根据算术基本定理又称唯一分解定理，对于任何一个合数， 我们都可以用几个质数的幂的乘积来表示。
在之前的一篇文章：划重点！通俗解释协方差与相关系数，红色石头为大家通俗化地讲解了协方差是如何定义的，以及如何直观理解协方差，并且比较了协方差与相关系数的关系。
线性规划的解 : 满足约束条件 ② 和 ③ 有很多解 , 这些解中肯定有一个或多个解 , 使 ① 目标函数 有最大值 ;
现如今很多大模型都开始支持超过4096长度的推理，例如GPT-4支持超过30k，ChatGLM2-6B也支持最长为32K的文本。但是由于显存资源的限制，这些大模型在真正在训练过程中不一定要训练这么长的文本，通常在预训练时只会设计到4k左右。
微软研究院最近提出了一个新的 LLM 自回归基础架构 Retentive Networks （RetNet）[1,4]，该架构相对于 Transformer 架构的优势是同时具备:训练可并行、推理成本低和良好的性能，不可能三角。
两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。 我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。
我们上一节介绍了环(ring)、域(field)的概念，并给了一些环、域的实例。比如我们知道整数环、方阵环、有理数域、实数域等。我们知道，域是环的一个种。最后，我们讲了素域，并讲了有限素域的构造。
PCA（Principal Component Analysis）是一种常用的数据分析方法。PCA通过线性变换将原始数据变换为一组各维度线性无关的表示，可用于提取数据的主要特征分量，常用于高维数据的降维。 PCA的作用 你手上有一批数据，但是特征太多，你感觉数据太稀疏了 你选了一堆特征，但是感觉某些特征之间的相关性太高了，比如用户月消费预测的时候，你选了用户身高以及用户性别这两个特征，一般男生的身高比较高，你觉得特征有点冗余 你的小霸王内存不够，内存只有4个G，装不下太大的矩阵，但是你又不想减少训练数据，N
特征降维一般有两类方法：特征选择和特征抽取。特征选择即从高纬度的特征中选择其中的一个子集来作为新的特征；而特征抽取是指将高纬度的特征经过某个函数映射至低纬度作为新的特征。常用的特征抽取方法就是PCA。
串(String)是零个或多个字符组成的有限序列。一般记作 S=“a1a2a3…an”，其中S是串名，用双引号括起来的字符序列是串值；ai(1≦i≦n)可以是字母、数字或其它字符。串中所包含的字符个数称为该串的长度。
HDU 2006'10 ACM contest的颁奖晚会隆重开始了！为了活跃气氛，组织者举行了一个别开生面、奖品丰厚的抽奖活动，这个活动的具体要求是这样的： 首先，所有参加晚会的人员都将一张写有自己名字的字条放入抽奖箱中；然后，待所有字条加入完毕，每人从箱中取一个字条；最后，如果取得的字条上写的就是自己的名字，那么“恭喜你，中奖了！” 大家可以想象一下当时的气氛之热烈，毕竟中奖者的奖品是大家梦寐以求的Twins签名照呀！不过，正如所有试图设计的喜剧往往以悲剧结尾，这次抽奖活动最后竟然没有一个人中奖！ 我的神、上帝以及老天爷呀，怎么会这样呢？ 不过，先不要激动，现在问题来了，你能计算一下发生这种情况的概率吗？ 不会算？难道你也想以悲剧结尾？！
注意，添加行或列是非原位操作（do not operate in place）, 不改变原来的矩阵，返回一个新的矩阵。
简言之，三位物理学家请教数学天才、菲尔兹奖得主陶哲轩一个偶然发现的公式。三位物理学家很快收到了陶哲轩的回复，并给出3个证明。一周半后，他们一起发表了论文，阐述了这个公式的证明过程。
教程地址：http://www.showmeai.tech/tutorials/34
本文将聊聊排列和组合，排列组合是组合学最基本的概念，排列组合在程序运用中也至关重要。
这篇文章讲述的是R语言中关于矩阵与数组的相关知识。希望这篇R语言文章对您有所帮助！如果您有想学习的知识或建议，可以给作者留言~
分类计数原理：做一件事，有\(n\)类办法，在第\(1\)类办法中有\(m_1\)种不同的方法，在第\(2\)类办法中有\(m_2\)种不同的方法，…，在第\(n\)类办法中有\(m_n\)种不同的方法，那么完成这件事共有\(N=m_1+m_2+…+m_n\)种不同的方法。
