神经网络优化中的挑战 训练深度模型时会涉及一些挑战 病态 在优化凸函数时，会遇到一些挑战，这其中最突出的是Hessian矩阵的H的病态。这是数值优化、凸优化、或其他形式的优化中普遍存在的问题。...牛顿法在解决带有病态条件的Hessian矩阵的凸优化问题时，是一个和优秀的工具。 局部极小值 凸优化问题的一个突出特点是可以简化为寻找一个局部极小点的问题。任何一个局部极小点都是全局极小点。...Hessian矩阵同时具有正负特征值。位于正特征值对应的特征向量方向的点比鞍点有更大的代价，反之，位于负特征值对应的特征向量方向有更小的代价。...此外，训练深度模型是一个足够困难的问题，以至于大多数算法都很大程度地受这些初始化选择的影响。初始点能够决定算法是否收敛，有些初始点十分不稳定，使得该算法会遭遇数值困难，并完全失败。...当学习收敛时，初始点可以决定收敛的多快，以及是否收敛到一个代价高或低的点。此外，差不多代价的点可以具有区别极大的泛化误差，初始点也可以影响泛化。 现代的初始化策略是简单的、启发式的。
当f(x + d)的一阶导数为零时，函数达到最小值。 ? 而在n维中，f’’(x)为hessian矩阵，1/f’’(x)为逆hessian矩阵。最后，f’(x)为梯度。...我们需要计算hessian矩阵的逆。对于大型矩阵，这是一项计算量很大的任务。因此，实际上，我们以完全等效的方式解决了这一问题。 ?...我添加了一个max_ iteration参数，以便该算法在不收敛时不会永远运行下去。 Let’stry it！...此算法称为牛顿法，所有下降算法都是该方法的修改，都以该算法为母体。它真正快速的原因是它使用了二阶信息(hessian矩阵)。 即使使用了hessian，即使使用hessian矩阵也要付出代价:效率。...由于这篇文章从开始到现在已经很长了，我不再赘述。 ? 希望借助我花了很长时间才制作的GIF，以及下面的代码，你能够了解这里发生的事情。
当函数的二次曲面有陡峭和扁平方向（如椭圆形等高线）时，梯度下降可能需要大量的迭代才能到达最优点。 学习率依赖性强： 梯度下降法对学习率（步长）敏感，学习率过大会导致发散，过小则收敛缓慢。...在高维问题中，Hessian 矩阵的计算和存储成本很高（尤其是当维度较高时，Hessian 是一个 的矩阵）。 若 Hessian 矩阵稀疏性较差，计算代价会进一步增加。...初始点敏感： 牛顿法是基于二阶泰勒展开，假设当前点附近的函数曲率能够很好地反映全局行为。 如果初始点距离最优解较远，可能会导致牛顿法不收敛甚至发散。...拟牛顿法如何克服牛顿法的缺陷 拟牛顿法（Quasi-Newton Method）通过近似 Hessian 矩阵及其逆矩阵，克服了牛顿法的上述缺陷。...蒙特卡洛法核心思想 蒙特卡洛方法是一种基于随机采样的数值计算方法，其理论基础是大数法则和概率统计理论： 大数法则： 大数法则表明，当随机变量的独立样本数足够大时，其样本均值会收敛于总体期望值。
，尤其是当实现程序存在很多难于发现的bug时。...再假设我们已经用代码实现了计算 J(θ)导数的函数 ，接着我们使用 θ ：=θ-a*g(θ)来实现梯度下降算法。那么我们如何检验 的实现是否正确呢？ 回忆倒数的数学定义： ?...假设我们有一个用于计算J(θ)导数 的函数 ；我们想要检验y[i] 是否输出正确的求导结果。我们定义 ? 其中 ? 是第i个基向量（维度和θ相同，在第i行为“1”， 其他行为“0”）。...还有更妙的算法：比如可以寻找一个Hessian矩阵的近似，得到最佳步长值，使用该步长值能够更快地收敛到局部最优（和牛顿法类似）。...之后，这些优化算法会自动调整学习速率/步长值 a的大小（并计算Hessian近似矩阵等等）来自动寻找 J(θ) 最小化时 θ 的值。诸如L-BFGS和共轭梯度算法通常比梯度下降法快很多。
