R-由g(x，y)dy的积分生成函数f(x)_R中从输入向量x，y和用户定义函数f(x，y)生成输出矩阵Z的简单方法 - 腾讯云开发者社区 - 腾讯云

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Matlab系列之符号运算（下）

续上一篇主要对符号对象进行了一些生成和使用的基本操作，然后本篇将介绍符号矩阵、微积分、积分变换以及符号方程的求解，具体内容就往下慢慢看了。...积分积分函数就是int，积分又分为不定积分和定积分，所以计算时要注意两者的区别，使用格式如下： int(S)%求符号表达式S对默认自变量的不定积分 int(S,'x')%求符号表达式S对自变量x的不定积分...举例2： %求解多个方程组成的线性方程组 syms x y z f=x^2-y^2+z-10; g=x+y+5*z; h=2*x-4*y+z; [x,y,z]=solve(f,g,h)%以常规变量形式输出...举例1： %求微分方程dy/dx=ay的通解以及y(0)=b时的特解 syms a y eq='Dy=a*y' y1=dsolve(eq)%通解 y2=dsolve(eq,'y(0)=b','x')%特解...举例3： %求微分方程y''=x+y'，且y(0)=1,y'(0)=0时的特解 y=dsolve('D2=x+Dy','y(0)=1','Dy(0)=0','x') 结果3： ?

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求z=x-y的概率密度_X和Y独立同分布

###Z=X+Y型概率密度的求解### @(概率论) Z = g ( X , Y ) Z = g(X,Y) Z=g(X,Y) 总结过一次，一般方法是可以由分布函数再求导得到概率密度，计算一定更要小心才能得到正确的解...Z\leq z) = P(g(X,Y)\leq z) \\ = \int\int_{g(x,y)\leq z}f(x,y)dxdy FZ(z)=P(Z≤z)=P(g(X,Y)≤z)=∫∫g(x,y)≤...zf(x,y)dxdy=∫−∞+∞dx∫−∞z−xf(x,y)dy或者=∫−∞+∞dy∫−∞z−yf(x,y)dy 从而求得概率密度是： f Z ( z ) = ∫ − ∞ + ∞ f (...(z-y)f_Y(y)dy fZ(z)=∫−∞+∞fX(x)fY(z−x)dxfZ(z)=∫−∞+∞fX(z−y)fY(y)dy 可以看出来一点规律，如果是用x作积分变元，则就从表达式中解出对方...现在不是求二重积分而是一重积分，但是可以用二重积分的思想：认为是对z积分以后现在再对x积分，因此，x的取值是在垂直于z的取值范围内画一条红线，穿过阴影区域的上下限值，因此是(z,1)，这才是真正的完整的解法

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武忠祥老师每日一题｜第320 - 335题

(e) = \dfrac{1}{e} 题目324 设 u = f(x,y,z), z = z(x,y) 是由方程 \varphi(x+y,z) = 1 所确定的隐函数求 \dfrac{\partial...：} \int_0^1dy\int_y^1 x\sqrt{2xy-y^2} dx ] 解答对于 x\sqrt{x-1} 这个函数直接积分是不太好积的，考虑极直互化或交换积分次序本题的...|+y^2)d\sigma ] 解答相同积分域的积分比大小，只需比较被积函数大小即可本题积分域同上题，是由四条直线围成的正方形区域由于被积函数过于复杂，考虑利用对称性和奇偶性...，且 f(0) = 0, g(x) = \int_0^1xf(tx)dt ，并满足方程 f'(x)+g'(x)=x ，求由曲线 y=f(x), y = e^{-x} 及直线 x=0,x=2...围成的平面图形的面积解答先对 g(x) 的自变量和积分变量进行分离，令 tx = u ，则 xdt = du, g(x) = \int_0^x f(u)du 故 g'(x) =

