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《天才引导的历程：数学中的伟大定理》从月牙定理看古希腊数学的奇妙突破

他在研究过程中，发现了月牙面积定理。 当时，数学家们已经掌握了一些基本图形的面积计算方法，如长方形、三角形和多边形等。但对于曲边图形，尤其是圆形相关的图形，求面积问题一直是一个巨大的挑战。...他的证明基于以下三个初步公理： 1.毕达哥拉斯定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。这一定理是古希腊数学的重要基石，为希波克拉底的证明提供了关键的理论支持 。...首先，根据毕达哥拉斯定理，在直角三角形 ABC 中，AB²=AC²+BC² 。...从实际应用到理论拓展，从古代数学到现代科学，希波克拉底月牙面积定理的影响无处不在。它让我们看到了数学的魅力和力量，也让我们感受到了人类智慧的无限可能。...作者精心挑选了一些杰出的数学家及其所创造的伟大定理，如欧几里得、阿基米德、牛顿和欧拉。而这一个个伟大的定理，不仅串起了历史的年轮，更是串起了数学这门学科所涵盖的各个深邃而不乏实用性的领域。

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【十天自制软渲染器】DAY 03：画一个三角形（向量叉乘算法 & 重心坐标算法）

右手定则 综上所述，我们可以对向量叉乘做一个严谨的定义： 其中 表示 和 在它们所定义的平面上的夹角（ ）。...如果上面三个计算中有值为负的情况，说明 在三角形外；如果有值为 0 的情况，说明 在三角形的边或顶点上。 2.2 代码实现 理论基础复习完了，我们就可以写代码了。...后台回复「图形学」领取经典教材 3.利用三角形重心坐标画三角形 本小节介绍一个更通用的定理——重心坐标（Barycentric Coordinate）。...这时候三角形 就退化为一条线段。 对于我们现在应用场景来说，只要检测到 为 0，就意味着这个三角形退化为一条线段了，我们直接舍弃掉它就好了，对最后的结果也没有影响。...，会得到一个值 这个值小于 0，说明光在三角形的另一侧，从物理上看是照射不到三角形表面的，所以直接舍弃此三角形 这个值大于 0，值越大，说明单位面积上接收到的光越多，三角形越亮 把上面的思路翻译成代码就是这样的

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    《前端图形学实战》几何学在前端边界计算中的应用和原理分析

    在《100+前端几何学应用案例》 专栏中, 我会和大家由浅入深地分享一些应用几何学知识实现的经典Web案例, 比如: 游戏领域的边界问题(碰撞, 射击策略等) 几何画板的实现方案 常见的几种可视化图表实现方案...经过上面的实现, 我们终于用 HTML 画出了三角形, 接下来就是我们最后的冲刺了—— 判断空间内的点是否在三角形内部。...image.png 由上图可知, 我们是不是可以通过任意一点与三角形(S为该三角形的面积)三个顶点组成的三角形的面积(S1, S2, S3)来判断这个点是否在其内部呢?...如果点在三角形内部, 则会满足如下条件: 如果点在三角形S外部, 则满足如下条件: 所以说现在的问题就变成了求三角形面积的问题了。...总结 几何学博大精深, 我们市面上看到的很多设计软件, 都应用了大量的几何学原理和算法, 本篇意在为大家展示其在 web 中的一个应用, 我们可以把上述的算法应用到实际工作中, 实现非常有意思的web

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    凸包问题之蛮力解法

    凸包问题 首先解释什么叫做凸包问题： 1 　点集Q的凸包（convex hull）是指一个最小凸多边形，满足Q中的点或者在多边形边上或者在其内。...fr=aladdin 首先解决凸包问题是用蛮力解决的，从图上可以很明显的看出，每个凸包点构成的三角形任意一点都不在任意三点构成的三角形内部（如果有的话，那么这个点就不是凸包点） 按照这个原理，我们就很容易的想到用四层循环解决问题...前三层用来选择三个点，最后一层用来筛选出不是凸包点（一个点在三角形内部，用面积或是其他数学知识可解决） 需要注意的是前三层选择点的时候，需要避开相同点 和 已经是凸包内部的点 非常简单、直接的算法...*/ bool PointIsInner(Point p1,Point p2,Point p3,Point unknownP) { //大三角形面积 double a=TrangleArea(p1...,p2,p3); //三个小三角形面积 double a1=TrangleArea(p1,p2,unknownP); double a2=TrangleArea(p1,p3,unknownP);