是对于（负）对数似然的梯度的协方差的估计。这就是观测到的 Fisher 信息。当 N 趋近于正无穷时，它就趋向于一个 Fisher 信息矩阵，即相对熵（KL 散度）的 Hessian 矩阵。...事实上，当 x 接近一个局部最小值时，协方差就趋向于 Hessian 的缩放版本。...当损失处在一个非常「尖锐」（二阶导很大）的最小值，并且此处有许多绝对值大的、正的特征值时，我很可能会加入一些把损失从朴素梯度下降的吸引域中「推出来」的噪声。...通过使用这一条引理以及马尔可夫不等式，我们可以看到，当 Hessian 具有大曲率时，更大扰动的可能性越高。...存在能够使用子采样梯度信息和 Hessian 向量乘积去做到这一点的方法，我正在进行这个实验。我很希望听听其它的关于如何解决这个问题的想法。
来看一个简单的实例： y=x12−x22. 当x=(0,0)时，梯度为零向量，很明显此点并不是局部最小值点，因为当x=(0,ϵ)时函数值更小。...同样，当Hessian矩阵负定时，此点是一个局部最大值点；当Hessian矩阵同时具有正负特征值时，此点便是鞍点。...在文章的剩下部分，我们首先会介绍，收敛于鞍点的可能性是很大的，因为大多数自然目标函数都有指数级的鞍点。然后，我们会讨论如何对算法进行优化，让它能够尝试去避开鞍点。...多项式高度依赖于维度N和Hessian矩阵的最小特征值，因此不是很实用。对于严格鞍问题，找到最佳收敛率仍是一个悬而未决的问题。 最近 Lee et al....当存在退化鞍点，或者有伪局部最小值点时，我们又该如何使优化算法工作呢？我们希望有更多的研究者对这类问题感兴趣！
学习边界、过拟合和正则化 2 解决Logistic回归问题的优化方法（浅层模型的优化方法） 当 L 和 r 是关于 w 的任意凸函数时，可以运用在本节中讨论的方法来解决问题（11）： ?...那问题就很明朗了，在这个例子中，当 θ →∞时， ? 也就是说函数（式 12）无法取最小值。另一方面，通过增加（强制）正则化函数 r，可以保证问题（12）将具有最优解。...尤其当函数 F 是强凸函数时，该算法只保证当 k ≥ O(1/ε) 时可以得到预期精度的解（即满足 E[F(wk)]-F(w) ≤ ε的解），而当函数 F 仅仅是凸函数时，只有在 k ≥ O(1/ε^2...不幸的是，当 n 或 d 很大时，在机器学习应用程序中，海塞矩阵（Hessian matrix）的计算和存储变得非常昂贵。 另一类基于形如（21）模型的算法是拟牛顿方法： ?...计算这种乘积的复杂度只是比计算梯度多一个常数因子。所得到的类的方法通常被称为海塞-自由优化方法，因为当访问和使用 Hessian 信息时，没有显式地存储 Hessian 矩阵。
当优化函数是凸函数的情况下，GD已经有了非常好的理论解释；但当优化函数非凸时，已有的研究要少得多。...用于一般 Hessian 的薄饼形状的滞留区（stuck region） 在上述二次函数的例子中，我们可以总结得到，只有当扰动 x0不幸落到集合 ? 中时，我们才需要很长时间来避开鞍点。...我们称这个集合为滞留区（stuck region）；在这个案例中，这是一个碟状的平坦区域。一般来说，当 Hessian 不再是常量时，这个滞留区将会变成扭曲的薄饼形状，如下面左图中的绿色结构。...当 GD 在一系列鞍点附近前进时，它可能会与后面的鞍点越来越近，因此避开鞍点就需要越来越长的时间。实际上，避开第i个鞍点所需的时间会按 e^i 的速度增长。...这种新的快速收敛结果可以直接应用于矩阵感知/补全等非凸问题，并直接给出了很快的全局收敛速率。 当然，在一般的非凸优化上，还仍然有很多悬而未决的问题。
