1. 前言 熟悉机器学习的童鞋都知道，优化方法是其中一个非常重要的话题，最常见的情形就是利用目标函数的导数通过多次迭代来求解无约束最优化问题。实现简单，coding 方便，是训练模型的必备利器之一。这篇文章主要总结一下使用导数的最优化方法的几个基本方法，梳理相关的数学知识，本人也是一边写一边学，如有问题，欢迎指正，共同学习，一起进步。 2. 几个数学概念 1) 梯度（一阶导数） 考虑一座在 (x1, x2) 点高度是 f(x1, x2) 的山。那么，某一点的梯度方向是在该点坡度最陡的方向，而梯度的大小告诉我
作者： Alberto Quesada 译者： KK4SBB 神经网络模型的每一类学习过程通常被归纳为一种训练算法。训练的算法有很多，它们的特点和性能各不相同。 问题的抽象 人们把神经网络的学习
凸优化（convex optimization）是最优化问题中非常重要的一类，也是被研究的很透彻的一类。对于机器学习来说，如果要优化的问题被证明是凸优化问题，则说明此问题可以被比较好的解决。在本文中，SIGAI将为大家深入浅出的介绍凸优化的概念以及在机器学习中的应用。
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大数据文摘作品，转载要求见文末 翻译 | 张静，大力 校对 | 元元 时间轴 | 弋心 后期 | 郭丽（终结者字幕） 后台回复“字幕组”加入我们！ 人工智能中的数学概念一网打尽！欢迎来到YouTube网红小哥Siraj的系列栏目“The Math of Intelligence”，本视频是该系列的第二集，讲解优化问题和常用便捷优化方法。后续系列视频大数据文摘字幕组会持续跟进，陆续汉化推出喔！ 全部课表详见： https://github.com/llSourcell/The_Math_of_Intell
集成学习是机器学习算法中地位非常重要的一类算法, 其拥有理论基础扎实、易扩展、可解释性强等特点, 其核心思想是, 使用弱学习器(如线性模型、决策树等)进行加权求和, 从而产生性能较为强大的强学习器. 若按照指导弱学习器进行学习的理论基础进行分类的话, 集成学习的算法可分为两大类: 1. 基于偏差方差分解和bagging(bootstrap aggregating, 有放回抽样与集成)进行弱学习器学习的算法, 其典型代表是RF(Random Forest, 随机森林); 2. 基于梯度下降和boosting [1](提升)使弱学习器对前序产生的模型的不足之处进行改进, 以达到提升强学习器能力的效果, 其典型代表是AdaBoost(Adaptive Boosting, 自适应提升), GBDT(Gradient Boosting Decision Tree, 梯度提升决策树). 本文主要的阐述对象是第二类, 即基于梯度下降和boosting的算法, 具体分为如下章节:
Laplace算子作为边缘检测之一，和Sobel算子一样也是工程数学中常用的一种积分变换，属于空间锐化滤波操作。 简介 拉普拉斯算子（Laplace Operator）是n维欧几里德空间中的一个二阶微分算子，定义为梯度（▽f）的散度（▽·f）。拉普拉斯算子也可以推广为定义在黎曼流形上的椭圆型算子，称为拉普拉斯-贝尔特拉米算子。 拉普拉斯算子是二阶微分线性算子，在图像边缘处理中，二阶微分的边缘定位能力更强，锐化效果更好，因此在进行图像边缘处理时，直接采用二阶微分算子而不使用一阶微分。 拉普拉斯
插值就是在已知数据之间计算估计值的过程，是一种实用的数值方法，是函数逼近的重要方法。在信号处理和图形分析中，插值运算的应用较为广泛，MATLAB提供了多种插值函数，可以满足不同的需求。
我们在前面说过机器学习中的损失函数，其实机器学习中的每一个模型都是在求损失函数的最优解，即让损失达到最小值/极小值，求解方式有多种，本篇讲讲其中两个基本的优化方法：