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    沉寂四十年，海尔布隆三角问题找到了更小的上界

    取四个点可以定义四个不同的三角形。十个点可以定义 120 个三角形。三角形的数量会随着点的数量增长而快速增，100 个点可以定义 161,700 个不同的三角形。...士兵们的杂乱无序让他思考：如果正方形内有士兵，那么其中任意三个人定义的三角形中，最小的那个三角形，在士兵们位置不断变化时最大值是多少？...他预计新论文将促进三角形问题进展的复兴。 被驳回的假设 通过将三个点紧密放在一起，可以很容易使最小的三角形的面积任意小。在最极端的情况下，三个点相互形成一个面积为零的三角形。...他猜测，无论这些点如何排列在正方形中，都不可能有一个面积大于 1/n^2 左右的最小三角形，这个数字会随着 n 的增长而极速变小。但是他错了。...2020 年夏天，他让耶鲁大学的暑期研究学生去研究这个问题的高维版本，例如缩小分散在三维立方体中分散的点中出现的最大的最小体积形状。

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    n维空间的多面体的有向测度和重心

    三角形的面积和重心 这个在之前的学习中早就知道了，三角形的有向面积使用叉积可以方便的计算出来. ? 则三角形的有向面积是 ? 其中， 是 A 在平面的坐标, 下同....，使得在同一部分的任意两点，可以用一条不与J相交的弧相连; 在不同部分的两点若要相连，则连结的弧必须与J相交 Jordan 曲线定理是属于典型的数学中那种看起来容易，证起来难的定理....那么简单闭曲线的正向指的是，你沿着此方向在闭曲线上行走，内部在你左手边. 但是这种定义显然对计算机是不友好的. 而上述计算有向面积的定义对于计算机是极为有好的....即将剖分出来的每个三角形都抽象成其对应的重心，例如上图中三角形 AOB 就抽象成了 G2，BOC 就抽象成了 G4 等等....于是问题就规约为了计算质心系 {G1, G2, G3, G4, G5} 的质心. 但是，这里注意，质心系中的每个质心的质量是不一样的. 因为三角形的面积不一样.

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    破洞牛仔裤中的几何学：简单理解万有覆叠问题

    你在你的针线包中看到了另一块补丁——一个边长为 1 英寸的等边三角形。你观察到这个三角形中任何两个点之间的距离都不超过 1 英寸，所以你朋友的牛仔裤上的洞可能是这个形状的。...部分原因是我们难以完全确定直径为 1 的所有形状。正如我们之前所见到的那样，对于我们难以完全想象的事物，要证明相关的定理是极其困难的。...因为每个六边形的每对对边之间的距离都是 1 个单位，所以位于两个相对的红色三角形中的点之间的距离必然都超过 1。...正如之前的论述：因为直径为 1 的区域不可能同时出现在两个相对的三角形区域中，所以万有覆叠区域无需同时具备它们。那么我们就可以移除其中一些。乐观估计，我们可以移除其中三个：每一对去掉一个。...Gibbs 及其合作者在 Hansen 的基础上又减小了大约 0.00002 平方单位，相比而言已经是相当大一块了。 面积还能继续减小多少？

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    数学原来这么有趣，66组超炫动图唤醒你的思维！

    导读：说起数学，是你的魔鬼，还是天使？ 无论怎样，看完这一组动图，你不仅能够感受到数学美丽的一面，同时也会对我们常见的公式定理有更深刻、直观的理解！ 01 三角形内角和为180º ?...09 圆的面积 ? ? 10 根号下a在数轴上的位置 ? 11 勾股定理及其证明 ? ? ? 12 勾股“树” ? 13 平稳滚动的正多边形 ? 14 勒洛三角形 ? 15 杨辉三角 ?...20 sin和cos的追逐游戏 ? ▲图片作者：LucasVB（1ucasvb） 21 将sin和cos运用到三角形上 ? 22 余弦是正弦的衍生物 ? 23 正弦余弦的空间展示 ?...▲图片来源于徐小湛的博客： http://xuxzmail.blog.163.com/blog/static/251319162009614101444586/ 46 从左到右，依次删除这个数字中的位数...▲图片来源于徐小湛的博客： http://xuxzmail.blog.163.com/blog/static/251319162009614101444586/ 64 等速螺线（阿基米德螺线）及其应用