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微分方程与欧拉法

方向场与积分曲线方向场（direction field）与积分曲线（integral curve）的关系，可以用下面的式子简要表示： [图片] 其中，当f(x,y),f′(x...下面，举函数y′=−x/y的方向场与积分曲线： %下面的函数dirfield需要用到参考资料中的函数 %定义函数y' f = @(x,y) -x/y %方向场的一些简单可视化 ezplot...使用matlab的解析解法为： dsolve('Dy=2*y+1','x' %输出为： (C2*exp(2*x))/2 - 1/2 %求解e^x dsolve('Dy=y','y(0)...ODE数值解法的matlab程序为： [xs,ys] = ode45(f,[-2,2],y0) 欧拉法的缺点 [图片] 由上图可见，欧拉法存在一定的误差，并且误差会累计...由上图可看，RK2的效果已经比RK1好太多的。

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贝塞尔方程与贝塞尔函数学习笔记

+n1, Φ(0)=0=n→∞lim(Φ(n)−lnn)=0.577 第四节贝塞尔函数的基本性质生成函数：该函数的级数展开式的系数是贝塞尔函数。...整数阶贝塞尔函数 J n ( x ) J_n(x) Jn(x) 的生成函数： exp ⁡ [ x 2 ( r − 1 r ) ] = ∑ n = − ∞ ∞ J n ( x ) r n \exp..._{v+1}(x)=vY_v(x)-xY’_v(x) xYv+1(x)=vYv(x)−xYv′(x) 整数阶贝塞尔函数积分形式有两种方法得到其积分形式。...一是根据生成函数在复数域上的解析函数，由其洛朗级数系数在特殊闭合回路上得到。...二是由同样的解析函数出发，在某个特殊闭合回路上将函数展开，通过比较等号左右两边的形式，结合三角函数的正交性，再通过三角函数公式得到积分形式。

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【实验楼-Python 科学计算】SciPy - 科学计算库（上）

被称作数值求积，Scipy提供了一些列不同类型的求积函数，像是 quad, dblquad 还有 tplquad 分别对应单积分，双重积分，三重积分。...val, abserr => 0.7853981633971.63822994214e-13 注意到我们为y积分的边界传参的方式，这样写是因为y可能是关于x的函数。...一旦我们定义了函数 f 与数组 y_0 我们可以使用 odeint 函数： y_t = odeint(f, y_0,t) 我们将会在下面的例子中看到 Python 代码是如何实现 f 与 y_0 。...在这个例子的实现中，我们会加上额外的参数到 RHS 方程中： def dy(y, t, zeta,w0): """ The right-hand side of the dampedoscillator...t, args=(0.0, w0)) # undamped y2 = odeint(dy, y0, t, args=(0.2, w0)) # under damped y3 = odeint(dy,

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大学生非数竞赛专题四（4）

非数专题四多元函数积分学（4） 4.4 与重积分有关的不等式证明问题 4.9 (清华大学1985年竞赛题) 设函数 f(x) 在 [0,1] 上连续且单调递减，又 f(x) > 0 ，求证： \...\int_{0}^{1}f^{2}(x)dx}{\displaystyle \int_{0}^{1}f(x)dx} 【解析】：由题意知， f(x) 单调递减，所以 (f(x)-f(y))(x-y) \...y\leq 1\} ，函数 f(x,y) 在 D 上有连续的二阶偏导数。...4.14 （广东省1991年竞赛题）设二元函数 f(x,y) 在区域 D:\{0 \leq x \leq 1,0 \leq y\leq 1\} 上具有连续的四阶偏导数，并且 f(x,y) 在区域 D...\left|\underset{D}{\iint}f(x,y)dxdy\right| \leq \frac{1}{48} 【解析】：可以考虑一下上述的二重积分，利用分部积分法，有 \begin{align