,\frac{\partial f}{\partial x_n} \right)^T \] 如果Hessian矩阵正定，函数有极小值；如果Hessian矩阵负定，函数有极大值；如果Hessian矩阵不定...因此当向量\(\Delta x\)的模大小一定时，取 \[\Delta x = -\alpha \nabla f(x)\] 即在梯度相反的方向函数值下降的最快。...比如前1万次迭代为0.001，接下来1万次迭代时设置为0.0001。 5 存在的问题 局部极小值 梯度下降可能在局部最小的点收敛。...鞍点 鞍点是指梯度为0，Hessian矩阵既不是正定也不是负定，即不定的点。如函数\(x^2-y^2\)在\((0,0)\)点梯度为0，但显然不是局部最小的点，也不是全局最小的点。...更好的代码我将在以后的文章中给出。
因此，本文从损失几何的角度研究了ViTs和MLP-Mixer，旨在提高模型在训练和推理时的泛化效率。可视化和Hessian揭示了收敛模型极其敏感的局部最小值。...3.1 ViTs和MLP-Mixers收敛到极sharp局部极小值 众所周知，当模型收敛到曲率小的平坦区域时模型会具有更好的泛化性能。...当使用SAM在ImageNet上从0开始训练时，ViT的准确性(在ImageNet、ImageNet-Real和ImageNet V2上)和健壮性(在ImageNet-R和ImageNet-R上)方面都优于类似和更大的...因此，当递归公式反向传播到浅层时，Hessian范数累积，这也解释了为什么表3中第一个块的 比最后一个块大得多。...事实上， 是由大于零的被激活神经元决定的，因为当输入为负时，GELU的一阶导数变得非常小。因此，活跃的GELU神经元的数量直接与Hessian规范相连。
这个公式表明，当样本量增大100倍时，相应地只能得到10倍的误差减小，也就是说回报是低于线性的。如果能够快速的计算出梯度的估计值，而不是缓慢的计算所有梯度的准确值，大多数算法会收敛的更快。...)] 当 [图片上传失败…(image-e1ccf1-1524449135535)] 超过 [图片上传失败…(image-f81c8a-1524449135535)] 时，梯度的病态会成为问题，很多情况下...比如牛顿法在解决带有病态条件的Hessian矩阵的凸优化问题时，是有效的方法，但是运用到神经网络时需要很大的改动。...对于非二次的表面，只要Hessian矩阵保持正定，牛顿法就能够迭代应用。 ?...牛顿法只适用于Hessian矩阵是正定的情况，而在深度学习中，目标函数的表面通常是非凸的，因此使用牛顿法是有问题的，这种情况下可以通过正则化Hessian矩阵来避免，常用的方法是在Hessian矩阵对角线上增加常数
上一篇《Hessian-Hamiltonian MC Rendering》的思路是将哈密顿力学应用在MCMC中，从而达到优化复杂场景的渲染效果。既然哈密顿可以，朗之万立马说到“我也可以”。...最后，我们对比H2MC，当HMC的step size为1时，或H2MC中采用高斯分布来近似求解势能时，和本论文中的MALA+Hessian本质上是相同的。...Online Adaptation 下面，主要的工作就是如何利用一阶导数，近似求解 ? 。理想情况下， ? 应该是Hessian的逆（倒数）。这里，对应的就是牛顿法和伪牛顿法之间的区别。...如上，我们可以不需要计算Hessian而获取其近似解， 节省了大量的计算量，我们用对角矩阵来替换全矩阵，目的也是解决计算量。另外，Adam中采用了动量的概念来优化收敛速度： ? ?...如上，当我们获取一个光路的PSS，对应为 ? ，我们遍历集合 ? 中元素 ? 并计算和 ? 的欧式距离，当距离小于 ? 时，则认为两者相近。