XGBoost是当前炙手可热的算法，适合抽象数据的分析问题，在Kaggle等比赛中率获佳绩。市面上虽然有大量介绍XGBoost原理与使用的文章，但少有能清晰透彻的讲清其原理的。本文的目标是对XGBoost的原理进行系统而深入的讲解，帮助大家真正理解算法的原理。文章是对已经在清华达成出版社出版的《机器学习与应用》（雷明著）的补充。在这本书里系统的讲解了集成学习、bagging与随机森林、boosting与各类AdaBoost算法的原理及其实现、应用。AdaBoost与梯度提升，XGBoost的推导都需要使用广义加法模型，对此也有深入的介绍。
【新智元导读】 训练神经网络的算法有成千上万个，最常用的有哪些，哪一个又最好？作者在本文中介绍了常见的五个算法，并从内存和速度上对它们进行对比。最后，他最推荐莱文贝格－马夸特算法。 用于神经网络中执行学习过程的程序被称为训练算法。训练算法有很多，各具不同的特征和性能。 问题界定 神经网络中的学习问题是以损失函数f的最小化界定的。这个函数一般由一个误差项和一个正则项组成。误差项评估神经网络如何拟合数据集，正则项用于通过控制神经网络的有效复杂性来防止过拟合。 损失函数取决于神经网络中的自适应参数（偏差和突触权值
【分析】：第一问，首先考虑导数的定义，证明级数是正项级数，再利用题中的极限条件，构造级数的比较法来证明；第二问通过一般项，利用二阶导数的定义，再利用泰勒展开公式，同理构造一个等价的级数，间接利用来证明。
今天的算法是插值，细分是牛顿插值。关于插值可能大家听到最多的就是图像插值，比如100元的摄像头有4K的分辨率？？？其实这里就是使用的插值算法，通过已经有的数据再生成一些，相当于提升了数据的量。如果我们想放大图像，我们需要使用过采样算法来扩展矩阵。
深度学习典型代表是以神经网络为主的联结式算法，在深度学习问题中，通常会预先定义一个损失函数，并通过相应手段(即一些优化算法)使其损失最小化，以不断更新权值和偏移量，最后训练出一个泛化能力良好的模型。
在微积分中我们学过，沿着梯度grad(f)方向，函数f的方向导数有最大值。所以要找到函数的极大值，最好的方法是沿着该函数的梯度方向探寻，称之为梯度上升算法。同理，要找到函数的极小值，沿着该函数的梯度的相反方向探寻，称之为梯度下降算法。在机器学习领域，我们常需求解权重参数取何值时损失函数最小，梯度下降算法是一种很重要的算法。
在数值积分推导辛普森公式时就是将函数插值成为多项式形式，原因在于多项式的简洁。任何初等函数都可以用泰勒公式展开成多项式的形式，然后在多项式的基础上作求导运算。也可以用别的插值方法，比如拉格朗日插值，样条插值，埃尔米特插值等等。
还记得被Jacobian矩阵和Hessian矩阵统治的恐惧吗？本文清晰易懂的介绍了Jacobian矩阵和Hessian矩阵的概念，并循序渐进的推导了牛顿法的最优化算法。希望看过此文后，你对这两类矩阵有一个更深刻的理解。
方法：定义一个条件概率，如p(Y|X)相当于用模型来捕获输入X和输出Y之间的关系，如
计算一般可分为解析计算和数值计算，解析计算是连续的求解过程，而数值计算则是离散的求解过程。在matlab中，原则上只要数学上能解析计算的，采用matlab符号计算就能够精确求解。
在第二十六讲已经讲解了正定矩阵的一些性质，这一讲将给出判断矩阵为正定矩阵的判定条件，同时给出几何解释
「Deep Learning」这本书是机器学习领域的重磅书籍，三位作者分别是机器学习界名人、GAN 的提出者、谷歌大脑研究科学家 Ian Goodfellow，神经网络领域创始三位创始人之一的蒙特利尔大学教授 Yoshua Bengio（也是 Ian Goodfellow 的老师）、同在蒙特利尔大学的神经网络与数据挖掘教授 Aaron Courville。只看作者阵容就知道这本书肯定能够从深度学习的基础知识和原理一直讲到最新的方法，而且在技术的应用方面也有许多具体介绍。这本书面向的对象也不仅是学习相关专业的
在数字图像中，各像素点的亮度或色彩信息，即每个像素点的取值称为灰度，一幅图像所包含的灰度总数称为灰度级。
