 V 可以排列为一个标准表格，即： ? 而矩阵可以将所有的输入向量 V 投影为如下所示的新空间，也即所有输出向量组成的 B： ? 下图可以看到输入向量空间和输出向量空间的关系， ?...因此，特征向量的数学定义为：存在非零矩阵 A 和标量λ，若有向量 x 且满足以下关系式，那么 x 就为特征向量、λ为特征值。 ? 特征向量同样是线性变换的不变轴，所有输入向量沿着这条轴压缩或延伸。...线性变换中的线性正是表明了这种沿直线轴进行变换的特性，一般来说几阶方阵就有几个特征向量，如 3*3 矩阵有 3 个特征向量，n 阶方阵有 n 个特征向量，每一个特征向量表征一个维度上的线性变换方向。...根据上述推导，我们发现达到优化目标就等价于将协方差矩阵对角化：即除对角线外的其它元素化为 0，并且在对角线上将特征值按大小从上到下排列。...在上面的协方差矩阵中，1.07 和 0.64 分别代表变量 x 和变量 y 的方差，而副对角线上的 0.63 代表着变量 x 和 y 之间的协方差。
要确保矩阵至多有m个列向量。矩阵必须是一个方阵(square)，m=n，且所有列向量线性无关。一个列向量线性相关方阵为奇异的(singular)。...两个向量点积用范数表示，x⫟y=||x||2||y||2cosθ，θ表示x、y间夹角。 特殊类型矩阵、向量。 对角矩阵(diagonal matrix)，只在主对角线上有非零元素，其他位置都是零。...对角矩阵，当且仅当对于所有i != j，Di,j=0。单位矩阵，对角元素全部是1。 diag(v)表示对角元素由向量v中元素给定一个对角方阵。对角矩阵乘法计算高效。...计算对角方阵的逆矩阵很高效。对角方阵的逆矩阵存在，当且仅当对角元素都是非零值，diag(v)⁽-1⁾=diag(1/v1,…,1/vn⫟)。根据任意矩阵导出通用机器学习算法。...并非所有对角矩阵都是方阵。长方形矩阵也有可能是对角矩阵。非方阵的对象矩阵没有逆矩阵，但有高效计算乘法。长方形对角矩阵D，乘法Dx涉及x每个元素缩放。D是瘦长型矩阵，缩放后末尾添加零。
1.矩阵的创建 1.1.直接输入 a=[1 2 3;4 5 6]&&&a=[12,3;4,5,6] 1.2利用函数进行创建 例如zeros,ones,eye函数 zeros(3)会输出3行3列全部是0的矩阵...zeros(2,3)会输出2行3列全部是0的矩阵； 同理，ones函数用来输出全部是1的矩阵，eye函数用来输出单位矩阵(主对角线上的元素是1，其他的全是0)； 还有rand:均匀分布的随机数，所生成的数据都在...(100,2,3); 如果生成方阵，可写成randi([10,100],6)表示6行6列； randn:标准正态分布的随机数； diag函数用于创建对角矩阵以及引用矩阵中的元素； blkdiag函数用于创建分块对角矩阵...； 2.矩阵元素的引用 2.1这里输出第1，3行，2，3列的元素 size函数用来计算矩阵的行数和列数 A[:,3]表示取出A矩阵第三列的所有元素； A[3,:]表示取出A矩阵第三行的所有元素； 线性索引...：一列一列的数数，只需要一个属性就可以确定某个元素； A(:)的用法：转换为列向量 3.矩阵元素的修改 矩阵元素的删除一般只能删除整行或者整列； 如果用线性索引删除，会把剩下的元素转换成一行的一个向量。
1 普通方阵的矩阵分解（EVD） 我们知道如果一个矩阵 A 是方阵，即行列维度相同（mxm），一般来说可以对 A 进行特征分解： 其中，U 的列向量是 A 的特征向量，Λ 是对角矩阵，Λ 对角元素是对应特征向量的特征值...举个简单的例子，例如方阵 A 为： 那么对其进行特征分解，相应的 Python 代码为： 运行输出： 特征分解就是把 A 拆分，如下所示： 其中，特征值 λ1=3.41421356，对应的特征向量...02 对称矩阵的矩阵分解（EVD） 如果方阵 A 是对称矩阵，例如： 对称矩阵特征分解满足以下公式： 那么对其进行特征分解，相应的 Python 代码为： 运行输出： 特征分解就是把 A...因此，我们就可以分别对上面的方阵进行分解： 其中，Λ1 和 Λ2 是对焦矩阵，且对角线上非零元素均相同，即两个方阵具有相同的非零特征值，特征值令为 σ1, σ2, ... , σk。...Λ 并不是方阵，其维度为 mxn，Λ 对角线上的非零元素就是 A 的特征值 λ1, λ2, ... , λk。