上一次写了关于PCA与LDA的文章，PCA的实现一般有两种，一种是用特征值分解去实现的，一种是用奇异值分解去实现的。在上篇文章中便是基于特征值分解的一种解释。 特征值和奇异值在大部分人的印象中，往往是停留在纯粹的数学计算中。而且线性代数或者矩阵论里面，也很少讲任何跟特征值与奇异值有关的应用背景。奇异值分解是一个有着很明显的物理意义的一种方法，它可以将一个比较复杂的矩阵用更小更简单的几个子矩阵的相乘来表示，这些小矩阵描述的是矩阵的重要的特性。就像是描述一个人一样，给别人描述说这个人长得浓眉大眼，方脸，络腮胡，
PCA的实现一般有两种，一种是用特征值分解去实现的，一种是用奇异值分解去实现的。在上篇文章中便是基于特征值分解的一种解释。 特征值和奇异值在大部分人的印象中，往往是停留在纯粹的数学计算中。而且线性代数或者矩阵论里面，也很少讲任何跟特征值与奇异值有关的应用背景。奇异值分解是一个有着很明显的物理意义的一种方法，它可以将一个比较复杂的矩阵用更小更简单的几个子矩阵的相乘来表示，这些小矩阵描述的是矩阵的重要的特性。就像是描述一个人一样，给别人描述说这个人长得浓眉大眼，方脸，络腮胡，而且带个黑框的眼镜，这样寥寥的几个
PCA 的数学原理和可视化效果 本文结构： 什么是 PCA 数学原理 可视化效果 ---- 1. 什么是 PCA PCA (principal component analysis, 主成分分析) 是机器学习中对数据进行降维的一种方法。 例如，我们有这样的交易数据，它有这几个特征：(日期, 浏览量, 访客数, 下单数, 成交数, 成交金额)，从经验可知，“浏览量”和“访客数”，“下单数”和“成交数”之间会具有较强的相关关系。这种情况下，我们保留其中的两个维度就可以保证原有的信息完整。 但是当我们在做降维的时
本文结构： 什么是 PCA 数学原理 可视化效果 ---- 1. 什么是 PCA PCA (principal component analysis, 主成分分析) 是机器学习中对数据进行降维的一种方法。 例如，我们有这样的交易数据，它有这几个特征：(日期, 浏览量, 访客数, 下单数, 成交数, 成交金额)，从经验可知，“浏览量”和“访客数”，“下单数”和“成交数”之间会具有较强的相关关系。这种情况下，我们保留其中的两个维度就可以保证原有的信息完整。 但是当我们在做降维的时候，会丢失掉一部分信息。 例如,
课程主页：http://speech.ee.ntu.edu.tw/~tlkagk/courses_LA16.html
R 语言为线性代数的研究提供了矩阵类型，这种数据结构很类似于其它语言中的二维数组，但 R 提供了语言级的矩阵运算支持。
换种表达方式，线性无关是说：其中任意一个向量都不在其他向量张成空间中，也就是对所有的
题目 每天一道leetcode92-反转m到n处的链表 分类：链表 中文链接： https://leetcode-cn.com/problems/reverse-linked-list-ii/ 英文链接 https://leetcode.com/problems/reverse-linked-list-ii/ 题目详述 反转从位置 m 到 n 的链表。请使用一趟扫描完成反转。 说明: 1 ≤ m ≤ n ≤ 链表长度。 示例: 输入: 1->2->3->4->5->NULL, m = 2, n =
这是“标量对向量”求导数，行向量或列向量都不重要，向量只是一组标量的表现形式，重要的是导数“d组合/d股票”的“股票”的向量类型一致 (要不就是行向量，要不就是列向量)。
MATLAB的强大功能之一体现在能直接处理向量或矩阵。当然首要任务是输入待处理的向量或矩阵。
思路一： 我们令f(M)(N)表示M个苹果正好使用N个盘子时的分法个数(当M<N时f(M)(N) = 0)。 假设没有空盘子，则如果M>N，题目可以转换为f(M)(N) = f(M-N)(N) 假设有空盘子，则可以按照空盘子的个数来递归求解，即只有一个空盘子的情况解为:f(M)(N-1), 只有两个空盘子时解为：f(M)(N-2) .... 有N-1个空盘子时，解为f(M)(1)
最简单的建立矩阵的方法是从键盘直接输入矩阵的元素，输入的方法按照上面的规则。建立向量的时候可以利用冒号表达式，冒号表达式可以产生一个行向量，一般格式是： e1:e2:e3，其中e1为初始值，e2为步长，e3为终止值。还可以用linspace函数产生行向量，其调用格式为：linspace(a,b,n) ，其中a和b是生成向量的第一个和最后一个元素，n是元素总数。
