1、在对无向图进行遍历时，对于连通图，仅需从图中任一顶点出发，进行深度优先搜索或广度优先搜索，便可访问到图中所有顶点。
根剧搜索路径的方向，通常有两条遍历图的路径： 深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）。 对于有向图和无向图都适用。
PHP数据结构（十一）——图的连通性问题与最小生成树算法（1） （原创内容，转载请注明来源，谢谢） 一、连通分量和生成树 1、无向图 设E(G)为连通图G的所有边的集合，从图的任意一点出发遍历图，可以将E(G)分为T(G)和B(G)，T表示已经遍历过的边的集合，B表示剩余边的集合。因此，T与图G的所有顶点构成的极小连通子图，就是G的一棵生成树。由深度优先搜索的称为深度优先生成树；由广度优先搜索的称为广度优先生成树。 2、有向图 有向图和无向图类似。有向图的强连通分量，是对图进行深度优先遍历，遍历完成后，
图是计算机科学中一种重要的数据结构，用于表示各种关系和网络。在算法高级篇课程中，我们将深入探讨如何有效地表示和存储图，以及如何优化这些表示方法。本文将详细介绍图的基本概念、不同的表示方法，以及如何在 Python 中实现它们。
在理解有向图和强连通分量前必须理解与其对应的两个概念，连通图（无向图）和连通分量。
上一篇我们了解了图的基本概念、术语以及存储结构，还对邻接表结构进行了模拟实现。本篇我们来了解一下图的遍历，和树的遍历类似，从图的某一顶点出发访问图中其余顶点，并且使每一个顶点仅被访问一次，这一过程就叫做图的遍历（Traversing Graph）。如果只访问图的顶点而不关注边的信息，那么图的遍历十分简单，使用一个foreach语句遍历存放顶点信息的数组即可。但是，如果为了实现特定算法，就必须要根据边的信息按照一定的顺序进行遍历。图的遍历算法是求解图的连通性问题、拓扑排序和求解关键路径等算法的基础。
提到这个名字，很多人会想到前段时间让全世界振奋的围棋人工智能Alphago，想曾经我也了解过一些围棋的AI。我也正想花点时间说说alphago相关的东西，包括alphago的架构以及模型引申等，不过这篇文章里我只说围棋规则的实现，和人工智能无关。 规则 说到围棋规则的实现不得不先说围棋规则，一般来说，至少有三种围棋规则：中国规则，日本规则，应氏规则。其实还有中国古代规则，和这三种规则都有一点差别。应氏规则和中国规则实际差距非常非常小，小到很多人认为可以忽略不计。但中国规则和日本规则的差别有些大，个
按照右手原则，每次选择上一顶点的最右边的下一顶点，走过一个顶点标记一个顶点，不能走被标记过的顶点，一条路走到黑，直到无路可走，然后回溯。 这个就是先走到最大深度，不能再深入后，再返回到有支路可走的顶点继续深入到最下面。
在上一篇博客判断有向图是否有圈中从递归的角度简单感性的介绍了如何修改深度优先搜索来判断一个有向图是否有圈。事实上， 它的实质是利用了深度优先生成树（depth-first spanning tree）的性质。那么什么是深度优先生成树？顾名思义，这颗树由深度优先搜索而生成的，由于无向图与有向图的深度优先生成树有差别，下面将分别介绍。 一. 无向图的深度优先生成树 无向图的深度优先生成树的生成步骤： 深度优先搜索第一个被访问的顶点为该树的根结点。 对于顶点v，其相邻的边w如果未被访问，则边(v, w)为该树的树
深度优先搜索(DFS)每次沿着路径到达不能再前进时，退回到最近的岔道口向下继续遍历。换句话说每次路径不可达时，代表一条完整路径形成。
2、在线性表中，数据元素之间仅有线性关系，每个数据元素只有一个直接前驱和一个直接后继。
无论是有向图还是无向图，主要的存储方式都有两种：邻接矩阵和邻接表。前者图的数据顺序存储结构，后者属于图的链接存储结构。
顶点和边：图中结点称为顶点，第 i 个顶点记作 vi。两个顶点 vi 和 vj 相关联称作顶点 vi 和顶点 vj 之间有一条边，图中的第 k 条边记作 ek，ek = (vi，vj) 或 <vi，vj>。