合同变换法：将矩阵化为对角矩阵，若对角线元素全为正，则矩阵为正定。 二次型法：根据定义，对于任意非零向量x，计算x^TAx，若结果恒大于零，则矩阵为正定。...对角矩阵是一种特殊的方阵，它的特点是：除了主对角线上的元素外，其他所有元素都为0。...单位矩阵和零矩阵都是特殊的对角矩阵。 对角矩阵的特征值就是主对角线上的元素。 对角矩阵的行列式就是主对角线上的元素的乘积。...我回答这种问题以前，是会先问自己，里面的名词的数学含义是什么？ 合同的定义：对于两个n阶方阵A和B，如果存在一个可逆矩阵P，使得B = P^TAP，则称矩阵A和B合同。...合同关系反映了两个矩阵在某种线性变换下的等价性。 正交相似的定义：对于两个n阶方阵A和B，如果存在一个正交矩阵Q，使得B = Q^TAQ，则称矩阵A和B正交相似。
对角化分解 给定一个大小为 ? 的矩阵 ? （是方阵），其对角化分解可以写成 ? [公式] 其中， ? 的每一列都是特征向量， ? 对角线上的元素是从大到小排列的特征值，若将 ? 记作 ? ，则 ?...的对称对角化分解。 上面所讲的矩阵进行特征分解，矩阵A必须为方阵。那么如果A不是方阵，即行和列不相同的矩阵进行分解时就是所说的奇异值分解了。...假设我们的矩阵A是一个m×n的矩阵，那么我们定义矩阵A的SVD为： A=UΣVT 其中U是一个m×m的矩阵，Σ是一个m×n的矩阵，除了主对角线上的元素以外全为0，主对角线上的每个元素都称为奇异值，V是一个...下图可以很形象的看出上面SVD的定义： ? 1.那么我们如何求出SVD分解后的U,Σ,V这三个矩阵呢？ 如果我们将A的转置和A做矩阵乘法，那么会得到n×n的一个方阵ATA。...由于Σ除了对角线上是奇异值其他位置都是0，那我们只需要求出每个奇异值σ就可以了。 这样我们可以求出我们的每个奇异值，进而求出奇异值矩阵Σ。
范数（包括 范数）是将向量映射到非负值的函数。直观上来说，向量 的范数衡量从原点到点 的距离。...对角矩阵(diagonal matrix) 我们用 diag(v) 表示对角元素由向量 v 中元素给定的一个对角方阵。...diag(v)x=v\odot x 假设对角方阵的逆矩阵存在，当且仅当对角元素都是非零值，在这种情况下， 。 并非所有的对角矩阵都是方阵，长方形的矩阵也有可能是对角矩阵。...标准正交：R^n 中，至多有 n 个范数非零向量相互正交，且范数都是 1 。 正交矩阵指行向量和列向量是分别标准正交的方阵。...U和V都定义为正交矩阵，D为对角矩阵，注意D不一定是方阵。 对角矩阵D对角线上的元素称为矩阵A的奇异值。 A的非零奇异值是A^TA特征值的平方根，同时也是AA^T特征值的平方根。
对于n阶方阵A，它的迹是主对角线上的元素之和，即 ? ，有如下性质： ? ? ? n阶方阵行列式定义为： ? ，其中Sn为所有n阶排列的集合， ? 的值为-1或+1取决于 ?...矩阵A的Frobenius范数定义为： ? 可以看出，矩阵的Frobenius范数就是将矩阵扩张成向量后的L2范数。...对于函数f(x)，假定其对向量的元素可到，则f(x)关于x的一阶导数是一个向量，其第i个分量为： ?...f(x)关于x的二阶导数是称为海森矩阵（Hessian matrix）的一个方阵，其第i行第j列上的元素为： ? 向量和矩阵的导数满足乘法法则 ? ? 由 ? 和上式可知： ?...U中的列向量称为A的左奇异向量，V中的列向量称为A的右奇异向量， ? 是奇异值，矩阵A的秩等于非0奇异值的个数。
领取专属 10元无门槛券
手把手带您无忧上云
云服务器
ICP备案
对象存储
腾讯会议
云直播