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大学生数学竞赛非数专题四（4）

专题四多元函数积分学（4） 4.4 与重积分有关的不等式证明问题 ---- 4.9 (清华大学1985年竞赛题) 设函数 f(x) 在 [0,1] 上连续且单调递减，又 f(x) > 0 ，求证：...\int_{0}^{1}f^{2}(x)dx}{\displaystyle \int_{0}^{1}f(x)dx} 【解析】：由题意知， f(x) 单调递减，所以 (f(x)-f(y))(x-y) \leq...1,0\leq y\leq 1\} ，函数 f(x,y) 在 D 上有连续的二阶偏导数。...---- 4.14 （广东省1991年竞赛题）设二元函数 f(x,y) 在区域 D:\{0 \leq x \leq 1,0 \leq y\leq 1\} 上具有连续的四阶偏导数，并且 f(x,y)...\left|\underset{D}{\iint}f(x,y)dxdy\right| \leq \frac{1}{48} 【解析】：可以展开上述的二重积分，利用分部积分法，有 \begin{align*

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大清朝的微积分教材，堪称天书！

彳= d, 天 = x, 戍 = y，那么彳天 = dx, 彳戍 = dy 一 = 1 訥 = ln 丄 = + 所以，「戍=天^天」这句话的意思就是。这里，。...而因此，而「彳戍=天^天（一丄訥天）彳天」就是「dy = x^x (1+lnx) dx」，确实可以由上面那个式子整理得到。两个简单公式的破译就搞定了，对号入座即可。接下来就比较难了。...天和地在这里就不能理解为简单的x和y了，而是应该理解为f(x)与g(x)两个关于x的函数。换句话说，就是对求导。首先将改写为：。...求导就会得到：将代入式子，将dx换到右边： dx可以与、合并变成dg和df，所以：将除到左边：根据「分子」是分母，「分母」是分子、戍 = y、天= f(x)、地= g(x)...根据上述引文，针对任何一个函数 y=f(x) 而言，先求出 dy=f(x)dx，然后再得到 dy/dx＝f(x)。

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（10.2）James Stewart Calculus 5th Edition：Calculus with Parametric Curves

---- Calculus with Parametric Curves 参数曲线的微积分表示曲线的参数等式。对应的微积分在参数曲线的应用。...，很好理解这里参数方程，例如 x = f（t）和 y = g（t）的表达。...最后得到 y = F（x）也就是： g（t） = F（f（t））【注意：这里 g，F，f都是可微的】通过链式原则，可以得到 ? 如果 ? 我们可以得到： ?...并且这个时候，都满足：dx / dt ≠ 0 可以得到对应的点（1，2），（1，-2）【竖直切线】，由 dx / dt = 2t = 0 可以得到 t = 0 这个时候，dy / dt ≠...---- Surface Area 表面积如果 f' ， g' 存在，并且连续，还有 g(t) >= 0 我们有： ? ---- 例子6 ? 对应的球体，就是半圆旋转得到的：有 ?

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蒙特卡罗方法计算定积分

n：产生随机点数 ''' #定义定积分区间 x_min,x_max=a,b y_min,y_max=f(a),f(b) count=0 for i in...y＜f(x) 表示该随机点位于曲线的下方 if(y<f(x)): count+=1 #阴影区域面积计算：阴影区域随机点数/总随机点数*矩形区域面积...#产生N个随机点数 N=10000 #定积分曲线 f=lambda x:x**2 #利用蒙特卡罗方法计算定积分 MonteCarlo_Integral(f,0,2...y=f(x) plt.plot(x,y,'r-',label='函数') plt.legend() plt.show() 0.0 (2.666666666666667,...2.960594732333751e-14) 算法：蒙特卡罗方法计算定积分是采用随机点模拟方法来近似计算定积分的值。