矩阵的近似B_ k+1时，可以像式(24)那样模仿真实的Hessian 矩阵的性质。...H_k 迭代公式后，还有一个问题就是初始的 H_0 如何计算，目前常用的方法是初始的 H_0 直接设为单位矩阵 I。...BFGS Method 比较适合解决中小规模无约束优化问题，但是 BFGS 算法产生的 Hessian 近似矩阵 H_k 为 n * n 的，同时该矩阵非稀疏，因此当 n 的规模较大时将面临两个问题：...为了避免该问题，LBFGS 算法在 BFGS 算法的基础上从两点进行了改进： 1）估算每一步对应的 Hessian 近似矩阵时，给出一个当前步的初始 Hessian 矩阵估计 H_k0 2) 利用过去当前代及过去...result H_k*▽f(x_k) = r 从上面计算 H_k 的公式(32)可知，要估算每个点 x_k 处的 Hessian 矩阵近似，需要给出 初始估计 H_k0，H_k0 一般通过以下公式计算
，比如每个企业和个人都要考虑的一个问题“在一定成本下，如何使利润最大化”等。...梯度下降法实现简单，当目标函数是凸函数时，梯度下降法的解是全局解。一般情况下，其解不保证是全局最优解，梯度下降法的速度也未必是最快的。...梯度下降法的搜索迭代示意图如下图所示： ? 梯度下降法的缺点： （1）靠近极小值时收敛速度减慢，如下图所示； （2）直线搜索时可能会产生一些问题； （3）可能会“之字形”地下降。 ?...牛顿法的优缺点总结： 优点：二阶收敛，收敛速度快； 缺点：牛顿法是一种迭代算法，每一步都需要求解目标函数的Hessian矩阵的逆矩阵，计算比较复杂。...拟牛顿法的本质思想是改善牛顿法每次需要求解复杂的Hessian矩阵的逆矩阵的缺陷，它使用正定矩阵来近似Hessian矩阵的逆，从而简化了运算的复杂度。
最速梯度下降在梯度的每一个元素为零时收敛(或在实践中，很接近零时)。在某些情况下，我么也许能够避免运行该迭代算法，并通过解方程 直接跳到临界点。...我么使用沿负梯度方向大小为 的下降步，当该梯度是1时，代价函数将下降 。如果二阶导数是负的，函数曲线向下凹陷(向上凸出)，因此代价函数将下降的比 多。...在深度学习背景下，我们遇到的大多数函数的Hessian矩阵几乎处处都是对称的。因为Hessian矩阵是实对称的，我们可以将其分解成一组是特征值和一组特征向量的正交基。...因此我们得出结论，当 且 时， 是一个局部极小值点。同理，当 且 时， 是一个局部极大点。这就是所谓的二阶导数测试。不幸的是，当 时，测试是不确定的。...因为方向二阶导数在任意方向都是正的，参考单变量的二阶导数测试就能得出此结论。同样的，当Hessian时负定的(所有特征值都是负的)，这个点就是局部极大点。
假设F:Rn→Rm\bf F:R_n\rightarrow R_m是一个从欧式n维空间转换到欧式m维空间的函数。...于是我们可以取它的行列式, 称为雅可比行列式. 在某个给定点的雅可比行列式提供了 在接近该点时的表现的重要信息....Hessian矩阵 在数学中，海森矩阵（Hessian matrix）是一个自变量为向量的实值函数的二阶偏导数组成的方块矩阵，此函数如下： f(x1,x2,…,xn) f(x_1,x_2,\ldots...frac12(x_1-x)^2f''(x) 当且仅当x1x_1无限接近于xx时，上式成立，即f(x1)=f(x)f(x_1)=f(x)，约去这两项，并对ΔxΔx求导，则得到下列表达式： f′(...hessian矩阵，而是每一步的时候使用梯度向量更新hessian矩阵的近似。