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    风靡全球的15则数学动图，让你秒懂数学概念

    为了让孩子喜欢上数学，今天与各位一同分享几则神奇的数学动图，非常形象生动，很多难以理解的数学定理，简直看完一目了然。希望能帮孩子们找到学习的动力，并让他们爱上数学！ 1、被简单证明的勾股定理 ?...给三角形加上一点厚度。从面积问题，跳转到了具象的体积问题。 2、勾股定理的面积证明法 ? It's a long story……慢慢看。 3、周长和直径的π点小事 ? 4、圆的面积=2πr? ?...首先，把圆解剖为一个三角形。底边是周长。然后根据三角形的面积推出圆的面积，so easy~ 5、正切值曲线 ? 这是一个正切线被θ牢牢控制，一辈子都逃不出其手掌心的故事。...这是一种分形，在等边三角形里挖掉等边三角形再挖掉等边三角形再挖掉等边三角形……最后它得以永生。 11、得到永生的证明 ? 12、最后，放一张数学家很会玩之胖子超人的诞生 ? 13、三角函数 ?...每一层中的数字，等于它上边两个数的和。那么这些数字有什么用呢？其实这里边的数字是括号平方（或立方、四次方等）的展开系数： ? 等号右边的 2 就对应于杨辉三角第三层中的 2。

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    【笔记】《计算机图形学》(1&2)——导言与数学工具

    a坐标系中的向量实施b坐标系中的c转换时，我们应该先将向量左乘变换矩阵A变到b坐标系中，再应用c转换，然后再使用逆矩阵A-1将转换后的向量变回a坐标系中的坐标表示 如果两个坐标系的原点位置不同，转换到相同坐标系中后直接进行原点偏移即可...重心，对于均质物体等同于形心，三角形的重心位于三角形三边中线的交点上 而重心坐标系是在三角形中描述一个点的非常实用的坐标系，在图形学中由于三角形是大多数图形程序中组成模型的最基本元素，因此用三角形定位各个三角形内部点的坐标非常重要...同理可以得到其他的分量值 第三种是面积法，这里我们要知道重心坐标的分量比恰好就是三角形被划分出的子三角形的面积比，具体的证明在很多地方都可以找到。由于面积比定理，我们可以通过计算面积来得到坐标 ?...三维空间中的三角形依然可以直接利用上述的方法来得到坐标 而面积法对三维空间中的三角形很有用。首先我们可以通过三角形两边向量的叉乘模长乘1/2得到三角形的面积，将叉乘展开就可以简单理解。...然后我们可以用下面的公式计算出重心坐标，其中三个额外的向量是目标点到子三角形其中一个顶点的向量，用来计算子三角形的坐标 ?

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    知乎热议：如何看待人教版教材用爱因斯坦相对论证明勾股定理？

    勾股定理（Pythagoras theorem）是欧氏几何的基础定理，是几何学中的明珠，被誉为「几何学的基石」，在高等数学和其他科学领域也有着广泛的应用。...假设原三角形面积为E，根据相对论，有E=mc² 同理，内部分割出来的两个三角形的面积分别是 E(a)=ma²，E(b)=mb²， 因为内部两个三角形拼成原三角形，所以 E=E(a)+E(b) 也就是，...如图三个直角三角形是互为相似三角形，用E表示面积，m表示正比系数，根据量纲分析，它们各自的面积正比于各自斜边边长的平方，就得出 Ea = ma²，Ec= mc²，Eb= mb² 因为Ea+Eb=Ec，所以...证明勾股定理有很多种方法，我们举几个证明的例子 1 利用相似三角形性质证明 如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D 在ΔADC和ΔACB...把上方的两个正方形，通过等高同底的三角形，以其面积关系，转换成下方两个同等面积的长方形，其长方形的面积分别与其余两个正方形相等。 其他证明方法还包括加菲尔德证法等等。

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    《前端图形学实战》几何学在前端边界计算中的应用和原理分析

    在《100+前端几何学应用案例》 专栏中, 我会和大家由浅入深地分享一些应用几何学知识实现的经典Web案例, 比如: 游戏领域的边界问题(碰撞, 射击策略等) 几何画板的实现方案 常见的几种可视化图表实现方案...经过上面的实现, 我们终于用 HTML 画出了三角形, 接下来就是我们最后的冲刺了—— 判断空间内的点是否在三角形内部。...image.png 由上图可知, 我们是不是可以通过任意一点与三角形(S为该三角形的面积)三个顶点组成的三角形的面积(S1, S2, S3)来判断这个点是否在其内部呢?...如果点在三角形内部, 则会满足如下条件: 如果点在三角形S外部, 则满足如下条件: 所以说现在的问题就变成了求三角形面积的问题了。...总结 几何学博大精深, 我们市面上看到的很多设计软件, 都应用了大量的几何学原理和算法, 本篇意在为大家展示其在 web 中的一个应用, 我们可以把上述的算法应用到实际工作中, 实现非常有意思的web