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非数竞赛专题三（5）

解题技巧：综合利用放缩法（利用分母以及三角函数的有界性），以及积分的计算。...3.15 （江苏省1998年竞赛题）已知 g(x) 是以 T 为周期的连续函数，且 g(0)=1 ， f(x)=\int_{0}^{2x}|x-t|g(t)dt ，求 f^{'}(T) ....解：先对函数进行区间拆分，有 f(x)=f(x)=\int_{0}^{x}(x-t)g(t)dt+f(x)=\int_{x}^{2x}(t-x)g(t)dt\\=x\int_{0}^{x}g(t)dt-...解：令 y(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt+1 ，显然 y^{'}(x)=f(x) ，带入原等式，有 y^{'}(x)y(x)=\frac{xe^x}{2(1+x)^2} 两边积分一下，左边有...\int y^{'}(x)y(x)dx=\int y(x)dy(x)=y^{2}(x) 右边得 \int\frac{xe^x}{2(1+x)^2}dx=-\int xe^x\frac{dx}{1+x

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大学生数学竞赛非数专题三（5）

解题技巧：综合利用放缩法（利用分母以及三角函数的有界性），以及积分的计算。...3.15 （江苏省1998年竞赛题）已知 g(x) 是以 T 为周期的连续函数，且 g(0)=1 ， \displaystyle f(x)=\int_{0}^{2x}|x-t|g(t)dt ，求 f^...解：先对函数进行区间拆分，有 \begin{align*}f(x)&=\int_{0}^{x}(x-t)g(t)dt+\int_{x}^{2x}(t-x)g(t)dt\\&=x\int_{0}^{x}g...{'}(T)=\int_{0}^{T}g(t)dt-\int_{T}^{2T}g(t)dt+2Tg(2T)=2T 解题技巧：带绝对值的定积分区间拆分，含参积分求导公式，以及定积分的周期性。...{xe^x}{2(1+x)^2} 两边积分一下，左边有 \displaystyle \int y^{'}(x)y(x)dx=\int y(x)dy(x)=y^{2}(x) 右边得 \begin{align

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数值积分法求解常微分方程

Scipy 的 integrate 模块的 odeint 函数可以用来以数值积分法求解常微分方程。...sqrt import sympy import scipy from scipy import integrate from matplotlib import pyplot as plt # 上篇的向量场绘图函数...('x') y = sympy.Function('y') f = y(x)**2 + x f_np = sympy.lambdify((y(x), x), f) x0...# 初值处向x轴正方向延伸 yn = integrate.odeint(f_np, y0, xn) # 数值积分法求解常微分方程，负方向积分 yp = integrate.odeint(...f_np, y0, xp) # 数值积分法求解常微分方程，正方向积分 fig, ax = plt.subplots(1, 1, figsize=(24, 20)) # 绘出向量场以作对比

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C++ 计算定积分和二重积分

C++编程求定积分和二重积分，利用分割求和算法，可传递任意可积函数进行积分的数值计算。涉及到的基础知识有：函数指针做函数形参函数重载 ?...double x); double f(double x, double y); double integral(double (*fun)(double), double L, double H, long...x) { return sin(x)/x; } //这里可定义任意二元可积函数 double f(double x, double y) { return x*x +y*y; }...xL, double xH, double yL, double yH, long n) { double x,y,dx,dy,sum; dx = (xH-xL)/n; dy...dy; for(int j=0; j<n; j++) { sum += dx*dy*fun(x,y); y += dy;

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每日一练5.30

接力题典 1800 重积分第一节二重积分重要的知识点：（1）二重积分的极限表示形式，设 D=\{(x,y)|0\leq x\leq1 ,0\leq y\leq 1\} ,有 \underset...,\eta\in D ,使得 \iint\limits_{D}{f(x,y)}dxdy=f(\xi,\eta)A (3)二重积分的计算方法（直角坐标法）：严格来分就是 x 型和 y 型， 1. x 型：...=\int_{a}^{b}dx\int_{\varphi_{1}(x)}^{\varphi_{2}(x)}f(x.y)dy 2. y 型：假设 D=\{(x,y)|a\leq y\leq b,\varphi...(y))}^{\varphi_{2}(y)}f(x,y)dx (4)二重积分的极坐标法：特征：（1）被积函数 f(x,y) 含有 x^2+y^2 ，（2）积分区域含有 x^2+y^2 ....，主要利用积分的计算方法，直角坐标和极坐标，注意应用的条件，一般带有绝对值的函数求二重积分，注意区间的划分。