我觉得研究机器学习的乐趣不只是在于机器终究能够达成的应用，而是在当你遇到一个问题时，如何想像 (visualize) 这个问题，如何去规划 (formulate) 这个问题，然后用什么演算法去解決 (solve...下图直观地描述了鞍点和局部最小值之间的区别。 ? 如图所示，当算法处于一个鞍点时，存在一些潜在的方向，当算法沿着这样的方向继续往下「走」（进行梯度下降）时，可以到达损失更小的点。...这样的方法可以通过一个事实得以验证，那就是当 F 为一个 M 的零空间中的一个矩阵时，我们有 M (Fz + x^) = 0 + y = y，而且 x^ 是 Mx=y 的一个特解。...这样，我们就可以利用标准的凸优化技术来解决这个问题。 本文给出的例子是，当 C 被定义为以原点为中心的 m 个椭球的交点时，即 ? 其中，每个 Q_i 是一个 d 维的对称矩阵。...文介绍了许多梯度下降方法，包括计算 Hessian 矩阵的 Hessian 来提供目标函数的曲率信息。计算 Hessian 的开销是巨大的，这是求解最优化问题时的关键部分。
在继续解读之前，我们先看看这篇论文所使用的符号表示方式： || ⋅ || 表示一个向量的欧几里德范数或一个矩阵的谱范数 0_n ∈ R^n 表示全为零的向量 1_n ∈ R^n 表示全为一的向量 I_n...注意随着样本规模的增大，单个步骤的损失是如何获得变得单调和越来越平滑的。这能解释为什么（合适的）STE 在具有大量数据时（就像深度学习一样）的表现会那么好。...图 3 展示了一个案例：当使用粗粒梯度执行梯度下降时，带有 2 位激活的截断式 ReLU 实际上让算法的结果更差了。 ?...当梯度为 0 时，网络就会在反向传播过程中「学习」不到任何东西，因为所有的权重都会保持一样。...在 t+1 个迭代时，问题是如何优化一个二次规划（quadratic program）： ? 其中优化是针对 ^w 而言，Ht 是指在 ^w 的 Hessian。
大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。 我们每个人都会在我们的生活或者工作中遇到各种各样的最优化问题，比如每个企业和个人都要考虑的一个问题“在一定成本下，如何使利润最大化”等。...梯度下降法实现简单，当目标函数是凸函数时，梯度下降法的解是全局解。一般情况下，其解不保证是全局最优解，梯度下降法的速度也未必是最快的。...梯度下降法的搜索迭代示意图如下图所示： 梯度下降法的缺点： （1）靠近极小值时收敛速度减慢，如下图所示； （2）直线搜索时可能会产生一些问题； （3）可能会“之字形”地下降。...牛顿法的优缺点总结： 优点：二阶收敛，收敛速度快； 缺点：牛顿法是一种迭代算法，每一步都需要求解目标函数的Hessian矩阵的逆矩阵，计算比较复杂。...拟牛顿法的本质思想是改善牛顿法每次需要求解复杂的Hessian矩阵的逆矩阵的缺陷，它使用正定矩阵来近似Hessian矩阵的逆，从而简化了运算的复杂度。
这些简单问题包括矩阵感知、矩阵完成、正交张量分解、相位恢复和具有二次激活的神经网络。...也有研究者在探究当图景猜想成立时实现梯度下降到全局最小值的收敛，Rong Ge、Ben Recht、Chi Jin 和 Michael Jordan 的博客已经给出了很好的描述： http://www.offconvex.org...（Hessian 为正半定的临界点），并还描述了当将扰动加入到该算法时这个过程是如何有效的。...注意这是在图景猜想下，即当没有糟糕的局部最小值和非严格鞍点时，二阶局部最小值可能也是全局最小值。 ? 但是，很显然，图景方法（和图景猜想）不能以这种方式应用于深度（三层或更多层）网络。有多个原因。...图景方法在分析深度学习优化上的局限性说明它可能抛弃了太多重要细节。比起「图景方法是否优雅」，也许更相关的问题是「来自特定初始化的特定优化器轨迹（trajectory）具有怎样的行为？」 ?
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