dijkstra算法也被称为狄克斯特拉算法，是由一个名为狄克斯特拉的荷兰科学家提出的，这种算法是计算从一个顶点到其他各个顶点的最短路径，虽然看上去很抽象，但是在实际生活中应用非常广泛，比如在网络中寻找路由器的最短路径就是通过该种算法实现的...dijkstra算法从起始点开始，并以起始点为中心逐步向外扩展，直至扩展到终点为止，可以直接在有权图中计算出最短路径。...这种算法所采用的是一种贪心模式，解决从一个节点到另一个节点的最短路径问题，在每一次转换时，所选择的下一个节点都是距离最近的节点，所以每一次转换的路径都是最短的，为了保证路径为最短的，在每一次转换后，都要重新检测各个节点之间的距离...在dijkstra算法的应用过程中，某些有权图的边可能为负，也就是说，即使有权图中并不包含可以从节点到达的负权回路，dijkstra算法依然是可以继续应用的，但是假如存在一个可以直接从节点到达的负回路，...那么算法将无法进行操作，最短路径的权也无法成立，使得最短路径无法找到。
其目的是找到从源节点到图中所有其他节点的最短路径，通过逐步确定最短路径长度的节点集合，不断更新源节点到其他节点的最短距离估计，最终实现找到最短路径的目标。...1.3.2核心步骤： 重复以下操作，直到 S 包含所有节点： 从不在 S 中的节点中选取 dist 值最小的节点 u（即当前未确定最短路径节点中距离源点最近的节点），将 u 加入 S。...这里为了我们不仅可以知道源点到某点的最短距离以及路径；故我们每次都把前驱节点推进去： 点 源点到此点的距离 此条路上某点的前驱节点 注：队列中的元素不完全是某点最短路径长度，是所有能到达此点的路径（...，就是如果选择的中间点已经找到了最短路径，我们就要跳过它然后重新从优先队列中选择。...pair的元素代表它的下一个点，以及到达的边权 //这里的优队就是为了把遍历朴素法的dist数组的复杂直接转成靠stl容器完成选择出这个已经找到最短路径的中间点（然后开始搜索继续放入队列) //注：队列中的元素不完全是某点最短路径长度
这个是很好理解的，因为我们第一轮 BFS 访问的节点距离起点距离为 1，第二轮距离为 2，以此类推，首次访问某节点，就一定通过了最短的路径。...下一个被浸泡的点，一定是集合 \mathbf{T} 中 dis 最小，也就是离起点最近的点。...\mathbf{T} 重复第二步，直到所有点都加入集合 \mathbf{S} 这就像是做了一个加速：我们的水本来要经过许多步才能泡到下一个节点，但我们跳过中间步骤，直接泡到下一个节点。...当前的 \operatorname{D}(u) 是所有从集合 \mathbf{S} 中点出发，经过一条边到达 u 点的路径的最小距离。 从起点到达 u 点的最短路径的一部分一定也是最短路径。...比如途中经过某点 x，则当前路径一定也是起点到达 x 的最短路径。 否则，走起点到达 x 的最短路径，再走剩下的路径，即可得到起点到达 u 点的一条更短路，矛盾。
同时，由于它在层数上采用BFS思想来逐步扩大DFS的搜索深度，因此能够解决DFS可能陷入递归无法返回的问题，并避免BFS可能导致的队列空间爆炸问题。...这个算法从根节点（或任意节点）开始，探索最近邻的节点，然后再进一步探索下一个层次的节点，依此类推。...BFS使用队列（queue）数据结构来保存待探索的节点，这使得它能够按照节点被发现的顺序（即层次遍历顺序）来访问它们。BFS通常用于查找最短路径，例如在无权图中找到从源节点到目标节点的最短路径。...使用迭代加深搜索可以帮助找到最短或最经济的物流路径。通过将商品、供应商、客户和物流中心视为图中的节点，并利用迭代加深搜索来遍历这些节点及其关系，可以高效地找到最优路径。...否则，遍历当前节点的所有邻居节点，并对每个邻居节点递归调用 dfs 方法。如果在邻居节点中找到路径，将该路径与当前节点合并（添加到路径的开头），并返回合并后的路径。