一、图的遍历 与树的遍历操作类同，图的遍历操作的定义是，访问途中的每个顶点且每个顶点之北访问一次。图的遍历方法有两种：一种是深度优先遍历，另一种是广度优先遍历。图的深度优先遍历类似于树的先根遍历，图的广度优先遍历类同于树的层序遍历。 图的遍历需要考虑的三个问题： (1)图的特点是没有首尾之分，所以算法的参数要指定访问的第一个顶点。 (2)因为对图的遍历路径有可能构成一个回路，从而造成死循环，所以算法设计要考虑遍历路径可能出现的死循环问题。 (3)一个顶点可能和若干个顶点都是邻接顶点，要使一个顶点的所有邻接顶点按照某种次序都被访问到。 二、连通图的深度优先遍历算法。 图的深度优先遍历算法是遍历时深度优先的算法，即在图的所有邻接顶点中，每次都在访问完当前节点后，首先访问当前顶点的第一个邻接顶点。 深度优先遍历算法可以设计成递归算法。对于连通图，从初始顶点出发一定存在路径和连通图中其它顶带相连，所以对于连通图来说，从初始顶点出发一定可以遍历该图。连通图的深度优先遍历递归算法如下。 (1)访问顶点v并标记顶点v已被访问。 (2)查找顶点v的第一个邻接顶点w. (3)若顶点v的邻接顶点w存在，则继续执行，否则算法结束。 (4)若顶点w尚未被访问，则深度优先遍历递归访问顶点w. (5)查找顶点v的w邻接顶点的下一个邻接顶点w,转到步骤(3). 上述递归算法属于回溯算法，当寻找顶点v的邻接顶点w成功时，继续进行；当寻找顶点v的邻接顶点w失败时,回溯到上一次递归调用的地方继续进行。 对于下图：
图的遍历是计算机科学中的一项重要任务，用于查找和访问图中的所有节点。深度优先搜索（ DFS ）和广度优先搜索（ BFS ）是两种常用的图遍历算法。本篇博客将重点介绍这两种算法的原理、应用场景以及使用 Python 实现，并通过实例演示每一行代码的运行过程。
图的基础概念图的基础算法1. 图的遍历深度优先搜索遍历(DFS)广度优先搜索遍历(BFS)2. 单源最短路径问题(Dijkstra算法)3. 拓扑排序4. 最小生成树Kruskal算法(加边法)Prim算法(加点法)经典面试题1.克隆图2.课程表II3.网络延迟问题4.除法求值5.最小高度树6.重新安排行程7. 冗余连接
其实我们之前学过的二叉树的层序遍历就是一种广度优先遍历，要借助一个队列来搞，下面对图的广度优先遍历也是一样
一个连通图的生成树指的是，极小的连通子图，它含有图中的全部n个顶点，但是只足以构成一棵树的（n-1）条边。
在无向图中，如果从顶点vi到顶点vj有路径，则称vi和vj连通。如果图中任意两个顶点之间都连通，则称该图为连通图，否则，将其中的较大连通子图称为连通分量。 在有向图中，如果对于每一对顶点vi和vj，从vi到vj和从vj到vi都有路径，则称该图为强连通图；否则，将其中的极大连通子图称为强连通分量。
前面已经讲了 "一对一" 的线性存储结构、"一对多"的树结构 ， 现在介绍 "多对多" 的图结构
PHP数据结构（九）——图的定义、存储与两种方式遍历 （原创内容，转载请注明来源，谢谢） 一、定义和术语 1、不同于线性结构和树，图是任意两个元素之间都可以有关联的数据结构。 2、顶点：数据元素；弧：顶点A至顶点B的连线，弧是单向的，出发的点称为弧尾，抵达的点称为弧头；边：顶点A和B之间的连线，没有方向性。 3、有向图：由顶点和弧组成的图；无向图：由顶点和边组成的图。 4、完全有向图：n个顶点有n(n-1)个弧；完全无向图：n个顶点有n
遍历是指从某个节点出发，按照一定的的搜索路线，依次访问对数据结构中的全部节点，且每个节点仅访问一次。 在二叉树基础中，介绍了对于树的遍历。树的遍历是指从根节点出发，按照一定的访问规则，依次访问树的每个节点信息。树的遍历过程，根据访问规则的不同主要分为四种遍历方式： （1）先序遍历 （2）中序遍历 （3）后序遍历 （4）层次遍历 类似的，图的遍历是指，从给定图中任意指定的顶点（称为初始点）出发，按照某种搜索方法沿着图的边访问图中的所有顶点，使每个顶点仅被访问一次，这个过程称为图的遍历。遍历过程中得到的顶点序列称为图遍历序列。 图的遍历过程中，根据搜索方法的不同，又可以划分为两种搜索策略： （1）深度优先搜索（DFS，Depth First Search） （2）广度优先搜索（BFS，Breadth First Search）
图的“多对多”特性使得图在结构设计和算法实现上较为困难，这时就需要根据具体应用将图转换为不同的树来简化问题的求解。
大数据文摘作品 编译：张礼俊、王一丁、xixi、修竹、Apricock、惊蛰、Chloe、龙牧雪 长文预警！本文作者Vardan Grigoryan是一名后端程序员，但他认为图论（应用数学的一个分支）的思维应该成为程序员必备。 本文从七桥问题引入，将会讲到图论在Airbnb房屋查询、推特推送更新时间、Netflix和亚马逊影片/商品个性化推荐、Uber寻找最短路线中的应用，附有大量手把手代码和手绘插图，值得收藏。 图论的傻瓜式教程 图论是计算机科学中最重要、最有趣，同时也是最容易被误解的领域之一。理解并使用