AI 科技评论按：「Deep Learning」这本书是机器学习领域的重磅书籍，三位作者分别是机器学习界名人、GAN的提出者、谷歌大脑研究科学家 Ian Goodfellow，神经网络领域创始三位创始人之一的蒙特利尔大学教授 Yoshua Bengio（也是 Ian Goodfellow的老师）、同在蒙特利尔大学的神经网络与数据挖掘教授 Aaron Courville。只看作者阵容就知道这本书肯定能够从深度学习的基础知识和原理一直讲到最新的方法，而且在技术的应用方面也有许多具体介绍。这本书面向的对象也不
这行代码定义了一个变量 num_intervals，它代表将 s 和 z 取值范围分成的子区间个数。这个变量在后面的代码中也会被用到。
尽管在过去几年已经有许多系统和分类算法被提出，但是手写识别任然是模式识别中的一项挑战。
空间和时间相关问题的物理定律通常用偏微分方程（PDE）来描述。对于绝大多数的几何结构和所面对的问题来说，可能无法求出这些偏微分方程的解析解。不过，在通常的情况下，可以根据不同的离散化 类型来构造出近似的方程，得出与这些偏微分方程近似的数值模型方程，并可以用数值方法求解。如此，这些数值模型方程的解就是相应的偏微分方程真实解的近似解。有限元法（FEM）就是用来计算出这些近似解的。
点的函数值,导数值,二阶导数值得到的抛物线,我们求这条抛物线的梯度为 0(即最小值)的点
本文介绍了GBDT和XGBoost两种机器学习算法，包括它们的原理、优缺点以及应用场景。相比传统的机器学习方法，这两种算法在性能和扩展性上具有显著的优势。同时，文章还对一些常见的机器学习算法进行了简要的概述，为相关领域的读者提供了很好的参考和借鉴。
海森矩阵（Hessian Matrix），又译作黑塞矩阵、海瑟矩阵、海塞矩阵等，是一个多元函数的二阶偏导数构成的方阵，描述了函数的局部曲率。海森矩阵最早于19世纪由德国数学家Ludwig Otto Hesse提出，并以其名字命名。海森矩阵常用于牛顿法解决优化问题。
论文地址：https://dl.acm.org/doi/abs/10.1145/2736277.2741093
偏导数刻画了函数沿坐标轴方向的变化率，但有些时候还不能满足实际需求。为了研究函数沿着任意方向的变化率，就需要用到方向导数。
- 由于本文代码基于OpenCV基础库，所以题目中添加了“OpenCV实现”字样。
2004 年 SIGGRAPH 上，Microsoft Research UK 有篇经典的图像融合文章《Poisson Image Editing》。先看看其惊人的融合结果（非论文配图，本人实验结果）：
最优化问题指的是在给定条件下，找到一个目标函数的最优解，即找到能够使目标函数取得最大值或最小值的变量取值。常用的优化方法包括线性规划、整数规划、动态规划、遗传算法、模拟退火等。最终，通过对最优解的检验和实施，可以实现资源的最优分配或其他最优解决方案。
GBDT是常用的机器学习算法之一，因其出色的特征自动组合能力和高效的运算大受欢迎。
AI 科技评论按，本文作者成指导，字节跳动算法工程师，本文首发于知乎（https://zhuanlan.zhihu.com/p/68349210），AI 科技评论获其授权转载，正文内容如下：
在向量分析中，雅可比（Jacobian）矩阵是一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵，其行列式成为雅可比行列式。
这篇笔记适合机器学习初学者，我是加入了一个DC算法竞赛的一个小组，故开始入门机器学习，希望能够以此正式进入机器学习领域。 在网上我也找了很多入门机器学习的教程，但都不让人满意，是因为没有一个以竞赛的形式来进行教授机器学习的课程，但我在DC学院上看到了这门课程，而课程的内容设计也是涵盖了大部分机器学习的内容，虽然不是很详细，但能够系统的学习，窥探机器学习的“真身”。 学完这个我想市面上的AI算法竞赛都知道该怎么入手了，也就进入了门槛，但要想取得不错的成绩，那还需努力，这篇仅是作为入门课已是足够。虽然带有点高数的内容，但不要害怕，都是基础内容，不要对数学产生恐慌，因为正是数学造就了今天的繁荣昌盛。