只要能以“图”模型表示的问题，都能用这个算法找到“图”中两个节点间的最短距离。狄克斯特拉算法的稳定性至今仍无法被取代。...本文讨论的是后者。 定义 如果觉着序言中加红标粗的这句释义难理解？让咱一一拆解，您就明白了。倘若知晓概念，可选跳过此节。 何为图 图由【节点】和【边】组成，用来模拟不同东西的连接关系。...何为单源最短路径 最短路径是计算给定的两个节点之间最短（最小权重）的路径，如果起点确定，则叫单源最短路径。 最短路径有很多现实应用：很多地图均提供了导航功能，它们就使用了最短路径算法或其变种。...如果通过计算机，正确答案是怎么算出来的呢？正是咱们的主角——狄克斯特拉算法。 四步走 狄克斯特拉算法包括 4 个步骤： 找出“最便宜”的节点，即可在最短时间内到达的节点。...有兴趣也可看北大屈婉玲教授的视频——《单源最短路径问题及算法》，讲的非常清晰。 迷思 美丽心灵 狄克斯特拉算法实际上是一个贪婪算法。因为该算法总是试图优先访问每一步循环中距离起始点最近的下一个结点。
本章将介绍如何利用前文介绍的算法求解多目标最短路径问题以及如何处理大规模网络。...然而，在实际中，下层网络中可能包含多个上层节点。在这种情况下，我们需要在这些上层节点中做出选择。一个直观的想法是选择最近的上层节点。换句话说，我们选择距离起点最近的上层节点，距离终点最近的上层节点。...若采用Nearest HA组合规则，则分别找出距离节点1-1和节点2-1最近的上层节点，假设分别为I, III，则节点1-1到节点2-1的近似最短路径为L~1-1,I~+L~I,III~+L~III,2...当我们在求解从节点1到节点4的最短路径时无法直接采用前边介绍的任何一种算法。...（3）Time windows 网络中的每个节点都与一个时间窗口[]相关联，并且只能在该时间窗口内到达该节点和离开该节点。有时候，问题也允许到达节点的时刻早于，并等待至时刻。
-1 或在范围 [1, n2] 内 编号为 1 和 n2 的方格上没有蛇或梯子 题目分析 这道题要求从起点（编号为 1 的格子）到终点（编号为 n^2 的格子）的最短路径。...路径搜索有两种方法：深度优先与广度优先。由于这道题要找到的是到达终点时的最短路径，因此 用广度优先搜索更方便些。...【广度优先搜索就是每次把离当前节点最近的节点作为待搜索的节点】 转移方向 这道题和传统的矩阵路径搜索不一样的是，它的下一个搜索方格不是相邻方格，而是下6个编号。...剩下的就是根据 广度优先搜索 借助队列对起点到终点的路径进行搜索。 如果能够到达终点，到达的时候一定是最短路径，直接返回操作数； 如果不能到达终点，即返回 -1。...每一次循环之前先获取队列中有多少元素，这些元素就是满足当前统计的距离/移动数的节点。我们只处理这么多个元素，剩下的元素都是新加入，都是下一个距离的元素。
2.Dijkstra算法原理 想象一下，你在一座迷宫里，你想要从起点A到达终点B并找到最短的路径，那么你可以使用Dijkstra算法。...这个算法会帮助你计算出从起点到所有其他点的最短距离，并且最终告诉你到达终点B的最短路径是什么。...更新C的距离（因为B到C的距离是1，所以A到C的新距离是A到B的距离加上B到C的距离，即2+1=3）： A = 0, B = 2, C = 3 现在，B和C都是最近未访问过的顶点，我们选择B作为下一个当前顶点...这个程序会计算从源点到图中所有其他节点的最短路径，并输出最短距离和路径。...不适合负权重边：Dijkstra算法不能用于包含负权边的图中，否则可能无法找到正确的最短路径。 内存消耗较大：需要存储所有顶点的距离信息和已访问状态，内存使用随着顶点数增加而增长。