随着学习的深入，我们的知识也在不断的扩展丰富。树结构有没有让大家蒙圈呢？相信我，学完图以后你就会觉得二叉树简直是简单得没法说了。其实我们说所的树，也是图的一种特殊形式。
当时东普鲁士科尼斯堡（今日俄罗斯加里宁格勒）市区跨普列戈利亚河两岸，河中心有两个小岛。小岛与河的两岸有七条桥连接。在所有桥都只能走一遍的前提下，如何才能把这个地方所有的桥都走遍？
所有未被访问的邻接点之前访问。重复上述过程，直到所有端节点均没有未被访问的邻接点为止。
含有n个顶点的无向完全图有多少条边？ n×(n-1)/2条边 含有n个顶点的有向完全图有多少条弧？ n×(n-1)条边
这一篇我们要总结的是图(Graph)，图可能比我们之前学习的线性结构和树形结构都要复杂，不过没关系，我们一点一点地来总结。那么关于图，我将从以下几点进行总结： 1、图的定义 2、图相关的概念和术语 3、图的创建和遍历 1、图的定义 什么是图呢？ 图是一种复杂的非线性结构。 在线性结构中，数据元素之间满足唯一的线性关系，每个数据元素(除第一个和最后一个外)只有一个直接前驱和一个直接后继； 在树形结构中，数据元素之间有着明显的层次关系，并且每个数据元素只与上一层中的一个元素(父节点)及下一层的多个元素(孩子节点
一个图G = （V, E）由一些点及点之间的连线（称为边）构成，V、E分别计G的点集合和边集合。在图的概念中，点的空间位置，边的区直长短都无关紧要，重要的是其中有几个点以及那些点之间有变相连。
1-1 无向连通图至少有一个顶点的度为1 错误： 无向连通图考点： 1. 每条边连接两个顶点，所有顶点的度之和等于边数的2倍 2.记住两个特殊的无相连通图模型： A： B： 1-2 用邻接表法存储图
visualgo是新加坡国立大学计算机学院一位很棒的博士老师Dr. Steven Halim 在2011年写的一个可视化数据结构和计算机常用算法的开源项目，虽然现在没有维护了，但不可否认他依旧是一个很棒的网站。它最初的目的是为了帮助他的学生更好地理解算法和数据结构，但随着时间的推移，它已经成为了一个广受欢迎的在线教育工具。
连通图:在无向图G中，若对任何两个顶点 v、u 都存在从v 到 u 的路径，则称G是连通图。
图是一种比线性表和树更为复杂的数据结构。在线性表中，数据元素之间仅有线性关系，每个数据元素只有一个直接前驱和一个直接后继；在树形结构中，数据元素之间有着明显的层次关系，并且每一层中的数据元素可能和下一层中的多个元素（即其孩子结点）相关，但只能和上一层中一个元素（即其双亲结点）相关； 而在图结构中，结点之间的关系可以是任意的，图中任意两个数据元素之间都可能相关。
1. 图这种数据结构相信大家都不陌生，实际上图就是另一种多叉树，每一个结点都可以向外延伸许多个分支去连接其他的多个结点，而在计算机中表示图其实很简单，只需要存储图的各个结点和结点之间的联系即可表示一个图，顶点可以采取数组vector存储，那顶点和顶点之间的关系该如何存储呢？其实有两种方式可以存储顶点与顶点之间的关系，一种就是利用二维矩阵(二维数组)，某一个点和其他另外所有点的连接关系和权值都可以通过二维矩阵来存储，另一种就是邻接表，类似于哈希表的存储方式，数组中存储每一个顶点，每个顶点下面挂着一个个的结点，也就是一个链表，链表中存储着与该结点直接相连的所有其他顶点，这样的方式也可以存储结点间的关系。
深度优先搜索是一种从起始节点出发，沿着图的分支尽可能深入，然后回溯并继续探索其他分支的遍历方法。
和树的遍历类似，图的遍历也是从某个顶点出发，沿着某条搜索路径对图中所有顶点各做一次访问。
说到以Tarjan命名的算法，我们经常提到的有3个，其中就包括本文所介绍的求强连通分量的Tarjan算法。而提出此算法的普林斯顿大学的Robert E Tarjan教授也是1986年的图灵奖
这是一个基本概念,且很重要,记录一下. 树的定义:用图的知识来表示即为,无环的连通图或者边数等于顶点数减1. 12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546474849505152535455565758596061626364656667686970 package questionCheckisTree;import java.util.Scanner;/** * Created