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    勾股定理竟然有500种证明方法，你会几种？

    04 欧几里德证明 公元前4世纪，古希腊数学家欧几里德，在《几何原本》中明确证明了勾股定理。 说明：同底等高的长方形面积是三角形面积的2倍，如下同色块的面积是相等的。 ?...05 赵爽证明 三国时期吴国数学家赵爽，在《周髀算经》的注释中记载“勾股各自乘，并之为玄实，开方除之即弦”。并通过“勾股圆方图”证明了勾股定理。...说明：大正方形的面积等于4个直角三角形加上一个小正方形面积之和。 ?...说明：三个直角三角形相似，那么该三角形的面积与以斜边构成的正方形面积之比固定。 ?...07 加菲尔德证明 加菲尔德在1880年当选美国第20任总统，他在五年前证明了勾股定理，因此也称这个证明方法为“总统证法”。 说明：梯形面积等于3个直角三角形的面积之和。 ?

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    由判断三一点是否在三角形内部而引发的思考.....

    假如有四个点A（x0,y0）,B(x1,y1),C(x2,y2),D(x,y),要你来判断D点是否包含在三角形ABC里面，也许你会想到用 在判断是否构成三角形 之后在用公式计算面积 但给三根线算长度太复杂了...我们先判断一个点是否在一个三角形内部。一个三角形在一个坐标系（譬如由A、B、C三点组成）中，我们可以通过计算它的有向面积来判断A、B、C三点在坐标系中的顺逆。...规则即是：从第一点开始，用前一点横坐标减后一点横坐标与两坐标之和的乘积求梯形面积，直到完成多边性的封闭，得到三角形的有向面积。...对于凸多边形而言（以三角形ABC为例），假设存在一个点D，若这个点在三角形的内部，则以该点为起点，和原多边形的任意两个连续的且尊照多边形组成方向的点（如DAB、DBC、DCA）组成的三角形讲都是一个方向...若这个点在三角形的外部，则会出现DAB、DBC、DCA三个三角形方向不一致的情形，即其中有一个不同于另外两个（如一个顺，两个逆）。

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    光怪陆离的世界之Delaunay三角剖分和Voronoi图

    【定义】Delaunay边：假设 E中的一条边e（两个端点为a,b），如果存在一个圆经过a,b两点，使得圆的严格内部不含V中任何其他的点，那么称 e 是一条 Delaunay边....因为实际生产生活中是有如下需求的——在网络整体规划中，我们常遇到的是点状分布的基站，缺乏整体连续的面状性，这使得我们无法直观的估算单站覆盖的面积 如上图所示，红点是现有基站的位置....只需要计算泰森多边形面积的变异系数（CV）即可. 变异系数在统计学中的定义是标准差除以期望. 如果 CV 很大，则表明点集分布是一小撮一小撮这种，如果 CV 很小，表示点集的分布是均匀的....接着分析A点，因为A点在三角形PQR的外接圆内部，所以利用A点将三角形PQR分拆成三个子三角形。...再考虑Ｂ点，它只在三角形AQR的外接圆的内部（而不在APQ、APR的外接圆的内部），再将三角形AQR分拆成三个子三角形。

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    三角形的五心_三角形面积相等的定律

    大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。 概述 三角形的五心包括重心、垂心、外心、内心和旁心，是解决三角形问题的一种工具，也是一种研究对象。...前置知识：三角形等积变换、轴对称、相似、圆 内容 重心 重心的概念 三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心，三角形的重心在三角形的内部如图，G为△ABC的重心 重心的性质 基本性质 三角形重心与顶点的距离等于它与对应中点的距离的两倍...，即\displaystyle \frac{AG}{GD}=\frac{BG}{GE}=\frac{CG}{GF}=2 证明1 由共边定理得 由蝴蝶定理得 于是有 由共边定理得\frac{AG}{DG...}=\frac{\triangle ACG}{\triangle CDG}=2 同理可推得其他边的关系 证明2 连接DE，由中位线得平行，得八字模型，由相似和中位线\frac{1}{2}得2倍...{\circ} G为\triangle ABCD的重心，若AD ⊥ BE，则AG^2+BG^2=CG^2 证明 由垂直得勾股关系，又由直角三角形斜边中线定理得AB=CG，即可得证 推论3