广度优先搜索 根据上面的分析，我们对一个要求解的式子 C / D，就是找到图中 C 节点到 D节点的路径，并且计算这条路径上的权重积。 那么对路径的搜索我们有两种方式：深度优先搜索和广度优先搜索。...因为广度优先搜索会找到一个节点到另一个节点的最短路径，那么我们就可以更快的找到目标节点。...； 如果无法到达终点，则该式子不可解； 否则，结果为到达终点时的路径权重积； 代码 小细节 由于我们在进行广度优先搜索的过程中，不仅要找到下一个待搜索的节点【即当前节点的未处理邻节点】，还要得到到达这个待搜索节点时的权重积...double> ans(m, -1.0); // 答案列表，初始都为-1表示未定义 // 对于每个query，寻找从起点qx到终点qy的最短路径，并计算权重积 for...，跳过处理 q.emplace(qx, 1.0); // 初始将起点节点入队 unordered_set visited{qx};
算法解决的是有带权连通图（带权有向图也可以）中单个源点到其他顶点的最短路径问题，所以也叫作单源最短路径算法。其主要特点是每次迭代时选择的下一个顶点是标记点之外距离源点最近的顶点。...已经被访问指的是节点已经被纳入最短路径中。 （2）从Y中找出距离起点最近的节点，放入U中，并更新与这个节点有边直接相连的相邻节点到起始节点的最短距离。...Dijkstra 算法的基本思想和求解步骤决定了Dijkstra算法只能解决最基本的在起点和终点之间求最短路径的问题，无法解决添加了其他限制条件的，如要求经过指定中间节点集的最短路径问题，Dijkstra...distance[N]数组不仅需要保存其它节点到起点2的距离，也要保存起点2到达该节点的最短路径的最后一个中间节点，这里称为当前节点的前节点。如果没有前一个节点则设为-1。...（4）起点到其它所有节点的最短路径 采用map容器存储。
很多事都能抽象，算清楚每个节点的联系，从上一个节点到下一个节点的开销，最终抵达结果节点，计算整个成本。这个过程无疑是在对信息作最有效的规整、最有效率的利用。...回顾 首先，我们来回顾一下这个经典的算法。 其实很简单：Dijkstra 核心思想是不断地寻找最“近”的未访问节点，并更新其他节点到起点的最短距离。...将以上这句话可以拆解为 4 个步骤： 初始化：将所有节点的最短路径估计设为无限大，只有起点的距离设为0。 选择最近的节点：从未访问的节点中找到距离起点最近的节点。...处理节点A： 从队列中移除A（因为它是距离最短的节点），并考虑它的所有邻居（B和C）。 更新到达B和C的距离。A到B的带宽为10，A到C的带宽为15。...因此，A到B的距离更新为10，A到C的距离更新为15。 下一个距离最短的节点是B（距离为10），从队列中移除B，并考虑它的邻居D。 更新到达D的距离。
这一过程会持续进行，直到找到目标节点或确定路径不存在。 A*算法的特点 最优性：当使用可接受的启发式函数时，A*算法能够找到最短路径。...第5步：继续探索 重复步骤，选择开放列表中 f(n) 最低的节点，继续扩展并更新邻节点的 g(h,f) 值，直到到达目标节点 (9,9)。...主要应用场景 迷宫寻路：在游戏开发中，A*算法可以用来为游戏角色找到从起点到终点的最短路径，例如在迷宫类游戏中，角色需要绕过障碍物尽快到达目标。...机器人路径规划：在机器人领域，A*算法可用于规划机器人在复杂环境中的移动路径，帮助其避开障碍物并找到到达目标位置的最佳路线。...可视化：通过可视化工具，可以清晰地看到 A*算法的搜索过程，路径是如何被逐步探索和确定的，这对于调试和理解算法的工作原理非常有帮助。