图Graph是由顶点（图中的节点被称为图的顶点）的非空有限集合V与边的集合E（顶点之间的关系）构成的。 若图G中的每一条边都没有方向，则称G为无向图。 若图G中的每一条边都有方向，则称G为有向图。
基本概念 图(Graph)：图(Graph)是一种比线性表和树更为复杂的数据结构。 图结构：是研究数据元素之间的多对多的关系。在这种结构中，任意两个元素之间可能存在关系。即结点之间的关系可以是任意的，图中任意元素之间都可能相关。 图G由两个集合V(顶点Vertex)和E(边Edge)组成，定义为G=(V，E) 线性结构：是研究数据元素之间的一对一关系。在这种结构中，除第一个和最后一个元素外，任何一个元素都有唯一的一个直接前驱和直接后继。 树结构：是研究数据元素之间的一对多的关系。在这种结构中
回到正题，首先介绍下什么是图的边连通度和点连通度。一般来说，点连通度是指对应一个图G，对于所有点集U属于V（G），也就是V（G）的子集中，使得G-U要么是一个非连通图，要么就是一个平凡图（即仅包含一个独立点的图），其中最小的集合U的大小就是图G的点连通度，有时候也直接称为图的连通度。通俗点说，就是一个图G最少要去掉多少个点会变成非连通图或者平凡图。当然对于一个完全图来说Kn来说，它的连通度就是n-1。 同理，边连通度就是对于一个非平凡图G，至少去掉多少条边才能使得该图变成非连通图。我们的问题就是，对于任意一个图，如何求该图的连通度以及边连通度？这跟最大流问题有什么联系？ 简单起见，我们先说如何求一个图的边连通度lamda(G)。（基于无向图考虑） 对于图G，设u，v是图G上的两个顶点，定义r（u，v）为删除最少的边，使得u到v之间没有通路。将图G转换成一个流网络H，u为源点，v是汇点，边容量均为1，那么显然r（u，v）就是流网络的最小割，根据（二）里的介绍，其等于流网络的最大流。 但是，目前为止我们还没解决完问题，因为显然我们要求的边连通度lamda（G）是所有的点对<u,v>对应的r（u，v）中最小的那个值。这样的话我们就必须遍历所有的点对，遍历的的复杂度为O（n*n）。这显然代价太高，而事实上，我们也不必遍历所有点对。
设图 A = (V, E) 有 n 个顶点，则图的邻接矩阵是一个二维数组 A.Edgen，定义为：
在本节中，我们将探讨PageRank算法，其实这是一个老生常谈的概念或者算法，在这里我们重新温故下这个经典算法。这是一种使用Web Graph中的链接结构按重要性对网页进行排名的方法，这也是Google普及的网络搜索常用算法。 在讨论PageRank之前，让我们先将Web概念化为图，然后尝试使用图论语言来研究其结构。
图是一种非线性数据结构，它由节点（也称为顶点）和连接这些节点的边组成。图可以用来表示各种关系和连接，比如网络拓扑、社交网络、地图等等。图的节点可以包含任意类型的数据，而边则表示节点之间的关系。图有两种常见的表示方法：邻接矩阵和邻接表。
一（基本概念） 1.图的定义：图是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成，通常表示为：G(V,E)，其中，G表示一个图，V是图G中顶点的集合，E是图G中边的集合。 2.与线性表、树的比较： （1）线性表中我们把数据元素叫元素，树中将数据元素叫结点，在图中数据元素，我们则称之为顶点。 （2）线性表中可以没有数据元素，称为空表。树中可以没有结点，叫做空树。在图结构中，不允许没有顶点。 （3）线性表中，相邻的数据元素之间具有线性关系，树结构中，相邻两层的结点具有层次关系，而图中，任意两个顶点之间都可能有关系
的所有的节点 和 边 画在 平面上 , 使 任何 两条边 除了端点外 没有 其他 的交点 ;
选自Medium 作者：Vardan Grigoryan 机器之心编译 图论是计算机科学中最重要、最有趣的领域之一，同时也是最容易被误解的。本长文从图论最基础的七桥问题开始，进而结合推特与 Facebook 实例解释无向图与有向图。此外，本文还是用大量的实例解释表征图、搜索树、哈希表等关键概念。最后本文描述了基于深度的搜索和基于广度的搜索等十分流行的图算法。 理解和使用图帮助我们成为更好的程序员。用图思考帮助我们成为最好的，至少我们应该那么思考。图是很多节点 V 和边 E 的集合，即可以表示为有序对 G=(
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