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    三角形的重心_三角形重心的六条性质

    重心的概念 三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心，三角形的重心在三角形的内部如图，G为△ABC的重心 永远存在 证明：如图，已知CF、BE为中线，求证：AD为中线 过B作BH//...CF，则G为AH中点 又因为E为中点，所以EG为△ACH的中位线，则EG//CH 所以四边形CGBH为平行四边形，则由平行四边形对角线互相平分得BD=CD 重心的性质 基本性质 三角形重心与顶点的距离等于它与对应中点的距离的两倍...，即\displaystyle \frac{AG}{GD}=\frac{BG}{GE}=\frac{CG}{GF}=2 证明1 由共边定理得 由蝴蝶定理得 于是有 由共边定理得\displaystyle...\frac{AG}{DG}=\frac{\triangle ACG}{\triangle CDG}=2 同理可推得其他边的关系 证明2 连接DE，由中位线得平行，得八字模型，由相似和中位线\frac...\angle MBG = 90^{\circ} G为\triangle ABCD的重心，若AD ⊥ BE，则AG^2+BG^2=CG^2 证明 由垂直得勾股关系，又由直角三角形斜边中线定理得AB=

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    扒一扒那些叫欧拉的定理们（五）——平面几何欧拉定理的证明

    今天我们接着上一讲的内容，来看看平面几何欧拉定理的证明过程，以及其中的数学智慧。...平面几何欧拉定理的思路分析与证明 平面几何欧拉定理 如下图所示，三角形外心与内心的距离d可表示为：d ^ 2 = R(R - 2r)，其中R为外接圆半径，r为内切圆半径。...有了这些基本的辅助线以后，我们不妨来看下结论的形式，我们知道，除了勾股定理，射影定理，平面几何定理中是不会出现平方这样的形式的，除非是面积，或者由某对有公共边的相似三角形的比例关系转化而来，又或是黄金分割...得从B和L中的一点出，事实是随便哪个都行，这里我们连接LO并延长与外接圆O交于M，于是我们有三角形AID相似于三角形MLB，于是有： IA * BL = ID * ML，其中，ML = 2R 于是，再度比较此式子和结论的差异...文章内容涵盖互联网，计算机，统计，算法，NLP等前沿的数学及应用领域；也包括魔术思想，流程鉴赏等魔术内容；以及结合二者的数学魔术分享，还有一些思辨性的谈天说地的随笔。

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    用Nodejs爬取Matrix67的博客

    趣题：连续函数上的水平线段 为什么人们往往不愿承担风险？风险规避的科学解释 趣题：哪个像素点坏了？ 零点定理的奇妙应用：平分面积的直线 趣题：以无理点为圆心的圆周上最多有多少个有理点？...Scarky：发布你自己的OI/ACM题 祝大家七夕情人节快乐 勾股定理的两个物理证明 聆听排序算法的声音 留心观察身边的事物：生活中的FAIL Pick定理的几个出人意料的应用 趣题：用松了的圆规作给定一端点的指定长度线段...趣题：扫雷定理 互补棋盘上的数字和相等 再谈稠密性：令人吃惊的稠密集及其交集 随记：普遍性验证、数学思维、代数基本定理及其它 Cursor*10竟然出续集了！...Typography Art: Mathematical Induction 趣题：如何用集合来定义有序对 停机问题、Chaitin常数与万能证明方法 经典证明：环面上的七色定理 随机洗牌：哪一种算法是正确的...二分图最大匹配的König定理及其证明 KMP算法详解 最长公共上升子序列的另一个O(mn)的算法 IOCCC近几年的获奖作品 什么是离散化？

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    ChatGPT 总结的初中数学知识点汇总

    图形的坐标表示与性质 通过坐标表示图形：可以通过确定图形上各个点的坐标来表示不同图形，方便计算性质如周长、面积等。 第七章 三角形 三角形的分类与性质 等边三角形：三边都相等的三角形。...第十八章 勾股定理 勾股定理的概念与应用 勾股定理：直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。 应用：可以用来判断三角形是否为直角三角形，或求解三角形的边长。...勾股定理的证明与推广 证明：通过几何方法或代数方法证明勾股定理。 推广：勾股定理的一般形式，如直角边平方和等于其他两边平方和的差。...面积：圆的面积等于半径的平方乘以π，即πr²。 第二十五章 概率 概率的基本概念与计算 概率：事件发生的可能性，通常用分数、小数或百分数表示。 计算：概率 = 有利结果的数目 / 总结果的数目。...第二十八章 锐角三角函数 锐角三角函数的概念与计算 锐角三角函数：在锐角三角形中，比值关系，包括正弦、余弦、正切等。 计算：根据三角比定义，计算锐角的三角函数值。

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