窦娥：平均数，比我冤枉！

写科普文，写的简明扼要很难，写的妙趣横生也很难，其实难能可贵的读者耐心的阅读及友情转发。

常言“祸从口出，病从口入”，其实很多冤屈不是因为你说了什么，而取决于别人怎么解读你说的什么。你别无他意，他满腹疑团，发指你居心叵测。信息不对称的解读是一种不理解，更是冤情的导火索。

比如，朋友1岁的儿子马克，说出“水”的时候，会让一个爸爸兴奋骄傲自豪儿子说出了最早的字。不过，对于马克，一个单一“水”字，不只是表示他正确地指出了某种具有特定性质的外界事物，而是用来提出“动议”的：“我要喝水！”等他再长大一些，才会加上更多字（“我要喝水”）分别“词”与“动议”。

对熟悉却不了解 “平均数”，真正的问题是：我们把口口常谈的“平均数”当成了一个词。如果全面的认识“平均数”，我们需要把“平均数”当成一个“叙述句”，当成一个“惊叹句”，当成一个“动议”。全方面的解读是纠偏的一种好方法。

当“平均数”是一个词的时候：n个数据相加后除以n（算术平均），就这样我们把“平均数”误解为了“算术平均”。

当“平均数”是一个叙述句的时候：一个典型的、正态的中间值可以反映数据的集中趋势的概述统计量。我们就很好的理解为什么“中位数”常被认为是一种平均数了。

当“平均数”是一个惊叹句的时候：注意了，平均数是表示一组数据集中趋势的量数，它包含很多类型：算术平均数，几何平均数，调和平均数，加权平均数，平方平均数，指数平均数，中位数。

当“平均数”是一个动议的时候：要平均，什么样的平均才能体现平均的本质？

在数学界，中位数几乎是与平均数在同一时间出现。

1599年，数学家Edward Wrights首次在记录中推荐了中位数。

“许多支箭射向一个标记，标记被移走，想找出标记原来所在位置的人，或许能想到这样一种方法。他应该找到箭头最集中的地方：在那么多次观测中，最中央的地方离真值最近。” ”

高尔顿也是中位数的坚定支持者之一

杰出的数学家高斯在1809年写道：

如果要在同一情况下用同种方式，从几次直接观测中选出一个数，那这些数的算术平均数便是最接近真值的数。习惯上，这假设已经已经被当成一个公理。 ”

然而由于平均数独特的统计学性质以及与正态分布的关系，中位数自始至终都被平均数在人气上所压制。我们知道高斯也是正态分布的发现者，所以对平均数偏爱有加。

标准差，更让平均数在分析实验数据和统计推断方面具有突出的价值，没有此类特性的中位数渐渐在科学和统计上失去了光芒，沦落为平均数的一种独特类型。

其实平均数的流行而多常常被别滥用，有场合中位数更合适，比如人均收入等。

呼吁重新审视“平均”，用更多的体现“中位数”。

1 几种平均数的数学表达

2 简单的几何意义

谈起平均数的几何意义，我们一定会想到毕达哥拉斯，这位出色的数学家发现了三种平均数：算术平均数，几何平均数，调和平均数。下图中 是算术平均，是几何平均数,是调和平均数,平方和平均数。

相信大家可以轻易论证四者之间的关系

毕达哥拉斯平均数

3 平均数的运用场景

算术平均数适合线性数列或对等分布的数列。比如等差数列

也是非常重要的统计量，其对应了随机变量X的数学期望，因此，它在数理统计中被广泛使用，和方差如影随行。

题外话

11世纪波斯知识界巨匠比鲁尼是集中量数已知最早的使用者之一。他尝试测量了古城伽兹尼的经度。那个时代的人们在拿到一组测量数据之后，会去掉两头之间的数据，取最大值和最小值中间的算术平均数。我们今天把这个数称为中列数(midrange)。 ”

几何平均数适合比例关系的数列。对比率、指数等进行平均，主要用于平均增长（变化）率，对数正态分布。

调和平均数适用于具有反比例性质的数列，一般用于计算平均速率。

平方平均数常用来计算一组数据和某个数据的“平均差”。像交流电的电压、电流数值以及均匀加速直线运动的位移中点平均速度，都是以其实际数值的方均根表示。

题外话爱折腾的高斯，还整出了“算术-几何平均数”可以和他发明的正态分布函数相媲美了。表示看不懂，咱也不敢问，也不知道咋整的。

算术-几何平均数

用均值统计一组数据的时候，各种均值都有侧重点：

调和平均数：最偏袒较小值

几何平均数：较偏袒较小值

算术平均数：不偏袒较小值

平方平均数：较偏袒较大值

4 结尾语

我们口口常谈的“平均数”不仅仅是简单的算术平均数，包含很多家族成员，过多的关注“算术平均数”，我们容易忽视“几何平均数，调和平均数，平方平均数”等其他家族成员的现实意义和用途。因为算术平均的热度和简单常常被滥用在“中位数”更合适的地方，真的是有点强人所难了。

当我们解读一个事物的时候，希望它不仅是一个没有生命力的“词”，能有更多的“叙述”，更多的“惊叹”，更多的“动议”。这样我们可以了解更多，收获更多。

祝你好运。