比方说在二维平面中，这里有三组二维向量，每组都有两个向量，那么每组向量的面积就可以表示它们的不同。当然这里说面积是针对二维平面来说的，在三维空间中，就是体积；在更高维度中，可能就是一个体，但这个体比较抽象
本题要求将给定的N个正整数按非递增的顺序，填入“螺旋矩阵”。所谓“螺旋矩阵”，是指从左上角第1个格子开始，按顺时针螺旋方向填充。要求矩阵的规模为m行n列，满足条件：m*n等于N；m>=n；且m-n取所有可能值中的最小值。
说明：这一段时间用Matlab做了LDPC码的性能仿真，过程中涉及了大量的矩阵运算，本文记录了Matlab中矩阵的相关知识，特别的说明了稀疏矩阵和有限域中的矩阵。Matlab的运算是在矩阵意义下进行的，这里所提到的是狭义上的矩阵，即通常意义上的矩阵。
可发现该问题是错排的一个变形。题目要求的是有"m 个位置 i，使得 ai=ia_i = iai=i。"。相当于从n个数中，挑m个位置不变动，剩下的进行错排。
标量、向量、矩阵和张量 矩阵向量的运算 单位矩阵和逆矩阵 行列式 方差，标准差，协方差矩阵-------（第一部分） 范数 特殊类型的矩阵和向量 特征分解以及其意义 奇异值分解及其意义 Moore-Penrose 伪逆 迹运算 读完估计需要10min，这里主要讲解剩余部分，第一部分详见之前文章^-^ 范数 什么是范数，听得那么术语..其实就是衡量一个向量大小的单位。在机器学习中，我们也经常使用被称为范数(norm) 的函数衡量矩阵大小 📷 （为什么是这样的，不要管了，要扯就扯偏了，记得是衡量向量或者矩阵大小
矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。而行数与列数都等于n的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵。
最近两天都在看奇异值分解及其在推荐系统和图像压缩方面的应用，这部分知识比较散也比较难理解，看代码不是很好懂，所以通过编学边整理的方式帮助大脑理解这部分知识。 SVD思维导图 奇异值分解是什么 奇异值
最近两天都在看奇异值分解及其在推荐系统和图像压缩方面的应用，这部分知识比较散也比较难理解，看代码不是很好懂，所以通过编学边整理的方式帮助大脑理解这部分知识。 奇异值分解是什么 奇异值分解（Sin
这系列的笔记来自著名的图形学虎书《Fundamentals of Computer Graphics》，这里我为了保证与最新的技术接轨看的是英文第五版，而没有选择第二版的中文翻译版本。不过在记笔记时多少也会参考一下中文版本
人工智能不但可以理解语音或图像，帮助医学诊断，还存在于人们生活的方方面面，机器学习可以理解为系统从原始数据中提取模式的能力。
在机器学习中降维是我们经常需要用到的算法，在降维的众多方法中PCA无疑是最经典的机器学习算法之一，最近准备撸一个人脸识别算法，也会频繁用到PCA，本文就带着大家一起来学习PCA算法。
对于数组和Series而言，维度就是shape返回的数值shape中 返回了几个数字，就是几维。
上一篇文章中，我们对原始的Sinusoidal位置编码做了较为详细的推导和理解，总的感觉是Sinusoidal位置编码是一种"想要成为相对位置编码的绝对位置编码"。
隐马尔可夫模型包含观测，状态和相应的转移，具体的记号不在给出。只给出其性质：其中i是状态而o是观测：
我们定义一个包含向量中元素索引的集合，然后将集合写在脚标处，表示索引向量中的元素。比如，指定 x_1、x_3、x_6 ，我们定义集合S={1,3,6} ，然后写作 x_S 。
矩阵就是由多组数据按方形排列的阵列，在3D运算中一般为方阵，即M*N，且M=N，使用矩阵可使计算坐标3D坐标变得很方便快捷。下面就是一个矩阵的实例：
编写一个高效的算法来搜索 m x n 矩阵 matrix 中的一个目标值 target。该矩阵具有以下特性：
Ackerman函数有A(n,m)有两个独立的整变量m\ge0,n\ge0，其定义如下
从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排列起来，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。当m=n时所有的排列情况叫全排列。
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