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统计力学中的概率论基础（二）

，其概率密度函数为： f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{1}{2}(\frac{x-\mu}{\sigma})^2} 看到这个形式的概率密度函数，我们应该率先想到高斯积分...关于面积元更加准确的定义应该是这样的： d\textbf{S}=d\textbf{x}\times d\textbf{y}=dxdy\sin\theta 因此对于一个坐标变换 x=f(m,n),y=g...f(r,\theta)=r\cos\theta,y=g(r,\theta)=r\sin\theta 有： \begin{align} d\textbf{x}\times d\textbf{y}&=(\cos...\frac{1}{2}(\frac{x-\mu}{\sigma})^2}dx ，这表示正态分布给出的概率函数，在 x 轴上的积分为1，这符合我们对概率密度函数的预期。...很显然的是，正态分布函数 f(x) 是关于 x=\mu 对称的一个函数，即 P(x\mu) ，按照连续分布的期望值定义： \begin{align} E(x)=\int xf(x)dx

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Latex数学公式符号编写大全

它基于TeX排版系统，由美国数学家Donald E. Knuth开发。在LaTeX中，你可以轻松地编写复杂的数学公式，并控制文档的布局和样式。...\limits_F dx\,dy\,dz\,dt$ \iiiint\limits_F dx\,dy\,dz\,dt 8 $\int_{(x,y)\in C}...+ 4y^2\, dy$ \oint_{(x,y)\in C} x^3\, dx + 4y^2\, dy 10 $\unicode{8751} \unicode{x222F}_C$...42 路径积分 Line or path integral $\int_{(x,y)\in C} x^3\, dx + 4y^2\, dy$...\int_{(x,y)\in C} x^3\, dx + 4y^2\, dy 43 环路积分 Closed line or path integral

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《数据科学的数学必修课》第1讲数学基础

： from sympy import * x = symbols('x') f = x**2 # 计算函数f的微分 dx_f = diff(f) print(dx_f) # 结果是2*x # 计算...x,y = symbols('x y') f = 2*x**3 + 3*y**3 # 分别计算对x和y的偏微分 dx_f = diff(f, x) dy_f = diff(f, y) print...sympy import * x, y = symbols('x y') # y对x的微分 _y = x**2 + 1 dy_dx = diff(_y) # z对y的微分 z = y**3 - 2...*x*(x**2 + 1)**2 积分使用SymPy计算积分，计算对于函数从0到1的积分面积： from sympy import * x = symbols('x') f = x**2 +...1 # 计算对于函数f和变量x，在0到1的范围内的积分 area = integrate(f, (x, 0, 1)) print(area) # 结果是4/3

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常微分方程的数值解

梯形公式梯形公式本质上依然还是基于微分差商，不过不同于之前直接使用微分的形式，这里更加严格的使用了积分的表达，即： y_{n+1} = y_n + \int_{x_{n}}^{x_{n+1}}f(x,...y)dx 然后，这里使用梯形公式来近似掉其中的积分过程，有： y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2}(f(x_n, y_n) + f(x_{n+1}, y_{n+1})) 这里同样会涉及到等号右侧的...基本思路线性多步法的思路来源依然还是积分公式： y(x) = y(x_0) + \int_{x_0}^{x}y'(t)dt 之前，Euler公式和Runge-Kutta方法都是直接对积分的值进行估计。...而线性多步法的近似思路则是用采用之前的插值公式的思路，来对来进行拟合，然后用这个拟合函数来计算后面这个积分值。...我们直接以二元方程组为例，给出一些常见的解： \left\{ \begin{aligned} \frac{dy}{dx} &= f(x, y, z) \\ \frac{dz}{dx} &= g(x, y

2.6K3 0

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