image.png NShortPath的基本思想是Dijkstra算法的变种，拿1-最短路来说吧，先Dijkstra求一次最短路，然后沿着最短路的路径走下去，只不过在走到某个节点的时候，检查到该节点在路径上的下一个节点是否还有别的路到它...在遍历图的时候，与Dijkstra最短路径不同，N-最短路径从第二个节点开始，需要将当前节点可能到达的边根据累积第i短长度+该边的长度之和排序记录到PreNode队列数组中，排序由CQueue完成的。...image.png 假定看到这里，算法已经计算出了正确的PreNode队列，下面讨论如何从PreNode中找出N最短路径的确切途经节点集合。...对于本例，先将“0”弹出栈，在路径上0的下一个是1，得出该元素对应的是1号“A”结点的PreNode队列，该队列的当前指针已经无法下移，因此继续弹出栈中的“1” ；同理该元素对应3号“C”结点，因此将3...image.png 在该图中，观察黄颜色的路径长度表格，到达1号、2号、3号结点的路径虽然有多条，但长度只有一种长度，但到达4号“D”结点的路径长度有两种，即长度可能是3也可能是4，此时在“最短路”
图2.JPG NShortPath的基本思想是Dijkstra算法的变种，拿1-最短路来说吧，先Dijkstra求一次最短路，然后沿着最短路的路径走下去，只不过在走到某个节点的时候，检查到该节点在路径上的下一个节点是否还有别的路到它...在遍历图的时候，与Dijkstra最短路径不同，N-最短路径从第二个节点开始，需要将当前节点可能到达的边根据累积第i短长度+该边的长度之和排序记录到PreNode队列数组中，排序由CQueue完成的。...图3.JPG 假定看到这里，算法已经计算出了正确的PreNode队列，下面讨论如何从PreNode中找出N最短路径的确切途经节点集合。...对于本例，先将“0”弹出栈，在路径上0的下一个是1，得出该元素对应的是1号“A”结点的PreNode队列，该队列的当前指针已经无法下移，因此继续弹出栈中的“1” ；同理该元素对应3号“C”结点，因此将3...图6.JPG 在该图中，观察黄颜色的路径长度表格，到达1号、2号、3号结点的路径虽然有多条，但长度只有一种长度，但到达4号“D”结点的路径长度有两种，即长度可能是3也可能是4，此时在“最短路”处（index
再比如说连连看游戏，两个方块消除的条件不仅仅是图案相同，还得保证两个方块之间的最短连线不能多于两个拐点。你玩连连看，点击两个坐标，游戏是如何判断它俩的最短连线有几个拐点的？...首先，你看 BFS 的逻辑，depth每增加一次，队列中的所有节点都向前迈一步，这保证了第一次到达终点的时候，走的步数是最少的。 DFS 不能找最短路径吗？其实也是可以的，但是时间复杂度相对高很多。...你想啊，DFS 实际上是靠递归的堆栈记录走过的路径，你要找到最短路径，肯定得把二叉树中所有树杈都探索完才能对比出最短的路径有多长对不对？...由此观之，BFS 还是有代价的，一般来说在找最短路径的时候使用 BFS，其他时候还是 DFS 使用得多一些（主要是递归代码好写）。...2、没有终止条件，按照题目要求，我们找到target就应该结束并返回拨动的次数。 3、没有对deadends的处理，按道理这些「死亡密码」是不能出现的，也就是说你遇到这些密码的时候需要跳过。
定义 所谓最短路径问题是指：如果从图中某一顶点（源点）到达另一顶点（终点）的路径可能不止一条，如何找到一条路径使得沿此路径上各边的权值总和（称为路径长度）达到最小。...图的最短路径：如果从有向图中某一顶点(称为源点)到达另一顶点(称为终点)的路径可能不止一条，如何找到一条路径使得沿此路径上各边上的权值总和达到最小。...比如1号节点到2号节点的路径的权值为2，则arcs[1][2] = 2，2号节点无法直接到达4号节点，则arcs[2][4] = ∞(Integer.MAX_VALUE)，则可构造如下矩阵： ?...于是，延伸到一般问题： 1、当不经过任意第三节点时，其最短路径为初始路径，即上图中的邻接矩阵所示。 2、当只允许经过1号节点时，求两点之间的最短路径该如何求呢？...更一般的，继续并入下一个中转节点一直到vexCount个时，arcs[i][j]的结果保存的就是整个图中两点之间的最短路径了。