本文结构： 凸优化有什么用？ 什么是凸优化？ ---- 凸优化有什么用？ 鉴于本文中公式比较多，先把凸优化的意义写出来吧，就会对它更有兴趣。 我们知道在机器学习中，要做的核心工作之一就是根据实际问题定义一个目标函数，然后找到它的最优解。 不过求解这种优化的问题其实是很难的，但是有一类问题叫做凸优化问题，我们就可以比较有效的找到全局最优解。 例如，SVM 本身就是把一个分类问题抽象为凸优化问题，利用凸优化的各种工具（如Lagrange对偶）进行求解和解释。深度学习中关键的算法反向传播（Back Propaga
机器学习就是需要找到模型的鞍点，也就是最优点。因为模型很多时候并不是完全的凸函数，所以如果没有好的优化方法可能会跑不到极值点，或者是局部极值，甚至是偏离。所以选择一个良好的优化方法是至关重要的。首先是比较常规的优化方法：梯度下降。以下介绍的这些算法都不是用于当个算法，可以试用于能可微的所有算法。
本文是机器学习和深度学习习题集的答案-1，免费提供给大家，也是《机器学习-原理、算法与应用》一书的配套产品。此习题集可用于高校的机器学习与深度学习教学，以及在职人员面试准备时使用。
这一章主要讲的是：机器学习的一些问题，有一部分可以通过数学推导的方式直接得到用公式表达的解析解，但对绝大多数的问题来说，解析解是不存在的，需要使用迭代更新的方法求数值解。然而实数的精度是无限的，而计算机能够表达的精度是有限的，这就涉及到许多数值计算方法的问题。因此机器学习中需要大量的数值运算，通常指的是迭代更新求解数学问题。常见的操作包括优化算法和线性方程组的求解。
SAS学习笔记（3）：SAS一般高级语言 本篇SAS读书笔记主要介绍SAS一般高级语言，主要内容包括赋值语句、输出语句、分支机构、循环结构、数组以及函数等六个部分。 1 赋值语句 在SAS中用赋值语
激活函数是深度学习体系结构的核心组成部分。特定的非线性应用于神经网络的每一层，影响训练的动态和测试时间的准确性，是一个关键的工具，当设计体系结构的输出必须在一定范围内。当限制一个层的输出为非负时，一个普遍的做法是应用ReLU激活:
最优化问题在机器学习中有非常重要的地位，很多机器学习算法最后都归结为求解最优化问题。在各种最优化算法中，梯度下降法是最简单、最常见的一种，在深度学习的训练中被广为使用。在本文中，SIGAI将为大家系统的讲述梯度下降法的原理和实现细节问题。
本文在写完GBDT的三篇文章后本来就想写的，但一直没有时间，终于刚好碰上需要，有空来写这篇关于xgboost原理以及一些实践的东西（这里实践不是指给出代码然后跑结果，而是我们来手动算一算整个xgboost流程）
有时我们需要计算输入和输出都为向量和函数的所有偏导数。包含所有这样的偏导数的矩阵被称为Jacobian矩阵。具体来说，如果我们有一个函数 , 的Jacobian矩阵 定义为 。有时，我们也对导数的导数感兴趣，即二阶导数(second derivative)。例如，有一个函数 ， 的一阶导数(关于 )关于 的导数记为 为 。二阶导数告诉我们，一阶导数(关于 )关于 的导数记为 。在一维情况下，我们可以将 为 。二阶导数告诉我们，一阶导数如何随着输入的变化而改变。它表示只基于梯度信息的梯度下降步骤是否会产生如我们预期那样大的改善，因此它是重要的，我们可以认为，二阶导数是对曲率的衡量。假设我们有一个二次函数(虽然实践中许多函数都是二次的，但至少在局部可以很好地用二次近似)，如果这样的函数具有零二阶导数，那就没有曲率，也就是一条完全平坦的线，仅用梯度就可以预测它的值。我们使用沿负梯度方向下降代销为 的下降步，当该梯度是1时，代价函数将下降 。如果二阶导数是正的，函数曲线是向上凹陷的(向下凸出的)，因此代价函数将下降得比 少。
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