航线网络采用典型的辐射式结构（hub-and-spoke structure），这样的结构在有限运力的前提下，增大了航线的网络的始发-到达对（OD Pair），然而却也带来了系统级联延迟的可能。...这些算法支持我们手机上的地图应用程序，并计算位置之间最短/最便宜/最快的运输路线。例如，下图使用了两种不同的方法来计算最短路线。 ?...路径搜索（Pathfinding）算法建立在图搜索算法的基础上，并探索节点之间的路径。这些路径从一个节点开始，遍历关系，直到到达目的地。...Dijkstra 的算法首先选择与起点相连的最小权重的节点，也就是 “最临近的” 节点，然后比较 起点到第二临近的节点的权重 与 最临近节点的下一个最临近节点的累计权重和 从而决定下一步该如何行走。...Prim 算法与Dijkstra 的最短路径类似，所不同的是， Prim 算法每次寻找最小权重访问到下一个节点，而不是累计权重和。并且，Prim 算法允许边的权重为负。 ?
LCA（最近公共祖先） 什么是最近公共祖先问题？ 字面而言，指在树上查询两个（也可以是两个以上）节点的祖先，且是离两个节点最近的祖先。如下图所示： 节点 12和节点11的公共祖先有节点4和节点8。...两点的最近公共祖先必定处在树上两点间的最短路上。如下图，节点9和7之间的最短路径一定经过其最近公共祖先。这个很好理解，自行参悟。 d(u,v)=h(u)+h(v)-2h(LCA(u,v))。...LCA 朴素算法 向上标记法 向上标记法的思想很简单，如求节点9和7的最近公共祖先。 先以节点 9（也可以选择节点7）为起点，向上沿着根节点方向查询，并一路标记访问过的节点，如下图红色节点。...也就是向上跳2次，那么，这个2次是如何得知的？ 答案是根据节点到根节点的深度。...知道了节点在树上的深度后，如何计算出处于不同深度的节点应该跳多次（也就是 j 指数的取值范围）？ 前文举例说明过，如果深度为 3 ，取 3的对数，因 21<3<22。
LCA（最近公共祖先） 倍增算法的基本思想在前面的博文中有较详细的介绍，本文不再复述。此文仅讲解如何使用倍增算法求解多叉树中节点之间的最近公共祖先问题。 什么是最近公共祖先问题？...两点集并的最近公共祖先为两点集分别的最近公共祖先的最近公共祖先，即LCA(A U B )=LCA( LCA(A),LCA(B) )。如下图，点集A={6,7}，则LCA(A)=3。...则c=A U B的LCA(c)=LCA(3,8)=1。利用这个性质，可以求解任意多节点之间的最近公共祖先。 两点的最近公共祖先必定处在树上两点间的最短路上。...如下图，节点9和7之间的最短路径一定经过其最近公共祖先。这个很好理解，自行参悟。 d(u,v)=h(u)+h(v)-2h(LCA(u,v))。其中 d 是树上两点间的距离，h 代表某点到树根的距离。...也就是向上跳2次，那么，这个2次是如何得知的？ 答案是根据节点到根节点的深度。
如果节点已在 openList 中，并且经过当前节点到达该节点的 G 值更小，则更新该节点的 G 值和父节点指针。...时，都需要判断该节点是否为终点，如果是，则说明已经找到了最短路径。...构建最短路径: 从终点开始按照父节点指针逆向回溯，直至回溯到起点，即可得到最短路径。...= 50 的网格点，这时要如何处理呢?...该算法通过启发式函数来评估每个节点，并选择具有最低 F 值的节点作为下一个要探索的节点。最终，该算法会找到一条最优的路径。
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